{"subject_id":"639dafbc5b794ce7b259aa1de89d7225","topico":"Distribuição conjunta e marginal; independência de variáveis; covariância × correlação","stems":["A teoria da probabilidade estuda eventos incertos e fornece métodos para quantificar risco, variabilidade e chance de ocorrência de um fenômeno, tendo, portanto, aplicação prática para informar a tomada de decisões no setor de transporte e logística. Com base na teoria da probabilidade, julgue os itens a seguir.","Julgue os itens a seguir, considerando que, a partir do desenvolvimento de um sistema preditivo para estimar a produção agrícola (X) com base em dados climáticos como precipitação (P) e temperatura (T), obteve-se a matriz de covariâncias referente à distribuição conjunta (X, P, T), Σ = [[9, 2,4, 0,6], [a, 16, 1,6], [b, c, 4]], em que a primeira linha e a primeira coluna correspondem a X, a segunda a P e a terceira a T.","Uma distribuição conjunta das variáveis X e Y é dada pela função de densidade f(x, y) = 1 − x/2 − y/3, em que 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 e 3x + 2y ≤ 2. Considerando essas informações, bem como f(x, y) = 0 para os demais pontos, julgue os itens a seguir.","Em um modelo de regressão linear simples representado pela equação yj = β0 + β1xj + ϵj, j é um índice que varia de 1 a 81; β0 e β1 são os coeficientes do modelo; yj representa a variável resposta; xj denota a variável regressora; ϵj é o erro aleatório com média zero e variância σ²; e ϵ1, … , ϵ81 formam um conjunto de erros independentes e identicamente distribuídos. No modelo ajustado pelo método de mínimos quadrados ordinários representado por ŷj = β̂0 + β̂1xj, tem-se: β̂1 > 0; ∑(j=1 a 81) (ŷj − ȳ)² = 720; ∑(j=1 a 81) (yj − ȳ)² = 1.000; ∑(j=1 a 81) (xj − x̅)² = 80; em que ȳ = [∑(j=1 a 81) yj]/81 = 20 e x̅ = [∑(j=1 a 81) xj]/81 = 10. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.","Julgue os itens a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U, V), cuja função de densidade conjunta é dada por f(u, v) = (12/11)(u² + uv + v²), em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 < v < 1, e u e v representam, respectivamente, os suportes de U e V.","A tabela a seguir apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y. P(X = 0, Y = 2) = 1/16; P(X = 0, Y = 3) = 1/6; P(X = 0, Y = 4) = 1/8; P(X = 1, Y = 2) = 1/16; P(X = 1, Y = 3) = 1/16; P(X = 1, Y = 4) = 1/8; P(X = 2, Y = 2) = 1/6; P(X = 2, Y = 3) = 1/6; P(X = 2, Y = 4) = 1/16. Considerando a tabela precedente, que apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, julgue os itens que se seguem.","2 2 cX log(X) + Y + XE(Y|X).","A respeito de estatística e da linguagem de programação R, julgue os itens a seguir.","A tabela a seguir mostra os ativos x e y (variáveis aleatórias) e seus retornos. Probabilidade: 0,2; 0,6; 0,2. Retorno do ativo x: −5; 10; 20. Retorno do ativo y: −10; 10; 40. Considerando que as variâncias de x e y sejam σ²x = 64 e σ²y = 256, respectivamente, julgue os próximos itens.","A tabela a seguir apresenta estatísticas referentes a duas variáveis observadas em um estudo previdenciário: média amostral de X = 25 e de Y = 27; variância amostral de X = 16 e de Y = 9. Com base nessa tabela, julgue os seguintes itens.","Com base na tabela precedente, que apresenta estatísticas referentes a duas variáveis observadas em um estudo previdenciário — média amostral de X: 25; média amostral de Y: 27; variância amostral de X: 16; variância amostral de Y: 9 —, julgue os seguintes itens."],"questions":[{"id":"34e1fcd53fa9","number":88,"stem":0,"statement":"Estatisticamente, o grau de associação entre duas variáveis, como tempo de voo e consumo de combustível, pode ser medido, de forma padronizada, pelo coeficiente de correlação.","answer":"C","source":{"slug":"INFRASA_26_ANALISTA","ano":2026},"explanation":{"verdict_reason":"O coeficiente de correlação é exatamente a medida padronizada de associação entre duas variáveis: divide-se a covariância pelo produto dos desvios padrão, o que elimina as unidades e confina o resultado ao intervalo de −1 a 1. É essa padronização que permite comparar a associação de pares diferentes — tempo de voo com consumo de combustível, por exemplo, contra qualquer outro par. A covariância mede a mesma associação, mas depende da escala das variáveis e por isso não é comparável entre pares. O item descreve a correlação pela propriedade que de fato a define.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Correlação é a covariância padronizada, em [−1, 1]","citation":null,"trap_note":"Guarde o par inteiro, porque a banca cobra pelos dois lados: covariância dá o sinal e depende da escala; correlação é a mesma informação dividida pelos desvios padrão, adimensional e limitada a [−1, 1]. Quando o item atribuir a comparabilidade ou o intervalo [−1, 1] à covariância, é troca de termo. E lembre do limite do conceito: correlação mede associação linear, de modo que correlação zero não significa ausência de relação nem independência — a recíproca só vale no caso normal conjunto."}},{"id":"46f9562e23fe","number":58,"stem":1,"statement":"O valor de a é igual a 1,6.","answer":"E","source":{"slug":"EMBRAPA_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Toda matriz de covariâncias é simétrica, logo a posição de a, que é Cov(P, X), tem de repetir a célula espelhada Cov(X, P) = 2,4. O valor 1,6 é a covariância entre P e T, que ocupa outra célula da matriz, e b = 0,6 e c = 1,6 completam a simetria.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"igual a 1,6","corrected_statement":"O valor de a é igual a 2,4.","concept":"Simetria da matriz de covariâncias: Cov(P, X) = Cov(X, P)","citation":null,"trap_note":"Quando a banca esconde células da matriz com letras, a resposta está sempre na célula refletida pela diagonal. Cheque se o número oferecido não é o de outra célula da própria matriz — é a forma mais barata de errar o item."}},{"id":"22e492f8b694","number":66,"stem":2,"statement":"A probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente do conjunto [0, 2] × [0, 3] estar localizado no quadrado unitário [0, 1] é maior que 50%.","answer":"C","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A probabilidade de uma região é a integral dupla da densidade conjunta sobre ela. Integrando f(x, y) = 1 − x/2 − y/3 no quadrado unitário obtém-se 1 − 1/4 − 1/6 = 7/12, aproximadamente 58,3%. Está acima de 50%.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Probabilidade de região é a integral da densidade conjunta","citation":null,"trap_note":"Com densidade conjunta dada, probabilidade é área sob a superfície, não razão de áreas do plano. Tratar o sorteio como uniforme e dividir áreas é o erro que a banca espera — aqui daria 1/6 em vez de 7/12."}},{"id":"698913b809d1","number":67,"stem":2,"statement":"X e Y são independentes.","answer":"E","source":{"slug":"ANM_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Independência exige duas coisas e nenhuma se verifica aqui. A densidade tem os termos em x e em y somados, e soma não se fatora no produto de uma função só de x por uma função só de y. Além disso, a restrição adicional entre x e y recorta uma região triangular: o intervalo em que uma variável pode cair depende do valor assumido pela outra, o que basta para afastar a independência.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"são independentes","corrected_statement":"X e Y não são independentes.","concept":"Independência exige fatoração e suporte retangular","citation":null,"trap_note":"Antes de integrar qualquer coisa, olhe o suporte. Se a região em que a densidade é positiva for triângulo, círculo ou qualquer conjunto cujo limite de uma variável dependa da outra, as variáveis são dependentes ainda que a fórmula pareça separável. E densidade com termos somados nunca se fatora."}},{"id":"88aef0fcbf59","number":110,"stem":3,"statement":"A correlação linear de Pearson entre a variável resposta e a regressora é igual ou superior a 0,8.","answer":"C","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O coeficiente de determinação é a soma de quadrados explicada dividida pela total: 720/1.000 = 0,72. Na regressão linear simples, o coeficiente de correlação de Pearson é a raiz quadrada do R, com o sinal da inclinação estimada, e o enunciado informa que essa inclinação é positiva. A raiz de 0,72 é aproximadamente 0,85, portanto superior a 0,8.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Na regressão simples, r é a raiz de R com o sinal de β̂1","citation":null,"trap_note":"Quando o enunciado entrega somas de quadrados, o R sai por divisão direta e a correlação sai da raiz. O sinal nunca vem da raiz: vem da inclinação estimada, e por isso a banca informa que ela é positiva."}},{"id":"d6b824bdd627","number":116,"stem":4,"statement":"P(U > 0,5) ≤ 0,50.","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A densidade marginal de U sai integrando a conjunta em v no intervalo (0, 1) e vale (12u² + 6u + 4)/11, que é crescente em todo o suporte e, portanto, concentra massa na metade superior. Integrando-a de 0,5 a 1 obtém-se 31/44, aproximadamente 0,70, bem acima do teto de 0,50 afirmado.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"≤ 0,50","corrected_statement":"P(U > 0,5) > 0,50.","concept":"Marginal obtida por integração da conjunta na outra variável","citation":null,"trap_note":"Densidade crescente no suporte quer dizer mais massa à direita. Antes de integrar, olhe o formato da marginal: ele já revela de que lado da mediana a resposta vai cair, e muitas vezes isso basta para decidir o item."}},{"id":"5ef33e1aeb66","number":117,"stem":4,"statement":"A variância de V é igual ou superior a 0,1.","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Pela marginal (12v² + 6v + 4)/11, o valor esperado de V é 7/11 e o de V² é (12/11)(1/5 + 1/8 + 1/9), cerca de 0,476. A variância é 0,476 menos (7/11)², aproximadamente 0,071, portanto inferior a 0,1.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"igual ou superior a 0,1","corrected_statement":"A variância de V é igual ou superior a 0,07.","concept":"Variância pela marginal: E(V²) menos o quadrado de E(V)","citation":null,"trap_note":"Num suporte contido em (0, 1) a variância não passa de 0,25, e só uma distribuição empurrada para as duas pontas chega perto disso. Densidade concentrada num dos lados, como esta, costuma ficar abaixo de 0,1 — um limiar nessa faixa quase sempre é alto demais."}},{"id":"a698a8f0fcaf","number":118,"stem":4,"statement":"Os valores esperados de U e de V são iguais a 7/11.","answer":"C","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Integrando u contra a conjunta no quadrado unitário, E(U) = (12/11)∫∫(u³ + u²v + uv²) du dv = (12/11)(1/4 + 1/6 + 1/6) = (12/11)(7/12) = 7/11. Como f(u, v) é simétrica na troca de u por v, as duas marginais são idênticas e E(V) = E(U) = 7/11, sem refazer conta alguma.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Esperança pela conjunta e simetria da densidade","citation":null,"trap_note":"Densidade simétrica na troca das duas variáveis implica marginais iguais: calcule uma esperança e a outra vem de graça. A mesma tabela de integrais fecha a constante — ∫∫(u² + uv + v²) = 1/3 + 1/4 + 1/3 = 11/12, que é o inverso de 12/11 —, então confira a normalização antes de duvidar do valor."}},{"id":"c50ceca36307","number":119,"stem":4,"statement":"A função de densidade de probabilidade de U, para 0 < u < 1, é f(u) = (12u² + 6u + 4)/11.","answer":"C","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A marginal de U é a integral da conjunta em v entre 0 e 1: (12/11) vezes a integral de u² + uv + v², que resulta em (12/11)(u² + u/2 + 1/3). Distribuindo o fator, isso é exatamente (12u² + 6u + 4)/11.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Densidade marginal por integração da conjunta","citation":null,"trap_note":"Confira toda marginal integrando-a de novo no próprio suporte: se não der 1, a conta está errada. Aqui a integral de (12u² + 6u + 4)/11 em (0, 1) é (4 + 3 + 4)/11 = 1."}},{"id":"6d43ebbefba4","number":120,"stem":4,"statement":"A covariância entre U e V é positiva.","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"Com a densidade conjunta do enunciado no quadrado unitário, E(UV) = 13/33, aproximadamente 0,394, enquanto E(U) = E(V) = 7/11, cujo produto é 49/121, aproximadamente 0,405. A covariância é a diferença entre as duas, cerca de −0,011: negativa. O termo cruzado uv na densidade sugere associação positiva, mas sugestão não é sinal — só E(UV) − E(U)·E(V) decide.","distortion_type":"inversao","distorted_span":"é positiva","corrected_statement":"A covariância entre U e V é negativa.","concept":"Sinal da covariância sai de E(UV) − E(U)·E(V)","citation":null,"trap_note":"Densidade conjunta que não se fatora garante dependência, nunca o sinal da associação. A presença de um termo cruzado não autoriza concluir covariância positiva: calcule os dois valores esperados e a esperança do produto. Nesta trilha o erro típico do item é exatamente a direção, não a conta."}},{"id":"2e0abb41f745","number":69,"stem":5,"statement":"As distribuições X e Y são independentes.","answer":"E","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"Independência exige que cada célula da tabela seja o produto das marginais correspondentes. A marginal de X em 2 vale 17/48 quando somada a linha de X = 0 e a de Y em 2 vale 14/48; para a célula (X = 0, Y = 2) o produto das marginais é 119/1.152, enquanto a tabela registra 1/16, que é 72/1.152. Uma única célula discordante já elimina a independência.","distortion_type":"inversao","distorted_span":"são independentes","corrected_statement":"As distribuições X e Y não são independentes.","concept":"Independência de discretas: a conjunta tem de fatorar nas marginais em toda célula","citation":null,"trap_note":"Não é preciso varrer a tabela inteira: a primeira célula em que P(X, Y) difere de P(X)P(Y) encerra o item. Comece por aquela cuja probabilidade parece grande ou pequena demais diante das marginais da linha e da coluna."}},{"id":"edef6b9596ac","number":70,"stem":5,"statement":"P(X = 2) = 19/48.","answer":"C","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A marginal de X no ponto 2 é a soma da linha correspondente da tabela: 1/6 + 1/6 + 1/16. Reduzindo ao denominador comum 48, obtém-se 8/48 + 8/48 + 3/48 = 19/48.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Marginal de uma discreta é a soma da linha (ou da coluna) da conjunta","citation":null,"trap_note":"Some as três linhas antes de responder: elas têm de fechar em 1. Aqui 17/48 + 12/48 + 19/48 = 1, o que valida a leitura da tabela — passo barato que protege contra erro de transcrição em toda a série de itens."}},{"id":"761f14c1b8e7","number":68,"stem":6,"statement":"Caso X e Y sejam variáveis aleatórias com média μ, desvio padrão σ e coeficiente de correlação ρ, a variável aleatória U = X – Y terá média igual a 0 e variância igual a 2σ.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"A média está certa: E(X − Y) = μ − μ = 0. A variância não: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y) = σ² + σ² − 2ρσ², ou seja, 2σ²(1 − ρ). O enunciado forneceu ρ precisamente porque ele entra no resultado, e o item o descarta — além de escrever o desvio padrão onde deveria estar o seu quadrado.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"variância igual a 2σ","corrected_statement":"Caso X e Y sejam variáveis aleatórias com média μ, desvio padrão σ e coeficiente de correlação ρ, a variável aleatória U = X – Y terá média igual a 0 e variância igual a 2σ²(1 − ρ).","concept":"Var(X − Y) = 2σ²(1 − ρ) quando as variâncias são iguais","citation":null,"trap_note":"Quando o enunciado entrega um parâmetro que não reaparece na resposta afirmada, esse parâmetro costuma ser a chave do item. A variância da soma ou da diferença só dispensa a covariância sob independência, e independência não foi declarada: correlação dada é covariância presente."}},{"id":"f825f976c2b1","number":96,"stem":7,"statement":"A covariância e a correlação são conceitos estatísticos idênticos e medem a relação linear entre duas variáveis.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Covariância e correlação de fato medem associação linear, mas não são o mesmo conceito: a correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão. Dessa padronização vem tudo o que as separa — a correlação é adimensional e presa ao intervalo de −1 a 1, o que permite comparar pares de variáveis distintos; a covariância depende das unidades e não tem limite. A única propriedade que compartilham é o sinal, porque o denominador da correlação é sempre positivo.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"são conceitos estatísticos idênticos","corrected_statement":"A covariância e a correlação são conceitos estatísticos distintos, ainda que ambos meçam a relação linear entre duas variáveis.","concept":"Correlação é a covariância padronizada","citation":null,"trap_note":"O item que declara dois conceitos vizinhos “idênticos” costuma apagar justamente a operação que os separa. Identifique essa operação — aqui, a divisão pelos desvios padrão — e o item se resolve sem conta. A metade verdadeira da frase existe para fazer a outra passar."}},{"id":"33a4e4130e96","number":59,"stem":8,"statement":"A covariância entre x e y é igual a 122.","answer":"C","source":{"slug":"FUNPRESP_16_JUD","ano":2016},"explanation":{"verdict_reason":"Com as probabilidades 0,2, 0,6 e 0,2 dos três estados, o retorno esperado de x é 9 e o de y é 12. O momento cruzado é E(xy) = 0,2 x 50 + 0,6 x 100 + 0,2 x 800 = 230, e a covariância vale E(xy) − E(x)E(y) = 230 − 108 = 122. O resultado é coerente com as variâncias informadas, pois o teto para a covariância é 8 x 16 = 128.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Covariância discreta: E(xy) menos E(x)E(y)","citation":null,"trap_note":"Em tabela de retornos por cenário, E(xy) é a média ponderada dos produtos estado a estado, jamais o produto das médias. Confira o resultado contra o produto dos desvios padrão: covariância acima desse produto denuncia erro de conta, não item errado."}},{"id":"ec19ae0580ef","number":60,"stem":8,"statement":"A correlação entre x e y é maior que 1.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_16_JUD","ano":2016},"explanation":{"verdict_reason":"A correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão, e a desigualdade de Cauchy-Schwarz a confina ao intervalo de menos um a um — nenhum par de variáveis aleatórias tem correlação maior que 1. Com as variâncias 64 e 256 do enunciado, os desvios padrão são 8 e 16, e a covariância de 122 apurada no item anterior do caderno dá 122/128, aproximadamente 0,95. O valor alto da covariância é a isca; ele não é a correlação.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"é maior que 1","corrected_statement":"A correlação entre x e y é menor que 1.","concept":"Correlação é covariância normalizada, limitada a [−1, 1]","citation":null,"trap_note":"Covariância tem unidade e não tem limite; correlação é adimensional e mora entre −1 e 1. Qualquer item que afirme correlação fora desse intervalo cai sem cálculo — e, quando a banca oferece uma covariância grande logo antes, é exatamente isso que ela está testando."}},{"id":"1068fbebf28f","number":65,"stem":9,"statement":"O valor absoluto da covariância entre X e Y é igual ou inferior a 12.","answer":"C","source":{"slug":"FUNPRESP_16_JUD","ano":2016},"explanation":{"verdict_reason":"A tabela traz as variâncias amostrais de X e Y, iguais a 16 e a 9, ou seja, desvios padrão de 4 e de 3. A desigualdade de Cauchy-Schwarz impõe que o valor absoluto da covariância nunca ultrapasse o produto dos desvios padrão, e esse produto é 4 × 3 = 12. O teto de 12 só seria atingido com correlação perfeita, de modo que a covariância é necessariamente igual ou inferior a esse valor.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Teto de Cauchy-Schwarz para a covariância","citation":null,"trap_note":"Quando o item dá variâncias e pergunta sobre covariância, o caminho é o teto |Cov| <= sigmaX x sigmaY, que é a mesma coisa que |rho| <= 1. Tire a raiz das variâncias antes de comparar: 16 e 9 valem 4 e 3, e o número a vencer é 12, não 144."}},{"id":"fc1cdb56a8bf","number":66,"stem":10,"statement":"Se as variáveis X e Y forem independentes, o desvio padrão da soma X + Y será igual a 7.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_16_JUD","ano":2016},"explanation":{"verdict_reason":"A tabela do caderno dá variâncias amostrais de 16 para X e 9 para Y. Sob independência, a covariância é nula e as variâncias se somam: Var(X + Y) = 16 + 9 = 25, de modo que o desvio padrão da soma é 5. O valor 7 é a soma dos desvios padrão (4 + 3), operação que não tem amparo: desvio padrão não é aditivo, variância é.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"será igual a 7","corrected_statement":"Se as variáveis X e Y forem independentes, o desvio padrão da soma X + Y será igual a 5.","concept":"Variâncias somam; desvios padrão não somam","citation":null,"trap_note":"Sempre que o item somar dispersões, converta tudo para variância antes de operar e só depois tire a raiz. A independência libera a soma das variâncias, nunca a soma dos desvios padrão."}}]}