VaR: paramétrico × histórico × simulação de Monte Carlo; horizonte e nível de confiança

O acervo deste projeto guarda 1 item deste tópico, de uma prova da FUNPRESP. A nota foi escrita a partir do edital e da bibliografia — não do corpus — e não traz frequências medidas.

A ideia que organiza o assunto

Um gestor de risco precisa responder a uma pergunta que um diretor faz em uma frase: quanto podemos perder? A resposta honesta — “depende, a distribuição inteira está aqui” — não serve para decidir limite de mesa nem para calibrar capital. O VaR é a redução dessa distribuição inteira a um número, e a redução é feita do modo mais simples possível: cortando a distribuição num ponto e lendo o valor ali.

VaR é um quantil da distribuição de resultados. Só isso.

Dessa frase saem, sem esforço, as duas metades do tópico.

A primeira é que um VaR sem os dois parâmetros não existe. Cortar exige dizer onde se corta — o nível de confiança — e de qual distribuição se corta — a dos resultados sobre um horizonte determinado. “O VaR do banco é de dez milhões” é uma frase incompleta; “o VaR de um dia, a 99% de confiança, é de dez milhões” é uma frase. Horizonte e nível de confiança não são detalhes de calibragem: são parte da definição.

A segunda é a que organiza os três métodos. Se o VaR é uma leitura de quantil, e a leitura é trivial, então o método não é sobre o VaR — é sobre como se obtém a distribuição de onde ele é lido. E aí há exatamente três respostas:

método	de onde vem a distribuição
paramétrico	suponho a forma (normal) e estimo os parâmetros
histórico	não suponho forma: uso a distribuição empírica do passado
Monte Carlo	suponho um processo e gero a distribuição simulando

Supor a forma, tomar a forma observada, ou gerar a forma. Todo item de comparação entre os três métodos se resolve perguntando qual dessas três coisas o item atribuiu a qual método.

Por que se usa (e o que custa)

O que o VaR comprou. Antes dele, cada mesa media o próprio risco na própria língua: renda fixa em duration, câmbio em posição, ações em beta. O VaR traduziu todas para unidades monetárias sobre um horizonte comum, e isso é o que permite somar, comparar, alocar limite e cobrar capital. Sua adoção universal não se deve a superioridade estatística: deve-se a ser agregável e comunicável. É o número que cabe numa frase dita ao conselho.

O que ele cobra. Um quantil é um corte, e um corte descarta tudo o que está do outro lado. O VaR diz qual é a fronteira da perda e não diz nada sobre o que existe além dela. Essa é a limitação estrutural do instrumento, e ela é séria o bastante para organizar um tópico inteiro por si — o das premissas, do estresse e do backtesting. Aqui basta registrar que a limitação não é defeito de implementação: ela está na definição de quantil, e nenhum dos três métodos a remove.

Como funciona

A definição, nas duas formulações que se cobram. A formulação de manual é a mais repetida: a perda máxima esperada de uma carteira, em um horizonte de tempo, a um dado nível de confiança, em condições normais de mercado. A formulação precisa é a que se deve entender por trás dela: a perda que não será excedida com probabilidade igual ao nível de confiança — ou, equivalentemente, a menor das perdas do conjunto de cenários piores. As duas descrevem o mesmo número; a segunda é a que evita ler o VaR como teto.

Os três insumos. Toda medição exige: a carteira e sua composição atual; o horizonte sobre o qual os resultados são medidos; e o nível de confiança. Sem os três não há número comparável.

Mapeamento de fatores de risco. Antes de qualquer método, a carteira deixa de ser uma lista de contratos e vira uma exposição a um conjunto pequeno de fatores — taxas de juros em vértices escolhidos, taxas de câmbio, preços de ações, spreads. É aqui que o tópico se conecta ao da duration: a exposição de um título prefixado a um fator de taxa é, em primeira ordem, a sua duration modificada multiplicada pelo valor da posição.

Paramétrico, ou de variância-covariância. Supõe que os retornos dos fatores são normais e que a carteira é linear nesses fatores. Sob essas duas hipóteses, o resultado da carteira também é normal, e o quantil é imediato:

VaR = z × σ × V

com V o valor da posição, σ a volatilidade do horizonte e z o quantil da normal padrão. Em carteira, σ sai da matriz de covariâncias, e é dela que nasce o efeito de diversificação: como as correlações são menores que um, o VaR da carteira fica abaixo da soma dos VaRs individuais. Rápido, analítico, barato de recalcular — e amarrado às duas hipóteses. Onde a carteira tem opções, a relação com o fator deixa de ser linear e o método erra; a correção usual é a aproximação delta-gama, que empresta à carteira a mesma lógica de duration e convexidade.

Simulação histórica. Não supõe distribuição nenhuma. Toma as variações dos fatores efetivamente observadas nos últimos N períodos, aplica cada uma delas à carteira de hoje, reavalia a carteira inteira em cada cenário, ordena os resultados do pior para o melhor e lê o quantil desejado. As vantagens vêm todas do mesmo lugar — a distribuição é a que o mercado produziu: caudas pesadas e correlações reais entram sem serem modeladas, e a reavaliação plena trata instrumentos não lineares corretamente. As limitações também vêm todas do mesmo lugar: só pode acontecer o que já aconteceu dentro da janela; a janela pesa igualmente um dia de crise e um dia calmo; e, como o quantil extremo se apoia em pouquíssimas observações, ele é estatisticamente instável.

Simulação de Monte Carlo. Supõe um processo estocástico para os fatores — com distribuição, parâmetros e estrutura de dependência escolhidos —, gera milhares de trajetórias artificiais, reavalia a carteira em cada uma e lê o quantil. É o método mais flexível: aceita qualquer distribuição, inclusive com caudas pesadas e assimetria, trata não linearidade por reavaliação plena e permite horizontes longos e produtos com trajetória. O preço é duplo: custo computacional e, sobretudo, risco de modelo — o resultado não é mais confiável que o processo suposto. Gerar um milhão de cenários a partir de uma premissa errada produz um número preciso e falso.

Horizonte. Deve corresponder ao tempo necessário para desmontar ou proteger a posição. Mesa de negociação líquida trabalha com um dia; carteiras menos líquidas exigem mais, e é essa lógica que fundamenta o horizonte regulatório de dez dias. A conversão entre horizontes usa a raiz do tempo — VaR de dez dias igual ao de um dia multiplicado por √10 —, e a conversão só é legítima sob independência dos retornos, o que os fatos estilizados do mercado desmentem. Horizonte maior, VaR maior.

Nível de confiança. Desloca o ponto de corte para dentro da cauda. Confiança maior, VaR maior. A escolha não é estatística, é institucional: gestão interna costuma trabalhar em nível mais baixo, porque ali há observações suficientes para verificar o modelo; exigência de capital trabalha em nível mais alto, porque o que se quer proteger é a solvência. Sob normalidade, mudar o nível apenas troca o z e não altera o ordenamento entre carteiras; com caudas pesadas, altera — duas carteiras podem inverter posição entre um nível e outro, e esse é um ponto fino que distingue o candidato preparado.

O uso regulatório. No arcabouço de Basileia, o modelo interno de risco de mercado foi construído sobre VaR de dez dias a 99%, com a exigência de capital obtida aplicando-se um multiplicador ao número — multiplicador que sobe conforme o desempenho do modelo na verificação retrospectiva. O ponto a reter é o desenho: o regulador nunca aceitou o VaR sozinho, e sempre o cercou de multiplicador, teste de estresse e verificação.

O que decide os itens

Os três métodos, lado a lado — a tabela que resolve a maior parte do tópico:

	paramétrico	histórico	Monte Carlo
origem da distribuição	forma suposta (normal)	empírica, observada	gerada por processo suposto
supõe normalidade	sim	não	só se você quiser
capta caudas pesadas	não	sim, as que ocorreram	sim, se modeladas
trata não linearidade	mal (exige delta-gama)	sim (reavaliação plena)	sim (reavaliação plena)
cenários possíveis	infinitos, pela forma	só os já ocorridos	infinitos, pelo processo
custo computacional	baixo	médio	alto
principal fraqueza	hipótese de normalidade e linearidade	depende da janela	risco de modelo

Paramétrico × histórico — supõe forma × usa a forma observada. Item que diga que a simulação histórica pressupõe normalidade inverteu a característica que define o método.

Histórico × Monte Carlo — ambos reavaliam a carteira em cenários; a diferença é a origem dos cenários: observados × gerados. É a troca mais fácil de cometer, porque os dois são “simulação”.

Os dois parâmetros e o sentido do efeito — confiança maior aumenta o VaR; horizonte maior aumenta o VaR. Não há exceção, e itens que invertam um dos dois sinais são aritmeticamente falsos.

Conversão de horizonte — pela raiz do tempo, e sob hipótese de independência. Multiplicar o VaR diário pelo número de dias é erro de escala.

VaR × volatilidade — a volatilidade é insumo do VaR paramétrico, não o VaR. O que transforma uma na outra é o quantil e o valor da posição.

VaR da carteira × soma dos VaRs — com correlações abaixo de um, o da carteira é menor: é o efeito de diversificação, e ele aparece pela matriz de covariâncias.

VaR × perda máxima — o VaR não é o pior caso. É a fronteira do conjunto de casos ruins, e por construção existe uma probabilidade não nula de perdas maiores.

Reavaliação plena × aproximação linear — a primeira recalcula o valor de cada instrumento em cada cenário; a segunda usa sensibilidades. Carteira com opção exige a primeira.

Números que caem

fórmula do VaR paramétrico	VaR = z × σ × V
z para 95% de confiança (unicaudal)	1,645
z para 99% de confiança (unicaudal)	2,326
z para 97,5% de confiança (unicaudal)	1,960
conversão de horizonte	VaR de t dias = VaR de 1 dia × √t
VaR de 10 dias a partir do diário	× √10 ≈ 3,16
padrão regulatório de Basileia (modelo interno)	10 dias, 99%
multiplicador mínimo sobre o VaR regulatório	3
relação entre os efeitos	confiança ↑ ⇒ VaR ↑ · horizonte ↑ ⇒ VaR ↑

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O 1 item do acervo, da FUNPRESP, é Certo e é uma definição: “o método do valor em risco (VaR) identifica o limite inferior de uma distribuição de retornos que ocorre com pouca frequência.” Vale registrar o que ele ensina, porque contraria o reflexo do candidato: a frase descreve o VaR como fronteira da cauda, e não como teto de perda — e é por descrever, e não restringir nem prometer, que ela passa. Um item não sustenta frequência nenhuma.

Trocar a hipótese de um método pela de outro. O formato mais provável, porque os três métodos têm nomes parecidos e descrições longas. “A simulação histórica pressupõe que os retornos sigam distribuição normal” — não pressupõe, e é justamente por não pressupor que ela existe. “O método paramétrico dispensa hipóteses sobre a distribuição” — é o contrário. Defesa: leia o item procurando uma só palavra: forma suposta, forma observada, forma gerada.

Confundir as duas simulações. Histórica e Monte Carlo compartilham a mecânica — cenários, reavaliação, ordenação — e diferem na origem dos cenários. Item que descreva a histórica gerando cenários aleatórios, ou o Monte Carlo limitado ao que já ocorreu, trocou os donos.

Apresentar o VaR como perda máxima possível. “O VaR indica o valor máximo que a instituição pode perder no período.” Não indica, e a palavra que trai é máximo sem qualificação. Defesa: o VaR é máximo dentro do nível de confiança; fora dele, não há teto.

Omitir um dos dois parâmetros e seguir afirmando algo comparável. Um VaR sem horizonte e sem nível de confiança não pode ser comparado a outro, e item que compare dois números sem informar os parâmetros compara coisas diferentes.

Inverter o sentido de um parâmetro. “Elevando-se o nível de confiança de 95% para 99%, o VaR se reduz.” O corte anda para dentro da cauda; o número sobe. Vale igual para o horizonte.

Escalar o horizonte linearmente. “O VaR de dez dias equivale a dez vezes o VaR diário.” É √10, e mesmo isso sob a hipótese de independência.

Dar ao paramétrico virtudes que ele não tem. Tratar opções corretamente, captar caudas pesadas, dispensar a matriz de covariâncias. Defesa: o paramétrico é o método rápido e restrito; toda virtude atribuída a ele que dependa de não linearidade ou de cauda é falsa.

Dar ao Monte Carlo precisão que ele não tem. “Por gerar número ilimitado de cenários, o método de Monte Carlo elimina o risco de modelo.” Ele é o método que mais depende de modelo, porque o processo é inteiramente escolhido por quem calcula. Aumentar o número de simulações reduz erro de simulação, não erro de premissa.

Somar VaRs. “O VaR da carteira corresponde à soma dos VaRs das posições.” Só valeria com correlação perfeita e positiva entre todos os fatores. Defesa: diversificação reduz, e é a matriz de covariâncias que a captura.

Absolutos sobre superioridade. “A simulação histórica é o método mais preciso.” Cada um domina em um cenário: o paramétrico em carteira linear e grande, a histórica em carteira não linear com série longa e confiável, o Monte Carlo quando o produto exige trajetória. Pergunte de quem é o absoluto — nenhum manual do tópico afirma superioridade incondicional.

Erros clássicos

Achar que o VaR é um modelo. Ele é uma leitura de quantil. O modelo é o que produz a distribuição, e é sobre isso que os três métodos discordam. Quem guarda essa separação não troca as hipóteses de lugar.

Falar em VaR sem horizonte e sem confiança. O número isolado não significa nada e não se compara com nenhum outro. É o erro mais frequente na linguagem corrente, inclusive de quem trabalha com risco.

Confundir nível de confiança com probabilidade de quebra. Confiança de 99% em um dia significa que se espera exceder o VaR em cerca de um dia a cada cem dias úteis, e não que a instituição tenha um por cento de chance de quebrar.

Tratar a janela da simulação histórica como neutra. Ela é a premissa principal do método. Janela curta responde rápido e ignora crises; janela longa guarda as crises e demora a reagir. Não existe escolha sem consequência.

Esquecer que o VaR é sempre da carteira de hoje. Os três métodos aplicam cenários — passados ou gerados — à composição atual. Nenhum deles mede o que a carteira de ontem perdeu; todos medem o que a de hoje perderia.

Ler mais simulações como mais acurácia. Mais trajetórias no Monte Carlo estreitam o erro de simulação em torno da resposta do modelo, e a aproximam do número que aquele modelo sempre daria — certo ou errado.

Supor que um VaR menor significa carteira mais segura. Ele pode significar apenas que a janela não contém crise, que a distribuição suposta tem cauda leve ou que o horizonte é curto demais para a liquidez real da posição.