{"subject_id":"90f6505305cc46a89a3cea56dd7e7bde","topico":"Regressão simples e múltipla por MQO: coeficientes, R² × R² ajustado, teste t × teste F","stems":["Em um relatório técnico a respeito da geração e atração de viagens de transporte de cargas inter-regional, utilizou-se uma regressão linear múltipla estimada pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO). O modelo básico desenvolvido tinha o número de viagens como variável dependente Y e, como variáveis explicativas, a produção e o consumo. Os resultados do modelo básico são apresentados a seguir. parâmetros variáveis Pr > |t| estimados intercepto 52.839 < 0,0001 produção 0,18081 0,0010 consumo 0,65769 < 0,0001 Com base nesses resultados, considerando R ajustado igual a 0,6354, julgue os itens a seguir.","Em um relatório técnico a respeito da geração e atração de viagens de transporte de cargas inter-regional, utilizou-se uma regressão linear múltipla estimada pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO). O modelo básico desenvolvido tinha o número de viagens como variável dependente Y e, como variáveis explicativas, a produção e o consumo. Os resultados do modelo básico são apresentados a seguir. parâmetros variáveis Pr > |t| estimados intercepto 52.839 < 0,0001 produção 0,18081 0,0010 consumo 0,65769 < 0,0001 Com base nesses resultados, considerando R² ajustado igual a 0,6354, julgue os itens a seguir.","Considerando que a durabilidade (Y) de certo produto depende da temperatura (T) e da umidade (U) do local de armazenamento, um pesquisador obteve as estimativas de mínimos quadrados ordinários para os coeficientes de um modelo de regressão linear múltipla na forma Y = β0 + β1T + β2U + ϵ, no qual β0, β1, e β2 representam os coeficientes do modelo e ϵ denota o erro aleatório, que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão σ. As tabelas a seguir mostram os resultados obtidos pelo pesquisador. coeficiente estimativa razão t p-valor β 2,5 2 0,050 β −0,01 −3 0,002 β −0,02 −2,5 0,010 fonte de graus de soma de quadrados variação liberdade modelo 5.000 2 erro 1.250 50 total 6.250 52 Com base nas informações apresentadas, julgue os itens a seguir.","Considerando o modelo clássico de regressão linear e a importância das suas hipóteses no contexto de uso intensivo de dados, julgue os itens a seguir.","Estimativas de mínimos quadrados ordinários (coeficiente; erro padrão): intercepto 10,0 e 3,00; X1 5,0 e 0,05; X2 −3,0 e 0,03; X3 0,2 e 0,20; X4 0,01 e 0,001. Tamanho da amostra (n): 106. Coeficiente de determinação do modelo (R²): 60%. Erro quadrático médio: 36. As tabelas precedentes mostram as estimativas dos coeficientes e seus respectivos erros padrão proporcionados pelo método de mínimos quadrados ordinários em um modelo de regressão linear com um intercepto e 4 variáveis regressoras (X1, X2, X3 e X4) para modelar uma variável dependente Y. As tabelas mostram, ainda, o tamanho da amostra, o coeficiente de determinação (R²) e o erro quadrático médio desse modelo, que foi igual a 36. Com base nessas informações e nos dados das tabelas, julgue os itens subsequentes.","Em um modelo de regressão linear simples representado pela equação yj = β0 + β1xj + ϵj, j é um índice que varia de 1 a 81; β0 e β1 são os coeficientes do modelo; yj representa a variável resposta; xj denota a variável regressora; ϵj é o erro aleatório com média zero e variância σ²; e ϵ1, … , ϵ81 formam um conjunto de erros independentes e identicamente distribuídos. No modelo ajustado pelo método de mínimos quadrados ordinários representado por ŷj = β̂0 + β̂1xj, tem-se: β̂1 > 0; ∑(j=1 a 81) (ŷj − ȳ)² = 720; ∑(j=1 a 81) (yj − ȳ)² = 1.000; ∑(j=1 a 81) (xj − x̅)² = 80; em que ȳ = [∑(j=1 a 81) yj]/81 = 20 e x̅ = [∑(j=1 a 81) xj]/81 = 10. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.","equação 1: Yi = a + bXi + e equação 2: Yi = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + e Com base nos modelos de regressão linear simples (equação 1) e de regressão linear múltipla (equação 2), julgue os itens a seguir.","2 2 cX log(X) + Y + XE(Y|X)."],"questions":[{"id":"9fc384e95ec2","number":96,"stem":0,"statement":"A análise do p-valor do teste t associado a cada coeficiente da regressão indica que as variáveis intercepto, produção e consumo são estatisticamente significativas.","answer":"C","source":{"slug":"INFRASA_26_ANALISTA","ano":2026},"explanation":{"verdict_reason":"A coluna Pr > |t| traz o p-valor bilateral do teste t de significância individual, cuja hipótese nula é a de que o coeficiente é igual a zero. Os três valores reportados são menores que 0,0001, iguais a 0,0010 e menores que 0,0001, todos abaixo de 0,05 e mesmo de 0,01. Rejeita-se a nula para intercepto, produção e consumo, e as três variáveis são estatisticamente significativas nos níveis usuais. O item apenas lê a tabela corretamente.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Leitura do p-valor do teste t individual","citation":null,"trap_note":"Em item com saída de regressão, p-valor pequeno rejeita a nula e indica coeficiente significativo. A banca costuma inverter essa leitura, ou comparar o p-valor com o valor do coeficiente em vez de compará-lo com o nível de significância."}},{"id":"7c01bded3b3e","number":98,"stem":1,"statement":"A análise dos parâmetros estimados indica que, mantida constante a produção, um aumento de uma unidade no consumo está associado a um aumento médio aproximado de 0,66 unidade no número de viagens Y.","answer":"C","source":{"slug":"INFRASA_26_ANALISTA","ano":2026},"explanation":{"verdict_reason":"Em regressão múltipla, cada coeficiente mede o efeito parcial da sua variável: a variação média esperada em Y por unidade adicional daquela variável, mantidas constantes as demais. O coeficiente do consumo é 0,65769, com p-valor abaixo de 0,0001, portanto significativo. Arredondado, 0,66 é exatamente o aumento médio previsto no número de viagens.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Coeficiente de MQO é efeito parcial, ceteris paribus","citation":null,"trap_note":"Duas distorções recorrentes na leitura de coeficiente: suprimir o ceteris paribus, transformando efeito parcial em efeito total, e ler o coeficiente como percentual. Em modelo linear em nível, o coeficiente é unidade de Y por unidade de X; percentual só aparece quando há logaritmo em algum dos lados."}},{"id":"9b83894044f6","number":34,"stem":2,"statement":"A estimativa do coeficiente β1 poderá ser considerada nula se o nível de significância do teste de hipóteses H0: β1 = 0 versus H1: β1 ≠ 0 for igual a 5%.","answer":"E","source":{"slug":"EMBRAPA_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A linha de β1 traz razão t igual a −3 e p-valor igual a 0,002, e a regra de decisão é comparar o p-valor com o nível de significância: p < α manda rejeitar a hipótese nula. Com 0,002 muito abaixo de 5%, rejeita-se H0: β1 = 0, ou seja, o coeficiente é estatisticamente significativo e não pode ser tratado como nulo. A leitura foi feita na direção contrária à da regra.","distortion_type":"inversao","distorted_span":"poderá ser considerada nula","corrected_statement":"A estimativa do coeficiente β1 não poderá ser considerada nula se o nível de significância do teste de hipóteses H0: β1 = 0 versus H1: β1 ≠ 0 for igual a 5%.","concept":"p-valor menor que alfa rejeita H0","citation":null,"trap_note":"p-valor pequeno é evidência contra a hipótese nula, nunca a favor dela. Em tabela de regressão, localize a linha do coeficiente citado, compare o p-valor com o alfa — que costuma estar no comando do grupo, não no item — e leia na direção certa: p < α rejeita a nulidade do coeficiente; p > α apenas não permite rejeitá-la, e isso não prova que o coeficiente seja zero."}},{"id":"d0f69abc31b7","number":69,"stem":3,"statement":"Quando se adicionam variáveis explicativas ao modelo, espera-se redução da estatística R .","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O coeficiente de determinação é a fração da variação de Y explicada pelo modelo, e acrescentar um regressor nunca pode piorar o ajuste por mínimos quadrados: no pior caso o coeficiente estimado é zero e o ajuste fica igual. Logo o R é monotonamente não decrescente no número de variáveis explicativas. Quem pode cair é o R ajustado, que penaliza os graus de liberdade consumidos.","distortion_type":"inversao","distorted_span":"espera-se redução da estatística R","corrected_statement":"Quando se adicionam variáveis explicativas ao modelo, espera-se elevação, ou no mínimo manutenção, da estatística R .","concept":"R nunca cai com mais regressores; o R ajustado pode cair","citation":null,"trap_note":"A distinção entre R e R ajustado é o que decide praticamente todo item sobre inclusão de variáveis. Leia qual dos dois o item nomeia antes de decidir a direção."}},{"id":"2d380d59887a","number":71,"stem":4,"statement":"O desvio padrão dos resíduos do modelo de regressão é igual a 6.","answer":"C","source":{"slug":"FUNPRESP_24_EXE","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O erro quadrático médio informado nas tabelas, igual a 36, é a estimativa da variância dos resíduos — a soma dos quadrados dos resíduos dividida pelos graus de liberdade. O desvio padrão dos resíduos é a raiz dessa variância, portanto 6. Nenhuma outra informação da tabela é necessária.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Desvio padrão dos resíduos é a raiz do erro quadrático médio","citation":null,"trap_note":"Na saída de uma regressão, erro quadrático médio e desvio padrão dos resíduos são a mesma grandeza em escalas diferentes: um é o quadrado do outro. Quando a tabela dá um, o item costuma cobrar o outro."}},{"id":"c0190a6828ce","number":72,"stem":4,"statement":"O valor do R² ajustado (R²ajustado) é superior a 60%.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_24_EXE","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O R² ajustado penaliza o número de regressoras: R²aj = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k − 1). Com R² = 0,60, n = 106 e k = 4, dá 1 − 0,40 × 105/101 ≈ 1 − 0,416 = 0,584, ou seja, cerca de 58,4%. Não é superior a 60%. E nem precisaria da conta: sempre que houver ao menos uma regressora, o R² ajustado é estritamente menor que o R², de modo que um R² de exatamente 60% impede que o ajustado passe de 60%.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"é superior a 60%","corrected_statement":"O valor do R² ajustado (R²ajustado) é inferior a 60%.","concept":"R² ajustado < R² sempre que k ≥ 1","citation":null,"trap_note":"Quando o item compara o R² ajustado com o próprio R², a desigualdade já está decidida antes da conta: o ajustado é menor, e só empata se não houver regressora alguma. Faça a conta apenas quando o alvo da comparação for outro número."}},{"id":"65dd57f7e99a","number":73,"stem":4,"statement":"A variância amostral da variável dependente Y é superior a 85.","answer":"C","source":{"slug":"FUNPRESP_24_EXE","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O enunciado não dá a variância de Y, mas dá tudo o que a reconstrói. O erro quadrático médio é a soma dos quadrados dos resíduos dividida pelos graus de liberdade: com n = 106, um intercepto e 4 regressoras, sobram 106 − 5 = 101 graus, logo SQR = 36 × 101 = 3.636. O R² é 1 − SQR/SQT, então SQT = 3.636 / (1 − 0,60) = 9.090. A variância amostral de Y é SQT dividida por n − 1: 9.090 / 105 ≈ 86,6, que é superior a 85.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"SQT = SQR/(1 − R²); variância amostral de Y = SQT/(n − 1)","citation":null,"trap_note":"A saída de uma regressão carrega a dispersão da própria variável dependente. O caminho é sempre o mesmo: EQM e graus de liberdade dão SQR, o R² abre SQT, e SQT sobre n − 1 dá a variância de Y. Cuidado com os dois denominadores, que são diferentes: n − k − 1 para o EQM, n − 1 para a variância amostral."}},{"id":"6295f89315c7","number":74,"stem":4,"statement":"Se a variável Y for considerada normal, e assumindo-se que a aproximação normal seja válida para a distribuição dos estimadores dos coeficientes do modelo, é correto concluir que todos os coeficientes são estatisticamente significativos com p-valores inferiores a 1%.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_24_EXE","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A estatística t de cada coeficiente é a estimativa dividida pelo seu erro padrão, calculada coeficiente a coeficiente. Pelas tabelas do caderno, X1 dá 100, X2 dá −100, X4 dá 10 e o intercepto dá 3,33, mas X3 dá 0,2/0,20 = 1,0, cujo p-valor fica em torno de 32% — muito acima de 1%. Basta um coeficiente não significativo para derrubar a afirmação de que todos são.","distortion_type":"generalizacao","distorted_span":"todos os coeficientes são estatisticamente significativos","corrected_statement":"Se a variável Y for considerada normal, e assumindo-se que a aproximação normal seja válida para a distribuição dos estimadores dos coeficientes do modelo, é correto concluir que nem todos os coeficientes são estatisticamente significativos com p-valores inferiores a 1%.","concept":"t = estimativa dividida pelo erro padrão, coeficiente a coeficiente","citation":null,"trap_note":"Afirmação sobre todos os coeficientes cai com um único contraexemplo. Procure primeiro a linha em que a estimativa e o erro padrão são da mesma ordem de grandeza: é ali que o t fica perto de 1 e a significância some."}},{"id":"6f54495e6e64","number":75,"stem":4,"statement":"O coeficiente de explicação deverá aumentar se a variável X2 for retirada do modelo.","answer":"E","source":{"slug":"FUNPRESP_24_EXE","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O R² é não decrescente no número de regressoras: acrescentar variável nunca o reduz, retirar variável nunca o aumenta. Retirar X2 só pode manter ou baixar o coeficiente de explicação — e aqui certamente baixa, porque X2 é a regressora mais significativa da tabela, com coeficiente −3,0 e erro padrão 0,03, isto é, uma estatística t da ordem de −100. Quem sobe ao se retirar uma variável pouco informativa é o R² ajustado, não o R².","distortion_type":"inversao","distorted_span":"deverá aumentar se a variável X2 for retirada do modelo","corrected_statement":"O coeficiente de explicação deverá diminuir se a variável X2 for retirada do modelo.","concept":"R² é monótono no conjunto de regressoras; só o R² ajustado pode subir com a retirada","citation":null,"trap_note":"Separe os dois: o R² só anda para um lado quando o modelo perde variável, para baixo. O R² ajustado é que pode subir, porque troca ajuste por parcimônia. Item que faz o R² subir com menos variável está invertendo a direção."}},{"id":"6d349f5090f6","number":107,"stem":5,"statement":"O coeficiente de determinação do modelo (R²) é igual ou superior a 0,9.","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"O coeficiente de determinação é a razão entre a soma de quadrados explicada pela regressão e a soma de quadrados total. O enunciado dá as duas: 720 e 1.000. O quociente é 0,72, que não alcança o patamar de 0,9 afirmado.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"igual ou superior a 0,9","corrected_statement":"O coeficiente de determinação do modelo (R²) é igual ou superior a 0,7.","concept":"R² = soma de quadrados da regressão dividida pela soma de quadrados total","citation":null,"trap_note":"Identifique qual das três somas de quadrados o enunciado forneceu — total, da regressão ou dos resíduos — porque elas se somam: SQT = SQReg + SQRes. Com isso, R² e a correlação de Pearson (sua raiz, na regressão simples) saem sem os dados brutos."}},{"id":"46538a5fc228","number":108,"stem":5,"statement":"A estimativa da variância de β̂1 é igual ou superior a 0,05.","answer":"E","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A variância estimada do coeficiente angular é a estimativa de σ² dividida pela soma de quadrados da regressora. A estimativa de σ² é a soma de quadrados dos resíduos sobre n − 2, ou seja, (1.000 − 720)/79, cerca de 3,54. Dividida por 80, dá aproximadamente 0,044, abaixo de 0,05.","distortion_type":"numero_errado","distorted_span":"igual ou superior a 0,05","corrected_statement":"A estimativa da variância de β̂1 é igual ou superior a 0,04.","concept":"Var(β̂1) = σ̂²/Sxx, com σ̂² = SQRes/(n − 2)","citation":null,"trap_note":"Os graus de liberdade da regressão simples são n − 2, não n nem n − 1. Com amostra grande a diferença parece irrelevante, mas é exatamente onde a banca posiciona o limiar do item."}},{"id":"67de44df132c","number":111,"stem":5,"statement":"β̂1 = 3.","answer":"C","source":{"slug":"ANATEL_24","ano":2024},"explanation":{"verdict_reason":"A soma de quadrados explicada pela regressão simples é o quadrado do coeficiente angular multiplicado pela soma de quadrados da regressora. De 720 = β̂1² × 80 vem β̂1² = 9. O enunciado informa que β̂1 > 0, o que seleciona a raiz positiva.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Soma de quadrados da regressão igual a β̂1² vezes Sxx","citation":null,"trap_note":"Quando o enunciado entrega as somas de quadrados e a dispersão da regressora, o coeficiente angular sai sem os dados brutos. A informação de que β̂1 é positivo nunca é decorativa: é ela que escolhe entre +3 e −3."}},{"id":"a65dcbc85aaf","number":59,"stem":6,"statement":"Na equação 2, a multicolinearidade entre X2 e x3 é indiferente para a estimação não-viesada do coeficiente b1, desde que X1 não seja correlacionado com X2 ou com X3.","answer":"C","source":{"slug":"PETROBRAS_21_NS","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Multicolinearidade não viola nenhuma das hipóteses de que depende o não-viés do MQO: os estimadores continuam não viesados, apenas ganham variância e perdem precisão. O que ela compromete é a separação entre os efeitos das variáveis correlacionadas entre si — aqui, X2 e X3. Com X1 não correlacionado nem com X2 nem com X3, a parte de X1 ortogonal aos demais regressores permanece intacta, e a estimação de b1 não é atingida nem em viés nem em precisão.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Multicolinearidade infla variância; não produz viés","citation":null,"trap_note":"Separe viés de eficiência antes de julgar qualquer item sobre violação de hipótese. Multicolinearidade, heterocedasticidade e autocorrelação atacam a variância do estimador e a validade dos erros padrões; o viés vem de endogeneidade — variável omitida correlacionada, simultaneidade ou erro de medida no regressor."}},{"id":"32226b1dac2b","number":61,"stem":6,"statement":"O coeficiente b da equação 1 é o resultado da correlação entre os valores amostrais de X e Y, dividida pela variância de X.","answer":"E","source":{"slug":"PETROBRAS_21_NS","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"O estimador de MQO na regressão simples é a covariância entre X e Y dividida pela variância de X. A correlação já é a covariância padronizada pelos dois desvios padrão, de modo que dividi-la outra vez pela variância de X produz grandeza diferente — e dimensionalmente errada, porque o coeficiente angular tem de sair em unidade de Y por unidade de X. Trocou-se um termo por seu vizinho padronizado; o resto da fórmula está correto.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"da correlação entre os valores amostrais de X e Y","corrected_statement":"O coeficiente b da equação 1 é o resultado da covariância entre os valores amostrais de X e Y, dividida pela variância de X.","concept":"MQO simples: coeficiente angular é covariância sobre variância de X","citation":null,"trap_note":"Covariância e correlação diferem por uma padronização, e é nessa diferença que a banca mexe. O teste rápido é a unidade: inclinação tem de sair em unidade de Y por unidade de X, o que só acontece com covariância no numerador — correlação é adimensional e não poderia produzir uma inclinação."}},{"id":"f87848216ca8","number":62,"stem":6,"statement":"A homocedasticidade, conceito que implica que o erro não-observável “e” de uma regressão múltipla seja constante, é uma das condições para que os coeficientes b1, b2 e b3 da equação 2 sejam não-viesados e consistentes.","answer":"E","source":{"slug":"PETROBRAS_21_NS","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Homocedasticidade é variância constante do erro, não erro constante — erro constante nem seria variável aleatória. E, sobretudo, ela não entra nas condições de não-viés nem de consistência, que dependem da exogeneidade dos regressores. O que a homocedasticidade sustenta é a eficiência: pelo teorema de Gauss-Markov, sem ela o MQO continua não viesado e consistente, apenas deixa de ter variância mínima.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"sejam não-viesados e consistentes","corrected_statement":"A homocedasticidade, conceito que implica que a variância do erro não-observável “e” de uma regressão múltipla seja constante, é uma das condições para que os estimadores dos coeficientes b1, b2 e b3 da equação 2 sejam eficientes.","concept":"Homocedasticidade é condição de eficiência, não de não-viés","citation":null,"trap_note":"Em todo item de hipótese do modelo clássico, pergunte a qual propriedade a hipótese se liga: exogeneidade responde por não-viés e consistência; homocedasticidade e ausência de autocorrelação respondem por eficiência e pela validade dos erros padrões. Trocar uma coluna pela outra é a manobra mais frequente do assunto."}},{"id":"3d768d6e757b","number":69,"stem":7,"statement":"Sob a presença de heteroscedasticidade num modelo de regressão linear, o método dos mínimos quadrados ordinários não gera estimativas de parâmetros eficientes ou de variância mínima, o que implica erros padrões viesados.","answer":"C","source":{"slug":"FUNPRESP_21","ano":2021},"explanation":{"verdict_reason":"Sob heterocedasticidade o MQO permanece não viesado e consistente, mas deixa de ser o estimador linear de variância mínima: o teorema de Gauss-Markov exige variância constante do erro, e é a eficiência que se perde. Além disso, a fórmula usual da variância dos coeficientes deixa de valer, de modo que os erros padrões calculados por ela ficam viesados e invalidam os testes t e F construídos sobre eles. Daí o recurso a erros padrões robustos ou a mínimos quadrados generalizados.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Heterocedasticidade: perda de eficiência e erros padrões inválidos","citation":null,"trap_note":"Repare que este item nega propriedades e é Certo. Nesta disciplina a negação não sinaliza Errado — o que decide é a qual propriedade a negação se dirige. Negar eficiência sob heterocedasticidade é enunciar o teorema; negar não-viés ou consistência é que seria falso."}}]}