CAPM: beta, prêmio de risco de mercado, carteira de mercado; SML × CML

O acervo deste projeto guarda 2 itens deste tópico, vindos de cadernos da FUNPRESP. A nota foi escrita a partir do edital e da bibliografia — não do corpus — e não traz frequências medidas.

Vale dizer isso com todas as letras: o CAPM é o modelo mais examinável das finanças e o acervo deste projeto guarda dois itens dele. Dois itens não sustentam frequência nenhuma, e nada nesta nota deve ser lido como medida da preferência da banca. O edital o exige, o modelo é a espinha dorsal de tudo o que vem depois dele, e a sua prova pode cobrá-lo em qualquer das frentes que esta nota descreve. Ela foi escrita como se fosse.

A ideia que organiza o assunto

O CAPM responde a uma pergunta, e é uma pergunta de preço, não de estatística: por qual parcela do risco o mercado aceita pagar?

A resposta vem em dois passos, e o primeiro já está pronto no tópico de diversificação: como o risco específico de uma empresa pode ser eliminado de graça, bastando distribuir o dinheiro entre muitos papéis, ninguém paga prêmio para que você o carregue. Quem insiste em carregá-lo está sendo mal pago por escolha própria. O que sobra depois da diversificação — o risco que atinge todos os ativos ao mesmo tempo — é o único que não tem como ser evitado e, portanto, o único que precisa ser remunerado.

O segundo passo é o pulo do CAPM, e é aqui que quase todo candidato escorrega: a contribuição de um ativo ao risco de uma carteira bem diversificada não é a volatilidade dele, é a covariância dele com o mercado. Um ativo pode oscilar violentamente e, ainda assim, quase não aumentar o risco da carteira, se as suas oscilações não acompanharem as do mercado. Normalize essa covariância pela variância do mercado e o resultado tem nome:

β = cov(Rᵢ, Rm) / var(Rm) — quanto do movimento do mercado chega a este ativo.

Daí sai a única equação que precisa ser sabida de cor, e ela é lida como uma conta de aluguel do dinheiro:

E(Rᵢ) = R_f + βᵢ · [E(Rm) − R_f]

retorno exigido = preço do tempo + (quantidade de risco sistemático) × (preço unitário do risco)

O termo entre colchetes é o prêmio de risco de mercado: o que o mercado paga por uma unidade de beta. O beta é quantas unidades desse risco o ativo tem. O prêmio de risco do ativo é o produto dos dois — e trocar um pelo outro é a confusão que mais derruba item neste assunto.

A frase que organiza tudo, e da qual o resto é derivável:

Risco diversificável não é pago; risco sistemático é pago; o beta mede quanto dele você tem.

Por que se usa (e o que custa)

O que o CAPM entrega. Ele transforma “esse investimento é arriscado” em um número: a taxa de desconto que se usa para trazer fluxos a valor presente, para calcular o custo de capital próprio de uma empresa, para decidir um projeto, para avaliar se um gestor entregou retorno ou apenas comprou risco. Antes dele, não havia como dizer o que era “retorno adequado”. Depois dele, existe um referencial contra o qual medir tudo — e é por isso que o alfa só faz sentido depois do CAPM: alfa é o que sobra depois de descontar o que o beta já explicava. A elegância do modelo é que ele exige uma entrada só. Não é preciso estimar a covariância de cada par de ativos; basta o beta de cada um contra um índice.

O que ele custa: as premissas. O modelo só vale num mundo bastante particular, e a lista é cobrável item a item:

investidores maximizam utilidade em média e variância, num único período — o que exige retornos normais ou utilidade quadrática;
expectativas homogêneas: todos veem os mesmos retornos esperados, variâncias e covariâncias;
existe um ativo livre de risco no qual se pode aplicar e tomar emprestado sem limite à mesma taxa;
sem impostos, sem custos de transação, ativos infinitamente divisíveis e todos negociáveis;
concorrência perfeita: todos são tomadores de preço;
informação livre e simultânea.

E o que essas premissas produzem de errado. Empiricamente, a relação entre beta e retorno é mais plana do que o modelo prevê, e sobram efeitos que o beta não capta — tamanho, valor, momento, baixa volatilidade. Pior que isso, há uma objeção lógica anterior a qualquer dado: a crítica de Roll. A carteira de mercado teórica contém todos os ativos com risco — ações de todos os países, títulos privados, imóveis, empresas de capital fechado, capital humano — e não é observável. Todo teste do CAPM usa um índice como aproximação e acaba testando se aquele índice é eficiente em média-variância, não se o modelo é verdadeiro. O CAPM, em rigor, não é testável. Essa é a mesma lógica da hipótese conjunta que aparece no tópico de mercados eficientes, e as duas se apoiam mutuamente: sem modelo de risco não há “retorno anormal”; e o modelo de risco não é verificável isoladamente.

Por que continua sendo ensinado e usado. Porque a intuição sobrevive à falha empírica: só se paga pelo que não se pode evitar. As correções que vieram depois — o CAPM de beta zero de Black, quando não há empréstimo livre de risco ilimitado; os modelos multifatoriais; a APT — mantêm essa intuição e mudam apenas quantas fontes de risco sistemático existem.

Como funciona

A construção, em quatro passos. Cada passo é um objeto que a banca cobra pelo nome:

Fronteira eficiente de Markowitz. Só com ativos arriscados, o conjunto das carteiras de maior retorno esperado para cada nível de desvio padrão é uma curva — a parte superior da hipérbole de mínima variância.
Entra o ativo livre de risco. Combinando R_f com qualquer carteira arriscada, obtém-se uma reta no plano (σ, E(R)). A melhor reta possível é a que sai de R_f e tangencia a fronteira. O ponto de tangência é a carteira T.
Teorema da separação (Tobin). Todo investidor escolhe a mesma carteira arriscada T, e só varia o quanto põe nela e quanto deixa no ativo livre de risco. A escolha do conteúdo da parte arriscada separa-se da tolerância ao risco — o conservador e o arrojado têm a mesma carteira de ações, em doses diferentes.
Equilíbrio. Se todos querem a mesma carteira T e todos os ativos precisam ser detidos por alguém, então T é a carteira de mercado M — todos os ativos com risco, ponderados pelo valor de mercado. A reta que sai de R_f e passa por M é a Linha de Mercado de Capitais (CML).

CML e SML são duas retas em dois gráficos diferentes. Esta é a distinção que carrega o tópico inteiro, e está detalhada na seção seguinte porque é onde os itens se decidem. Aqui basta fixar os eixos: a CML vive no plano (σ, retorno) e a SML vive no plano (β, retorno).

CML: E(Rp) = R_f + [(E(Rm) − R_f) / σm] · σp

SML: E(Rᵢ) = R_f + βᵢ · [E(Rm) − R_f]

A inclinação da CML é o índice de Sharpe do mercado — prêmio por unidade de risco total. A inclinação da SML é o prêmio de risco de mercado — prêmio por unidade de beta.

Propriedades do beta que decidem itens:

β do mercado = 1, por construção. β do ativo livre de risco = 0.
o beta de uma carteira é a média ponderada dos betas dos seus componentes, com os pesos em valor. Isso é linearidade, vale sempre, e é a única conta de beta que costuma cair com números.
β > 1 é agressivo (amplifica o mercado), 0 < β < 1 é defensivo.
β negativo é possível — e um ativo assim tem retorno exigido abaixo da taxa livre de risco, porque ele funciona como seguro: paga justamente quando tudo mais cai. Item que diga que isso é impossível está errado.
β não é volatilidade. Um ativo com desvio padrão altíssimo e correlação baixa com o mercado tem beta baixo. Decompondo: β = ρᵢm · σᵢ / σm.

Risco total decomposto — a identidade que liga este tópico ao de diversificação: σᵢ² = βᵢ² σm² (sistemático) + σ²(εᵢ) (específico). O R² da regressão do ativo contra o mercado é a fração sistemática; numa carteira bem diversificada ela tende a 1, e é por isso que, ali, risco total e risco sistemático passam a ser a mesma coisa. Fora da carteira diversificada, não são.

Alfa e o uso prático. Em equilíbrio, todo ativo está exatamente sobre a SML. Na prática, compara-se o retorno esperado pelo analista com o exigido pelo CAPM; a diferença é o alfa de Jensen:

posição em relação à SML	alfa	leitura
acima da SML	positivo	oferece mais do que o risco exige → subvalorizado, comprar
sobre a SML	zero	precificado corretamente
abaixo da SML	negativo	sobrevalorizado, vender

A regra mnemônica é a de sempre — acima da linha é barato — e a inversão dela é item pronto.

O que decide os itens

SML × CML é o par que decide este tópico. É a única tabela desta nota que precisa ser sabida na ordem, de cima a baixo:

	CML — Linha de Mercado de Capitais	SML — Linha de Mercado de Títulos
eixo horizontal	σ — risco total (desvio padrão)	β — risco sistemático
o que fica sobre ela	apenas carteiras eficientes — combinações de R_f com a carteira de mercado	todos os ativos e carteiras, eficientes ou não
serve para precificar um ativo isolado?	não	sim
inclinação	(E(Rm) − R_f) / σm — índice de Sharpe do mercado	E(Rm) − R_f — prêmio de risco de mercado
ponto de partida	R_f, tangenciando a fronteira eficiente	R_f, passando por (β = 1, E(Rm))
existe sem ativo livre de risco?	não; sem R_f o que há é a fronteira curva de Markowitz	sim, na versão de beta zero
o que significa estar abaixo dela	a carteira é ineficiente (carrega risco diversificável)	o ativo está sobrevalorizado

Três consequências das quais quase tudo neste tópico decorre:

Um ativo individual fica abaixo da CML e sobre a SML. As duas afirmações são verdadeiras ao mesmo tempo e não se contradizem: ele é ineficiente (carrega risco que poderia ter diversificado) e está corretamente precificado (o mercado só lhe paga o beta).
Só a SML precifica. Se o enunciado fala de um ativo, de uma ação, de um projeto, a reta é a SML. A CML só tem o que dizer sobre carteiras já eficientes.
Para carteiras eficientes, as duas concordam. Elas estão sobre as duas retas, porque nelas o risco total é o sistemático.

Prêmio de risco de mercado × prêmio de risco do ativo:

	fórmula	o que é
prêmio de risco de mercado	E(Rm) − R_f	o preço de uma unidade de beta; é o mesmo para todos os ativos
prêmio de risco do ativo	βᵢ · [E(Rm) − R_f]	o prêmio deste ativo
retorno exigido do ativo	R_f + βᵢ · [E(Rm) − R_f]	inclui a remuneração do tempo

A carteira de mercado, em quatro fatos: contém todos os ativos com risco, ponderados por valor de mercado; é eficiente em média-variância; tem β = 1 e α = 0; e é inobservável, o que é o fundamento da crítica de Roll. Índice de bolsa é aproximação, não definição.

O que muda, o que não muda:

diversificar reduz σ, não reduz o beta da carteira. O beta continua sendo a média ponderada dos betas. Quem diversifica elimina o específico e fica com o sistemático inteiro.
elevação da taxa livre de risco desloca a SML para cima, paralelamente, se o prêmio de mercado for mantido; elevação da aversão ao risco aumenta o prêmio e inclina a SML.
o beta de um projeto não é o beta da empresa quando o projeto tem risco de negócio diferente — usa-se o beta de empresas comparáveis. E o beta da ação embute alavancagem financeira, o que exige desalavancar antes de comparar.

Onde este tópico encosta nos vizinhos. A diversificação estabelece o que sobra para ser precificado; o CAPM é o preço disso, com uma fonte de risco só. A APT faz o mesmo trabalho sem carteira de mercado e com várias fontes — e é lá que se resolve a comparação de premissas entre os dois modelos. E a hipótese conjunta, na hipótese de mercados eficientes, é o motivo pelo qual nenhuma anomalia derruba definitivamente nem um nem outro.

Números que caem


CAPM	Sharpe, 1964; Lintner, 1965; Mossin, 1966; Treynor
Nobel de Economia da teoria de carteiras e do CAPM	1990 — Markowitz, Sharpe e Miller
seleção de carteiras, fronteira eficiente	Markowitz, 1952
separação de carteiras	Tobin, 1958
CAPM de beta zero (sem empréstimo livre de risco)	Black, 1972
crítica à testabilidade do CAPM	Roll, 1977
modelo de três fatores	Fama e French, 1993
beta da carteira de mercado	1
beta do ativo livre de risco	0
alfa da carteira de mercado, em equilíbrio	0
inclinação da SML	E(Rm) − R_f
inclinação da CML	(E(Rm) − R_f) / σm
beta	cov(Rᵢ, Rm) / var(Rm) = ρᵢm σᵢ / σm

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Os 2 itens que o acervo traz são da FUNPRESP e dividem o tópico exatamente onde esta seção previa que ele se dividiria. Um enuncia a premissa — “na construção da carteira de mercado, assume-se a hipótese de expectativas homogêneas” — e é Certo. O outro diz que “a remuneração de um ativo deve ser proporcional ao seu risco sistemático” e é Errado, porque quem é proporcional ao beta é o prêmio, não a remuneração: a SML parte de R_f. Dois itens são anedota, não frequência — mas confirmam que a confusão entre prêmio de mercado, prêmio do ativo e retorno exigido, anunciada na abertura desta nota como “a confusão que mais derruba item neste assunto”, é material de prova.

Inverter SML e CML. É o par que a banca inverte, e há três versões, todas plausíveis à leitura rápida:

“A SML relaciona o retorno esperado ao desvio padrão da carteira.” Não: a SML usa beta. Desvio padrão é a CML.
“A CML pode ser usada para determinar o retorno exigido de um ativo individual.” Não: só a SML precifica ativo isolado. A CML descreve carteiras eficientes.
“Em equilíbrio, todos os ativos situam-se sobre a CML.” Não: sobre a SML. Ativos individuais ficam abaixo da CML porque são ineficientes.

Defesa, e ela é mecânica: procure a palavra que nomeia o risco. Desvio padrão ou risco total → CML, e então o objeto tem de ser uma carteira eficiente. Beta ou risco sistemático → SML, e então vale para qualquer coisa.

Precificar risco total. “O CAPM estabelece que o retorno exigido de um ativo é proporcional ao seu risco total.” É a negação da ideia central do modelo. O CAPM paga apenas o sistemático.

Inverter o sinal do alfa. “Um ativo situado acima da SML está sobrevalorizado.” Está subvalorizado: oferece retorno maior do que o exigido pelo seu beta.

Tratar beta como volatilidade. “O ativo de maior desvio padrão tem necessariamente o maior beta.” A correlação entra na conta; um ativo muito volátil e pouco correlacionado com o mercado tem beta baixo.

Negar o beta negativo, ou o retorno abaixo de R_f. “Nenhum ativo pode ter retorno exigido inferior à taxa livre de risco.” Pode, e é o caso do beta negativo — o ativo que funciona como proteção.

Dizer que a diversificação reduz o beta. Ela reduz o risco específico e, com ele, o desvio padrão; o beta da carteira permanece a média ponderada dos betas dos componentes.

Errar a leitura do prêmio. “Um ativo com beta 1,5 tem retorno esperado 50% superior ao do mercado.” O beta multiplica o prêmio, não o retorno. Com R_f de 10% e mercado de 14%, o ativo exige 16%, e não 21%.

Definir a carteira de mercado como um índice. “A carteira de mercado corresponde ao índice representativo da bolsa de valores local.” O índice é uma aproximação empírica; a carteira de mercado teórica contém todos os ativos com risco. Esta troca é o coração da crítica de Roll.

Apagar as premissas. “O CAPM não impõe hipóteses sobre a distribuição dos retornos nem sobre a função utilidade dos investidores.” Impõe as duas coisas — normalidade ou utilidade quadrática, análise em média-variância, período único, expectativas homogêneas. Aqui a banca joga com a direção inversa da armadilha habitual: em vez de um absoluto exagerado, ela retira uma restrição verdadeira.

Confundir separação com igualdade de carteiras. “Pelo teorema da separação, todos os investidores mantêm carteiras idênticas.” Idêntica é a parte arriscada; a proporção entre ela e o ativo livre de risco varia com a tolerância ao risco de cada um.

Trocar o eixo do CAPM pelo da fronteira de Markowitz. Sem ativo livre de risco não existe CML — existe a fronteira curva. Item que desenhe uma reta de carteiras eficientes sem mencionar R_f está descrevendo outra coisa.

Erros clássicos

Não saber por que a covariância substitui a variância. É o núcleo do modelo. O que importa a quem já está diversificado não é o quanto o ativo balança, mas se ele balança junto. Quem entende isso deriva o beta, a SML e o alfa sem decorar nada.

Ler beta como “risco”. Beta é a quantidade de risco sistemático. O preço desse risco é o prêmio de mercado, que é o mesmo para todo mundo. Risco e preço do risco são coisas diferentes na mesma equação.

Aplicar a CML a um ativo. É o erro mais caro do tópico, porque a conta até sai — e sai errada. Ativo individual só se precifica na SML.

Achar que estar abaixo da CML significa estar mal precificado. Significa apenas ser ineficiente: carregar risco diversificável que o mercado não paga. Quase todo ativo individual está nessa condição, e nem por isso está barato ou caro.

Esquecer que em equilíbrio o alfa é zero. O alfa não é uma previsão do modelo; é o desvio em relação a ele, e só existe quando se compara a expectativa de alguém com o que o modelo exige.

Usar o beta histórico como se fosse o futuro. Beta é estimado por regressão sobre o passado, muda com a alavancagem e com o negócio da empresa, e por isso é comum ajustá-lo em direção a 1.

Misturar taxa exigida com taxa realizada. O CAPM entrega o retorno esperado/exigido. Que o retorno realizado tenha ficado acima ou abaixo dele não refuta o modelo — refuta apenas a expectativa de quem apostou.