{"subject_id":"17c635959033424083ef0f303190686f","topico":"Estimação pontual: máxima verossimilhança × método dos momentos; invariância da EMV","stems":["Os modelos de regressão têm múltiplas aplicações no setor de transportes, como a definição de demandas em concessões aeroportuárias, a avaliação dos impactos de obras ferroviárias e o dimensionamento da capacidade logística de hidrovias. Acerca de teste de hipóteses, propriedades e eficiência dos estimadores, máxima verossimilhança e intervalos de confiança, julgue os itens subsequentes.","Considerando Φ (0,95) = 1,65 e Φ (0,975) = 1,96, julgue os itens a seguir, relativos à inferência estatística.","Supondo que os valores 3, 0, 0, 1, 4 constituam uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n igual a 5 retirada de uma população com função de probabilidade P(X = x) = , na qual δ > 0 denota o parâmetro a ser x! estimado e x ∈ {0, 1, 2, … }, julgue os seguintes itens.","Supondo que os valores 3, 0, 0, 1, 4 constituam uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n igual a 5 retirada de uma população com função de probabilidade P(X = x) = e^(−δ)·δˣ / x!, na qual δ > 0 denota o parâmetro a ser estimado e x ∈ {0, 1, 2, … }, julgue os seguintes itens.","Supondo que os valores 3, 0, 0, 1, 4 constituam uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n igual a 5 retirada de uma população com função de probabilidade P(X = x) = e^(−δ)·δ^x / x!, na qual δ > 0 denota o parâmetro a ser estimado e x ∈ {0, 1, 2, …}, julgue os seguintes itens.","Uma amostra aleatória simples de tamanho igual a 4 foi retirada de uma população exponencial cuja função de densidade de probabilidade é dada por f(x) = A e^(−Ax), para x ≥ 0, em que A > 0 é o parâmetro desconhecido. O quadro a seguir apresenta os quatro valores observados: 0,5; 1,0; 0,8; 9,7. Com base nos valores mostrados no quadro anterior, que constituem uma realização dessa amostra aleatória simples, julgue os itens a seguir."],"questions":[{"id":"370bddb50720","number":91,"stem":0,"statement":"Na escolha de uma rota de entrega representada por uma variável dependente binária, a utilização da máxima verossimilhança para a estimação dos parâmetros justifica-se por ela ser um método que descreve adequadamente decisões discretas baseadas em distribuições de probabilidade.","answer":"C","source":{"slug":"INFRASA_26_ANALISTA","ano":2026},"explanation":{"verdict_reason":"Com variável dependente binária a resposta segue uma Bernoulli cuja probabilidade de sucesso é função dos regressores, e o modelo natural é de escolha discreta — logit ou probit. A verossimilhança é o produto dessas probabilidades, de modo que maximizá-la é o procedimento próprio de um modelo definido por uma distribuição de probabilidade. Não há solução fechada como no MQO, e por isso a máxima verossimilhança é o método padrão desses modelos.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Variável dependente binária: logit e probit por máxima verossimilhança","citation":null,"trap_note":"Item que apenas justifica a escolha do método pela natureza da variável dependente costuma ser Certo. A distorção desses grupos aparece um passo adiante, na distribuição atribuída ao modelo: o probit usa a normal padrão acumulada e o logit a logística, e é o logit, não o probit, que produz razões de chances."}},{"id":"63f8d60a51e0","number":75,"stem":1,"statement":"Considere que X1 = 1, X2 = 2 e X3 = 4 sejam amostras que satisfazem à condição de que Xi ~ binomial (5, θ), para i = 1, 2, 3. Nessa situação, a função de verossimilhança para estimação do parâmetro θ é dada por ℒ(θ | 1, 2, 4) = 50⋅θ⁷(1 − θ)⁸.","answer":"E","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A verossimilhança de uma amostra independente é o produto das funções de probabilidade, e a binomial (5, θ) carrega o coeficiente C(5, xi) em cada observação. Os expoentes ficam corretos — θ elevado a 1 + 2 + 4 = 7 e (1 − θ) elevado a 15 − 7 = 8 —, mas a constante é C(5,1)·C(5,2)·C(5,4) = 5·10·5 = 250, e não 50. A expressão correta é ℒ(θ | 1, 2, 4) = 250⋅θ⁷(1 − θ)⁸.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"50⋅θ","corrected_statement":"Considere que X1 = 1, X2 = 2 e X3 = 4 sejam amostras que satisfazem à condição de que Xi ~ binomial (5, θ), para i = 1, 2, 3. Nessa situação, a função de verossimilhança para estimação do parâmetro θ é dada por ℒ(θ | 1, 2, 4) = 250⋅θ⁷(1 − θ)⁸.","concept":"Verossimilhança binomial: constante é o produto dos coeficientes","citation":null,"trap_note":"A constante multiplicativa não muda o argumento que maximiza — θ̂ = 7/15 sai igual com 50 ou com 250 — e é exatamente por isso que se deixa de conferi-la. Quando o item escreve ℒ por extenso, ele afirmou a função, não o estimador: multiplique os coeficientes binomiais. Quando o item pede só o EMV, a constante pode ser ignorada."}},{"id":"c53cbf25ba4d","number":99,"stem":2,"statement":"A estimativa de máxima verossimilhança da variância populacional é igual ou superior a 2.","answer":"E","source":{"slug":"BCB_24","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A função de probabilidade do enunciado é a de Poisson, cujo estimador de máxima verossimilhança do parâmetro é a média amostral: (3+0+0+1+4)/5 = 1,6. Na Poisson a variância populacional é o próprio parâmetro, e pela invariância da máxima verossimilhança a estimativa da variância é essa mesma 1,6 — não a variância amostral dos cinco valores, que daria 2,64 ou 3,3 conforme o divisor. Como 1,6 é menor que 2, a afirmação não se sustenta.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"igual ou superior a 2","corrected_statement":"A estimativa de máxima verossimilhança da variância populacional é igual a 1,6.","concept":"Invariância da EMV; na Poisson variância é o parâmetro","citation":null,"trap_note":"Estimativa de máxima verossimilhança de uma função do parâmetro sai por invariância: estime o parâmetro e aplique a função, sem refazer a maximização. O erro que a banca prepara é calcular a variância amostral como se o modelo não existisse — e aqui esse caminho leva a um número maior que 2, que é justamente o que o item afirma."}},{"id":"9198aeb55889","number":100,"stem":2,"statement":"A estimativa da variância do estimador de máxima verossimilhança do parâmetro δ é igual a 0,32.","answer":"C","source":{"slug":"BCB_24","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"O estimador de máxima verossimilhança do parâmetro da Poisson é a média amostral, cuja variância é o parâmetro dividido pelo tamanho da amostra. Com a estimativa 1,6 e n = 5, a variância estimada do estimador é 1,6/5 = 0,32. O mesmo valor sai do inverso da informação de Fisher, que é o limite de Cramér-Rao atingido por esse estimador.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Variância do estimador de MV: parâmetro dividido por n","citation":null,"trap_note":"Dois números parecidos convivem no mesmo grupo: a variância da população, que na Poisson é o parâmetro, e a variância do estimador, que é o parâmetro dividido por n. Leia se o item fala da população ou do estimador antes de conferir a conta — a diferença entre 1,6 e 0,32 é só o divisor n."}},{"id":"9302400edbe2","number":101,"stem":3,"statement":"A estimativa de δ pelo método dos momentos é igual a 1,6.","answer":"C","source":{"slug":"BCB_24","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A função de probabilidade com fatorial de x no denominador e suporte em {0, 1, 2, ...} é a de Poisson, cujo primeiro momento é o próprio parâmetro: E(X) = delta. O método dos momentos iguala o momento populacional ao momento amostral correspondente, de modo que a estimativa de delta é a média da amostra. Com os valores 3, 0, 0, 1 e 4, essa média é 8/5 = 1,6.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Método dos momentos na Poisson","citation":null,"trap_note":"Na Poisson, momentos e máxima verossimilhança entregam o mesmo estimador, a média amostral, porque média e variância valem ambas delta. Quando o item opõe os dois métodos nessa distribuição, o número é o mesmo; o que muda é a justificativa, e é por ali que a banca distorce."}},{"id":"ca962dab4a70","number":102,"stem":4,"statement":"A estimativa de máxima verossimilhança da probabilidade P(X = 0) é igual à frequência relativa de zeros na amostra, ou seja, 2/5.","answer":"E","source":{"slug":"BCB_24","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"O modelo é Poisson, e a estimativa de máxima verossimilhança de δ é a média amostral: (3 + 0 + 0 + 1 + 4)/5 = 1,6. Pela propriedade da invariância, a estimativa de máxima verossimilhança de P(X = 0) = e^(−δ) é e^(−1,6), aproximadamente 0,202. A frequência relativa de zeros, 2/5 = 0,4, é um estimador não paramétrico, que ignora a forma funcional assumida.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"é igual à frequência relativa de zeros na amostra, ou seja, 2/5","corrected_statement":"A estimativa de máxima verossimilhança da probabilidade P(X = 0) é igual a e^(−1,6), aproximadamente 0,202.","concept":"invariância da máxima verossimilhança versus estimador empírico","citation":null,"trap_note":"Sempre que se assume uma família paramétrica, a estimativa de máxima verossimilhança de qualquer função do parâmetro é essa função aplicada à estimativa do parâmetro. Trocar isso pela contagem empírica é jogar fora o modelo que o enunciado impôs."}},{"id":"21a61d16248a","number":98,"stem":5,"statement":"Pelo critério da máxima verossimilhança, a estimativa do parâmetro A é igual a 3.","answer":"E","source":{"slug":"SEFAZ_CE_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Para a exponencial, o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro é o inverso da média amostral. Aqui a média é (0,5 + 1,0 + 0,8 + 9,7)/4 = 12/4 = 3, de modo que a estimativa de A é 1/3. O valor 3 é a estimativa da média populacional, que é 1/A, e não a do próprio parâmetro.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"é igual a 3","corrected_statement":"Pelo critério da máxima verossimilhança, a estimativa do parâmetro A é igual a 1/3.","concept":"EMV da exponencial: Â = 1/x̄, e não x̄","citation":null,"trap_note":"Na exponencial, parâmetro e média são recíprocos: se a parametrização é f(x) = A e^(−Ax), então E(X) = 1/A. Antes de responder, verifique se o item pede a taxa ou o tempo médio — a banca troca um pelo outro sem mudar mais nada na frase."}}]}