{"subject_id":"9f1e42dd9006486889ca36b27d1b8efb","topico":"Lei dos grandes números fraca × forte; LGN × teorema central do limite","stems":["Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue os próximos itens, considerando Φ⁻¹(0,975) = 1,96.","Considerando que o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples retirada de uma população normal seja denotado por Sn, julgue os próximos itens.","Em relação a uma variável aleatória Y que segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p = 0,4, julgue os itens que se seguem."],"questions":[{"id":"633410c662de","number":72,"stem":0,"statement":"Suponha que sejam escolhidos aleatoriamente 1.024 números do intervalo [0, 1], satisfazendo-se uma distribuição uniforme, e que Xi represente o i-ésimo número escolhido. Nesse caso, se X̄ = (X1 + X2 + ⋯ + X1.024)/1.024, então, pela lei dos grandes números, garante-se que P(|X̄ − 1/2| ≥ 1/16) ≤ 1/48.","answer":"E","source":{"slug":"ANTT_23","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"A cota de 1/48 é exatamente o que fornece a desigualdade de Chebyshev: a variância da uniforme em [0, 1] é 1/12, a da média de 1.024 observações é 1/12.288 e, dividida por (1/16)², resulta 1/48. A lei dos grandes números, porém, é um enunciado de convergência quando o tamanho da amostra cresce sem limite; ela não fornece cota alguma para um tamanho fixo. O número está certo, o teorema invocado para sustentá-lo é que não é.","distortion_type":"atribuicao_errada","distorted_span":"pela lei dos grandes números","corrected_statement":"Suponha que sejam escolhidos aleatoriamente 1.024 números do intervalo [0, 1], satisfazendo-se uma distribuição uniforme, e que Xi represente o i-ésimo número escolhido. Nesse caso, se X̄ = (X1 + X2 + ⋯ + X1.024)/1.024, então, pela desigualdade de Chebyshev, garante-se que P(|X̄ − 1/2| ≥ 1/16) ≤ 1/48.","concept":"Desigualdade de Chebyshev × lei dos grandes números","citation":null,"trap_note":"Três ferramentas, três funções: Chebyshev dá cota válida para amostra finita, a lei dos grandes números é o limite que dela se obtém, e o teorema central do limite dá probabilidade aproximada. Leia qual delas o item nomeia antes de conferir a aritmética."}},{"id":"c9d0828fad9e","number":97,"stem":1,"statement":"Caso a população seja normal padrão, então, pela lei fraca dos grandes números, Sn converge em probabilidade para 1 à medida que n → +∞.","answer":"C","source":{"slug":"BCB_24","ano":2023},"explanation":{"verdict_reason":"Na normal padrão a variância populacional vale 1 e o desvio padrão também. O desvio padrão amostral é função contínua de médias amostrais, e a lei fraca dos grandes números faz essas médias convergirem em probabilidade para os momentos populacionais; pela continuidade, a estatística converge em probabilidade para o desvio padrão da população, que é 1. O modo de convergência afirmado é o certo: lei fraca entrega convergência em probabilidade — a lei forte entregaria convergência quase certa.","distortion_type":"correto","distorted_span":null,"corrected_statement":null,"concept":"Consistência da dispersão amostral pela lei fraca dos grandes números","citation":null,"trap_note":"Leia primeiro qual teorema o item nomeia e só depois se o modo de convergência combina com ele: lei fraca dá convergência em probabilidade, lei forte dá convergência quase certa, e o teorema central do limite não dá convergência de estimador nenhum — dá a distribuição do erro reescalado por raiz de n."}},{"id":"ac15d20359f6","number":118,"stem":2,"statement":"A partir de um valor n suficientemente grande, com base no teorema central do limite, é correto afirmar que a variável padronizada (Y − 0,4n)/(0,4n) segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão.","answer":"E","source":{"slug":"MPC_SC_22_SERVIDOR","ano":2022},"explanation":{"verdict_reason":"Y é binomial com média np = 0,4n e variância np(1 − p) = 0,24n, logo desvio padrão igual à raiz de 0,24n. Padronizar é subtrair a média e dividir pelo desvio padrão; o item subtrai a média certa e divide de novo pela média. O quociente resultante tende a zero quando n cresce, e não para a normal padrão. O teorema central do limite vale para a binomial — o que não vale é a padronização escrita no item.","distortion_type":"troca_de_termo","distorted_span":"(Y − 0,4n)/(0,4n)","corrected_statement":"A partir de um valor n suficientemente grande, com base no teorema central do limite, é correto afirmar que a variável padronizada (Y − 0,4n)/√(0,24n) segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão.","concept":"Padronizar divide pelo desvio padrão, não pela média","citation":null,"trap_note":"Em item de teorema central do limite, leia primeiro o denominador: o numerador quase sempre traz a média certa e o erro mora na raiz. Na binomial, média np e desvio padrão a raiz de np(1 − p). Dividir pela variância, pela média ou por n em vez do desvio padrão é a forma canônica do erro."}}]}