{"subject_id":"3a3cc48d009981628c20f51b2ae790a5","topico":"Distribuições: Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal","stems":["Uma agência de vigilância é responsável pela fiscalização de 10 regiões, das quais 4 são consideradas zonas de risco. Anualmente são agendadas 5 fiscalizações, e as regiões a serem fiscalizadas são sorteadas de maneira totalmente aleatória. A partir dessa situação hipotética, considerando que X seja a quantidade de regiões que, entre as sorteadas, são zonas de risco, julgue os itens seguintes.","Os átomos de determinado mineral radioativo sofrem decaimento aleatoriamente. A partir de certo momento t = 0, o instante em que um átomo decai tem distribuição dada pela função densidade de probabilidade f(t) = λe^(−λt), para t ≥ 0, e f(t) = 0, para t < 0. Com base na situação hipotética apresentada, considerando que t seja medido em anos e que, dada uma amostra qualquer, 60% dos átomos decaia após 1 ano, julgue os próximos itens.","Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue os itens a seguir.","No que se refere à variável aleatória V, que segue uma distribuição contínua, tal que P(V > v) = exp(−v), se v ≥ 0, e P(V > v) = 0, se v < 0, julgue os próximos itens.","Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, denotada por X1, X2, X3, X4, foi retirada de uma população cuja função de distribuição de probabilidade é representada pela x 1−x expressão P(X = x) = ․ (1 − ․) , na qual x pode assumir os valores 0 ou 1 e ․ é o parâmetro desconhecido que denota uma probabilidade. A partir das informações anteriores, e considerando a estimação do parâmetro ․ e o teste da hipótese nula H0: ․ = 0,5 contra a hipótese alternativa H1: ․ ≠ 0,5, bem como sabendo que os valores observados na amostra foram 0,0,0,1, julgue os itens a seguir.","Considerando que uma caixa contenha 10 esferas visualmente indistinguíveis, sendo 6 esferas de aço inoxidável e as outras 4 de aço comum, julgue os próximos itens.","Em relação a uma variável aleatória Y que segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p = 0,4, julgue os itens que se seguem.","Com base nas tabelas de frequência A e B apresentadas anteriormente, julgue os itens a seguir.","Suponha que o número diário (X) de transações bancárias registradas em determinada conta bancária se distribua conforme uma distribuição de Poisson. Com respeito ao total semanal de transações bancárias registradas nessa conta bancária, denotada como Y = X1 + X2 + X3 + X4 + X5, em que {X1, … , X5} representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição de Poisson com média igual a 5 transações por dia, julgue os seguintes itens.","Julgue os próximos itens, relativos a análise combinatória e probabilidade.","Considerando que Z represente uma distribuição normal padrão, julgue os próximos itens."],"questions":[{"id":"640542c7a7b7","number":68,"stem":0,"statement":"A probabilidade de pelo menos duas das regiões fiscalizadas este ano serem zonas de risco é menor que 75%.","answer":"C","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Com 4 zonas de risco entre 10 regiões e 5 sorteadas sem reposição, calcula-se pelo complementar: P(X = 0) = C(6,5)/C(10,5) = 6/252 e P(X = 1) = C(4,1) × C(6,4)/C(10,5) = 60/252. Somadas dão 66/252 ≈ 0,262, de modo que P(X ≥ 2) ≈ 0,738, valor menor que 75%.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Pelo menos dois: complementar dos casos 0 e 1","citation":null,"trap_note":"A expressão pelo menos k quase sempre pede o complementar: calcule os poucos casos abaixo de k e subtraia de 1. Em sorteio sem reposição de população finita, as probabilidades são hipergeométricas, com combinações no numerador e no denominador."}},{"id":"2ab5af181586","number":69,"stem":0,"statement":"A variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica.","answer":"C","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Há uma população finita de 10 regiões dividida em 4 de risco e 6 demais, e as 5 fiscalizações são sorteadas sem reposição. Contar quantas das sorteadas são de risco nessas condições é exatamente a definição da hipergeométrica. Se houvesse reposição, a probabilidade de risco ficaria constante em 0,4 e a distribuição seria binomial.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Hipergeométrica: população finita, extração sem reposição","citation":null,"trap_note":"A palavra que decide entre binomial e hipergeométrica é reposição. Sem reposição, cada retirada altera a composição da população, as extrações deixam de ser independentes e a distribuição é hipergeométrica."}},{"id":"48e82bd4956e","number":70,"stem":1,"statement":"Após 2 anos, 84% dos átomos da amostra terão decaído.","answer":"C","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Se 60% decaem até 1 ano, a probabilidade de sobreviver a 1 ano é 0,4. A exponencial não tem memória e sua função de sobrevivência é multiplicativa no tempo: sobreviver a 2 anos tem probabilidade 0,4² = 0,16. Logo 1 − 0,16 = 0,84, ou seja, 84% terão decaído.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Falta de memória da exponencial: a sobrevivência se multiplica","citation":null,"trap_note":"Na exponencial, dobrar o tempo eleva a sobrevivência ao quadrado — nunca dobra a proporção decaída. Quem raciocina por regra de três responde 120% ou 80% e erra; a conta correta é sempre feita sobre a sobrevivência, que fica no expoente."}},{"id":"90ac2693d490","number":71,"stem":1,"statement":"O instante em que um átomo sofre decaimento é uma variável aleatória com distribuição de Poisson.","answer":"E","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O próprio enunciado dá a densidade do tempo de decaimento como uma exponencial definida para t ≥ 0, isto é, uma variável aleatória contínua. A distribuição de Poisson é discreta e descreve a quantidade de eventos em um intervalo, não o instante em que um evento ocorre. Poisson e exponencial são os dois lados do mesmo processo, mas uma conta ocorrências e a outra mede tempo de espera.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"distribuição de Poisson","corrected_statement":"O instante em que um átomo sofre decaimento é uma variável aleatória com distribuição exponencial.","concept":"Poisson conta eventos; exponencial mede o tempo entre eles","citation":null,"trap_note":"Pergunte se a variável é uma contagem ou um tempo. Contagem de ocorrências em intervalo fixo é Poisson, discreta; tempo até a próxima ocorrência é exponencial, contínua. Uma função densidade dada no enunciado já elimina qualquer distribuição discreta."}},{"id":"5a4d4a28474f","number":63,"stem":2,"statement":"Se X é uma variável aleatória exponencial de parâmetro unitário e U = 1 − e^(−X), então U é uma variável aleatória uniforme no intervalo [0, 1].","answer":"C","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A função de distribuição acumulada de uma exponencial de parâmetro unitário é F(x) = 1 − e^(−x), que é exatamente a transformação aplicada a X. Pela transformação integral de probabilidade, F(X) tem distribuição uniforme em [0, 1] sempre que F é contínua e estritamente crescente no suporte, o que aqui ocorre.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Transformação integral de probabilidade: aplicar a própria acumulada gera uma uniforme","citation":null,"trap_note":"Verifique se a expressão oferecida é a acumulada da própria variável. Se for, o resultado é uniforme em [0, 1], qualquer que seja a distribuição de partida; o caminho inverso, aplicar F⁻¹ a uma uniforme, é o método da transformada inversa usado em simulação."}},{"id":"be1ba42e947b","number":65,"stem":2,"statement":"Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir. f(x) = (5/2)x⁴, x ∈ [−1, 1]; f(x) = 0, x ∈ ℝ | [−1, 1]. Nessa situação, a probabilidade P(−1/2 ≤ X < 1/4) = 33/2.048.","answer":"C","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A primitiva de (5/2)x⁴ é x⁵/2. Avaliada entre −1/2 e 1/4, resulta (1/2)[(1/4)⁵ − (−1/2)⁵], isto é, (1/2)(1/1.024 + 1/32). Somando dentro do parêntese, (1/2)(33/1.024) = 33/2.048.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Probabilidade como integral da densidade entre os limites dados","citation":null,"trap_note":"Densidade par não significa integral simétrica: o limite negativo entra elevado à quinta potência e troca de sinal, o que transforma a subtração em soma. Fazer a conta com o sinal explícito evita o erro mais comum nesse tipo de item."}},{"id":"f7c024ebeb8c","number":66,"stem":3,"statement":"A esperança e a variância de V são iguais a 1.","answer":"C","source":{"slug":"DATAPREV_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A função de sobrevivência exp(−v) identifica a distribuição exponencial com taxa igual a 1. Na exponencial de taxa λ a esperança é 1/λ e a variância é 1/λ^2, portanto ambas valem 1 aqui. É o único valor de λ que faz média e variância coincidirem.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"exponencial de taxa 1 tem média e variância iguais a 1","citation":null,"trap_note":"Reconheça a distribuição pela cauda: P(V > v) = e^(−λv) é exponencial. E não confunda com a Poisson, onde média e variância coincidem para qualquer parâmetro; na exponencial isso só acontece quando a taxa vale 1."}},{"id":"4cef81ba75a2","number":67,"stem":2,"statement":"Em uma situação na qual um dado balanceado tenha sido lançado quatro vezes, a probabilidade de que o resultado desses lançamentos não tenha sido um número maior que 2 em duas das tentativas é de 2⁴/3⁴.","answer":"E","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"Não ser maior que 2 significa sair 1 ou 2, o que tem probabilidade 2/6 = 1/3 em cada lançamento. Ocorrer isso em exatamente duas das quatro tentativas é binomial: C(4,2)(1/3)²(2/3)² = 6 × (1/9) × (4/9) = 24/81 = 8/27. A expressão do item, 2⁴/3⁴ = 16/81, é (2/3)⁴, ou seja, a probabilidade de que os quatro lançamentos tenham dado número maior que 2 — nenhuma ocorrência do evento, e não duas.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"é de 2⁴/3⁴","corrected_statement":"Em uma situação na qual um dado balanceado tenha sido lançado quatro vezes, a probabilidade de que o resultado desses lançamentos não tenha sido um número maior que 2 em duas das tentativas é de 8/27.","concept":"Binomial com p = 1/3 em 4 ensaios; o coeficiente C(4,2) não pode faltar","citation":null,"trap_note":"Num item binomial, confira primeiro se o valor oferecido tem coeficiente combinatório. Uma potência pura como (2/3)⁴ responde nenhuma ou todas as ocorrências; exatamente k ocorrências sempre traz C(n,k) multiplicando."}},{"id":"e70fd6b9ad95","number":69,"stem":4,"statement":"Sob a hipótese nula, a variância populacional é igual a 0,25.","answer":"C","source":{"slug":"DATAPREV_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A expressão do enunciado, com x valendo 0 ou 1, é a de uma Bernoulli de parâmetro igual à probabilidade de sucesso. Nessa distribuição a variância é o produto do parâmetro por seu complemento. Sob a hipótese nula o parâmetro vale 0,5, logo a variância é 0,5 × 0,5 = 0,25.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Variância da Bernoulli é p(1 − p)","citation":null,"trap_note":"Sob hipótese nula não se usa a amostra para estimar o parâmetro: o valor testado é assumido como verdadeiro. Aqui a amostra 0,0,0,1 daria estimativa 0,25 para o parâmetro, e é esse número que a banca costuma oferecer como armadilha no lugar da variância."}},{"id":"c942793ac1d1","number":116,"stem":5,"statement":"Se três esferas forem selecionadas aleatoriamente da caixa, com reposição, a probabilidade de haver uma única esfera de aço comum na amostra será igual a 0,144.","answer":"E","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"Com reposição, cada retirada é um ensaio de Bernoulli com probabilidade 0,4 de aço comum, de modo que a quantidade de esferas comuns segue binomial(3; 0,4). A probabilidade de exatamente uma comum é C(3,1) × 0,4 × 0,6² = 3 × 0,144 = 0,432. O valor 0,144 é o de uma única ordem específica, sem multiplicar pelas três posições em que a esfera comum pode aparecer.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"0,144","corrected_statement":"Se três esferas forem selecionadas aleatoriamente da caixa, com reposição, a probabilidade de haver uma única esfera de aço comum na amostra será igual a 0,432.","concept":"O coeficiente binomial C(n,k) conta as ordens","citation":null,"trap_note":"O número oferecido pela banca costuma ser o produto das probabilidades sem o coeficiente binomial. Se o item pede exatamente k sucessos e o valor apresentado é pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ puro, falta multiplicar por C(n,k)."}},{"id":"ea5c9d3df3ad","number":119,"stem":6,"statement":"A variância de Y é igual a 0,24 × n.","answer":"C","source":{"slug":"MPC_SC_22_SERVIDOR","ano":2022},"explanation":{"verdict_reason":"Na binomial, a variância é np(1 − p). Com p = 0,4, tem-se 1 − p = 0,6 e o produto p(1 − p) = 0,24, de modo que Var(Y) = 0,24n. O item apenas escreve essa identidade com o parâmetro n em aberto.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Binomial: média np e variância np(1 − p)","citation":null,"trap_note":"Guarde que p(1 − p) é máximo em p = 0,5, valendo 0,25, e cai simetricamente para os dois lados. Um item que afirme variância binomial maior que 0,25n está errado qualquer que seja p."}},{"id":"63350efa0872","number":58,"stem":7,"statement":"Considerando a aproximação das séries A e B para uma Curva Normal, a probabilidade de os valores de ambas as distribuições estarem entre aproximadamente dois desvios-padrão de suas respectivas médias é de 95%.","answer":"C","source":{"slug":"PETROBRAS_21_NS","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Aproximada a distribuição pela curva normal, vale a regra empírica: cerca de 68% das observações ficam a um desvio padrão da média, cerca de 95% a dois desvios e cerca de 99,7% a três. O item apenas aplica o segundo intervalo a cada série, com sua respectiva média e seu respectivo desvio. A ressalva aproximadamente é o que torna a afirmação exata, já que o valor preciso é 95,45%.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Regra empírica 68–95–99,7 da distribuição normal","citation":null,"trap_note":"Guarde os três percentuais e a que múltiplo de desvio padrão cada um pertence: a banca troca o par, oferecendo 95% para um desvio ou 68% para dois. O intervalo é sempre em torno da média da própria série, nunca de um valor comum às duas."}},{"id":"229b2fca4b22","number":93,"stem":8,"statement":"O desvio padrão da variável aleatória Y é igual a 5 transações por semana.","answer":"C","source":{"slug":"SEFAZ_CE_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"A soma de variáveis de Poisson independentes é também de Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros: cinco dias a cinco transações por dia dão média 25 por semana. Na distribuição de Poisson a variância é igual à média, logo a variância de Y é 25 e o desvio padrão é a sua raiz, 5. O valor coincide com a média diária por acaso aritmético, não por propriedade.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Soma de Poisson é Poisson; variância igual à média","citation":null,"trap_note":"Guarde as duas propriedades que resolvem quase todo item de Poisson: a soma de independentes é Poisson com parâmetro somado, e média e variância são o mesmo número. O desvio padrão é sempre a raiz desse número, nunca ele próprio."}},{"id":"1ae810e641a1","number":94,"stem":8,"statement":"Se † e … representam, respectivamente, a média e o desvio padrão da variável aleatória Y, então o Teorema Central do Limite estabelece que a quantidade segue a distribuição normal padrão.","answer":"E","source":{"slug":"SEFAZ_CE_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"A quantidade impressa no caderno é a diferença entre Y e a sua média dividida pelo desvio padrão sobre raiz de cinco. Como o enunciado já define o desvio padrão como sendo o da própria variável Y, a padronização correta divide apenas pelo desvio padrão: a divisão adicional por raiz de cinco pertence à média amostral, não à soma. Com esse divisor a mais, a quantidade tem desvio padrão igual a raiz de cinco e não pode seguir a normal padrão.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"a quantidade segue a distribuição normal padrão","corrected_statement":"Se μ e σ representam, respectivamente, a média e o desvio padrão da variável aleatória Y, então o Teorema Central do Limite estabelece que a quantidade (Y − μ)/σ segue aproximadamente a distribuição normal padrão.","concept":"Padronização da soma × padronização da média amostral","citation":null,"trap_note":"Raiz de n só entra quando o que se padroniza é a média amostral. Para a soma, o desvio padrão já cresce com raiz de n e a divisão extra estraga a escala. Identifique primeiro se a variável em jogo é a soma ou a média: o divisor decorre disso."}},{"id":"8cb7cdac562e","number":95,"stem":8,"statement":"P(Y = 0) = P(X = 0) + P(X = 0) + P(X = 0) + P(X4 = 0) + P(X5 = 0) = 5 × e .","answer":"E","source":{"slug":"SEFAZ_CE_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"A probabilidade de a soma ser zero exige que as cinco parcelas sejam zero simultaneamente, o que é uma interseção e não uma união. Por independência, calcula-se o produto das cinco probabilidades, e não a soma delas. Cada fator vale e elevado a menos cinco, de modo que o resultado é e elevado a menos vinte e cinco — coerente, aliás, com Y ter distribuição de Poisson de média 25.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"P(X = 0) + P(X = 0) + P(X = 0) + P(X4 = 0) + P(X5 = 0)","corrected_statement":"P(Y = 0) = P(X1 = 0) × P(X2 = 0) × P(X3 = 0) × P(X4 = 0) × P(X5 = 0) = e⁻²⁵.","concept":"Interseção de eventos independentes se multiplica","citation":null,"trap_note":"Soma de probabilidades responde a ou; produto responde a e. Some apenas eventos mutuamente exclusivos — e note que uma soma de cinco probabilidades pode facilmente passar de 1, o que basta para descartar a expressão sem calcular nada."}},{"id":"7c3d43e21c4e","number":111,"stem":9,"statement":"Situação hipotética: Para cada um dos 16 itens da prova objetiva de informática de um concurso público, o candidato deverá marcar na folha de respostas se o item é certo ou errado. A condição para não desclassificação do candidato é que ele acerte o gabarito de pelo menos 10 desses itens. Assertiva: Nesse caso, se o candidato marcar aleatoriamente todos os 16 itens, a probabilidade de ele não ser desclassificado é igual a (7 × 11 × 13)/2¹³.","answer":"E","source":{"slug":"BANCO_DO_NORDESTE_18","ano":2018},"explanation":{"verdict_reason":"Marcando ao acaso, cada item é um ensaio de Bernoulli com probabilidade 1/2, e o número de acertos é binomial com n = 16 e p = 1/2. Não ser desclassificado é acertar pelo menos 10, portanto é preciso somar as probabilidades de 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16 acertos: (8.008 + 4.368 + 1.820 + 560 + 120 + 16 + 1)/2^16 = 14.893/65.536, cerca de 0,227. A expressão do item, (7 × 11 × 13)/2¹³, equivale a 8.008/65.536, que é exatamente C(16,10)/2^16 — a probabilidade de acertar exatamente 10, e não pelo menos 10.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"é igual a (7 × 11 × 13)/2¹³","corrected_statement":"Situação hipotética: Para cada um dos 16 itens da prova objetiva de informática de um concurso público, o candidato deverá marcar na folha de respostas se o item é certo ou errado. A condição para não desclassificação do candidato é que ele acerte o gabarito de pelo menos 10 desses itens. Assertiva: Nesse caso, se o candidato marcar aleatoriamente todos os 16 itens, a probabilidade de ele não ser desclassificado é igual a 14.893/2¹⁶.","concept":"Pelo menos k acertos é soma de caudas binomiais, não um único termo","citation":null,"trap_note":"Pelo menos k pede soma; exatamente k pede um termo só. Quando o valor oferecido pelo item se reduz a um único C(n,k)/2^n, ele respondeu exatamente k — confira sempre se o enunciado dizia pelo menos."}},{"id":"f24d7c16785f","number":67,"stem":10,"statement":"A simetria de Z implica que P(Z ≥ 2) = 1 – P(Z ≤ –2).","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_16_JUD","ano":2016},"explanation":{"verdict_reason":"A simetria da normal padrão em torno de zero dá P(Z ≥ 2) = P(Z ≤ −2), sem o complemento. O que o item escreveu, 1 − P(Z ≤ −2), é P(Z > −2), que vale cerca de 0,9772, enquanto P(Z ≥ 2) vale cerca de 0,0228. O 1 − pertence à regra do complemento, que daria P(Z ≥ 2) = 1 − P(Z < 2). Misturar as duas regras troca uma cauda pela área inteira que sobra do outro lado.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"1 – P(Z ≤ –2)","corrected_statement":"A simetria de Z implica que P(Z ≥ 2) = P(Z ≤ –2).","concept":"Simetria dá P(Z ≥ a) = P(Z ≤ −a); complemento dá P(Z ≥ a) = 1 − P(Z < a)","citation":null,"trap_note":"São duas regras e cada uma tem o seu sinal: simetria espelha o ponto e troca o sentido da desigualdade, sem 1 −; complemento mantém o ponto e usa o 1 −. Item que espelha o ponto e ainda põe 1 − aplicou as duas de uma vez, e o resultado é a cauda oposta."}}]}