Duration × convexidade; duration modificada, efeito do cupom e do prazo; imunização

A ideia que organiza o assunto

Um título de renda fixa não é uma coisa: é uma carteira de fluxos de caixa datados. Cupons em datas conhecidas e o principal no vencimento. O preço é a soma dos valores presentes desses fluxos, e é por isso que o preço é uma função da taxa de desconto — uma função decrescente e curva.

A partir daqui tudo é derivável, e a imagem que faz o trabalho é a de um gráfico: no eixo horizontal a taxa, no vertical o preço, e entre eles uma curva que desce e é côncava para cima.

Duration é a inclinação dessa curva. Convexidade é a curvatura dela.

Uma é a primeira derivada, a outra é a segunda. Essa frase resolve a maior parte dos itens do tópico sozinha, porque a banca vive de trocar as duas de lugar — e a troca sempre deixa rastro na unidade: duration se expressa em anos, convexidade não.

A segunda metade da ideia é o que dá à duration o seu duplo sentido. Como a duration é uma média dos prazos dos fluxos ponderada pelo valor presente de cada um, ela é simultaneamente um prazo (o centro de gravidade dos fluxos, em anos) e uma sensibilidade (quanto o preço se move por ponto de taxa). Não são duas definições concorrentes: são a mesma conta lida de dois ângulos. E é exatamente essa dupla natureza que torna possível a imunização — só se pode casar um prazo com um horizonte de investimento porque a sensibilidade, por acaso feliz da matemática, é medida na mesma moeda.

Por que se usa (e o que custa)

O que a duration compra. Um número. Comparar um NTN-F de dez anos com uma LTN de dois anos e uma debênture com cupom semestral é impossível olhando prazos, cupons e fluxos; olhando duration, é imediato. Ela é aditiva na carteira — a duration de um portfólio é a média das durations ponderada pelos valores de mercado —, o que permite dizer, com um só número, quanto a tesouraria perde se a curva subir 1%. É essa aditividade que faz da duration a linguagem comum de gestão de risco de taxa de juros, de hedge e de casamento de ativos e passivos.

O que ela custa. Três coisas, e todas as três são cobradas.

Primeiro, a duration é uma aproximação linear de uma função curva. Ela vale para variações pequenas e erra sistematicamente para variações grandes — e erra sempre no mesmo sentido, porque a curva verdadeira fica acima da reta tangente em ambos os lados. É por isso que a convexidade não é um refinamento acadêmico: é a correção que impede o modelo de mentir justamente quando o movimento é grande, que é quando o risco importa.

Segundo, a duration pressupõe deslocamento paralelo da curva de juros. Todos os vértices se movem na mesma magnitude. A curva real inclina, achata e torce, e nenhum desses movimentos é capturado por um único número.

Terceiro, ela pressupõe fluxos certos. Onde há opção embutida — título com cláusula de recompra, financiamento imobiliário pré-pagável —, o fluxo muda com a taxa, e a duration comum deixa de descrever o título.

Como funciona

Duration de Macaulay. A média dos prazos t de cada fluxo, ponderada pelo valor presente do fluxo:

D = Σ [ t × VP(fluxo t) ] / Preço

Resultado em anos. Dois casos-limite que valem por toda a fórmula: num título de cupom zero, a duration é igual ao prazo até o vencimento — há um só fluxo, e o centro de gravidade está sobre ele; numa perpetuidade, a duration é (1 + i)/i e não depende de prazo nenhum.

Duration modificada. É a de Macaulay corrigida pelo fator de desconto de um período:

Dmod = D / (1 + i/m)

com m pagamentos por ano. Ela deixa de ser um prazo e passa a ser diretamente uma elasticidade: a variação percentual aproximada do preço para uma variação de um ponto na taxa.

ΔP/P ≈ − Dmod × Δi

O sinal negativo é a relação inversa preço-taxa, que não é uma regra a decorar: é a consequência aritmética de descontar os mesmos fluxos a uma taxa maior.

Convexidade. A correção de segunda ordem:

ΔP/P ≈ − Dmod × Δi + ½ × C × (Δi)²

Como o termo entra ao quadrado, ele é positivo nos dois sentidos para um título sem opção embutida. Daí a assimetria que a prova adora: usando só a duration, você subestima a alta do preço quando a taxa cai e superestima a queda quando a taxa sobe. A convexidade é, portanto, desejável: entre dois títulos de mesma duration e mesmo preço, o de maior convexidade ganha mais na queda de juros e perde menos na alta. Por isso ela costuma vir embutida no preço.

O que move a duration. Quatro determinantes, e três deles empurram para baixo:

fator	efeito sobre a duration	por quê
prazo até o vencimento maior	aumenta	joga peso nos fluxos distantes
cupom maior	reduz	antecipa caixa, puxa o centro de gravidade para perto
taxa de mercado (YTM) maior	reduz	desconto castiga mais o fluxo distante
frequência de pagamento maior	reduz	o mesmo efeito do cupom

O efeito do prazo tem uma sutileza que a banca conhece: ele é positivo mas decrescente. A duration cresce com o prazo cada vez mais devagar e tende ao limite da perpetuidade, de modo que, em títulos de cupom alto e prazo muito longo, pode até recuar. A regra segura é a do cupom zero: ali, e só ali, prazo e duration coincidem exatamente.

Pós-fixados e indexados. Este é o ponto que separa quem entendeu de quem decorou. Num título pós-fixado, o cupom é repactuado periodicamente pela taxa corrente; a cada repactuação o preço volta ao par. A sensibilidade relevante é a do prazo até a próxima repactuação, não a do vencimento — por isso um pós-fixado de dez anos tem duration modificada menor que a de um prefixado de dois anos. Vencimento longo, duration curta, sem contradição alguma.

Convexidade negativa. Onde há opção embutida a favor do emissor, a convexidade se inverte em parte da curva. Num título resgatável, a queda de juros torna o resgate provável, o preço para de subir e fica preso perto do preço de recompra: a curva passa a ser côncava, e o investidor fica com o pior dos dois lados — perde na alta e não ganha na queda. É o mesmo fenômeno do pré-pagamento em carteiras imobiliárias.

Imunização. O problema que ela resolve é que a taxa de juros mexe em duas coisas ao mesmo tempo, e em sentidos opostos:

	alta de juros	baixa de juros
risco de preço (valor de venda)	perde	ganha
risco de reinvestimento (cupons recebidos)	ganha	perde

Os dois se compensam exatamente num ponto, e esse ponto é a duration. Igualando a duration da carteira ao horizonte de investimento, o valor acumulado na data-alvo fica aproximadamente imune a deslocamentos da taxa. Na versão de ativo e passivo — que é a de banco, de fundo de pensão e de seguradora —, as condições de Redington são três, e a terceira é a que os itens omitem:

1. valor presente dos ativos igual ao dos passivos;
2. duration dos ativos igual à dos passivos;
3. convexidade ou dispersão dos ativos maior que a dos passivos.

E há uma condição prática que vale por qualquer fórmula: a imunização não é permanente. A duration cai com a passagem do tempo em ritmo diferente do horizonte e muda a cada movimento de taxa, de modo que a carteira precisa ser rebalanceada. Uma imunização montada e esquecida deixa de imunizar.

Casamento de fluxo é outra coisa. O cash flow matching faz cada recebimento coincidir com cada pagamento, dispensa premissa sobre a curva e dispensa rebalanceamento — e é muito mais caro e restritivo. Imunização por duration é a alternativa barata, ao preço de supor deslocamento paralelo.

O que decide os itens

Duration × convexidade — a distinção que decide mais itens que todas as outras somadas:

	duration	convexidade
ordem da derivada	primeira — inclinação	segunda — curvatura
unidade	anos (Macaulay)	não é prazo
o que mede	sensibilidade do preço à taxa	como a duration muda quando a taxa muda
sinal do efeito no preço	negativo	positivo nos dois sentidos (sem opção embutida)
quando importa	variações pequenas	variações grandes

Macaulay × modificada — a primeira é prazo médio ponderado, em anos; a segunda é a primeira dividida por (1 + i/m) e serve para multiplicar direto pela variação da taxa. A modificada é sempre menor que a de Macaulay, e só coincidem quando a taxa é zero.

Preço × taxa — inversa, sempre. Um item que faça o preço subir com a taxa está errado por aritmética, e nenhuma cláusula posterior correta o salva.

Prefixado × pós-fixado — no prefixado a duration acompanha o prazo; no pós-fixado ela é o tempo até a repactuação. Vencimento não é duration.

Duration × prazo de vencimento — coincidem apenas no cupom zero. Em qualquer título com cupom, a duration é menor que o prazo.

Risco de preço × risco de reinvestimento — movem-se em sentidos opostos, e a imunização é exatamente o ponto em que se anulam. Item que afirme que a imunização elimina os dois riscos separadamente está errado: ela os compensa.

Imunização × casamento de fluxos — a primeira iguala durations e exige rebalanceamento; a segunda casa datas e não exige. Trocar as duas é um troca_de_termo clássico.

Convexidade positiva × negativa — sem opção embutida, positiva e desejável; com opção a favor do emissor (título resgatável, pré-pagamento), negativa na região de juros baixos.

Números que caem

duration de um cupom zero	igual ao prazo até o vencimento
duration de uma perpetuidade	(1 + i)/i — independe do prazo
duration modificada	Dmod = D / (1 + i/m)
variação de preço, 1.ª ordem	ΔP/P ≈ − Dmod × Δi
variação de preço, com convexidade	ΔP/P ≈ − Dmod × Δi + ½ × C × (Δi)²
duration de carteira	média das durations ponderada pelos valores de mercado
condições de Redington	valor presente igual · duration igual · convexidade do ativo maior
relação entre as duas durations	Dmod < D de Macaulay
DV01 / BPV	variação de preço para 1 ponto-base (0,01%)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O que já se pode dizer é o que os itens que chegaram a este tópico mostraram, e eles são poucos — leia como piso, não como frequência. Dos quatro itens lidos, os dois errados eram inversões, e nenhum deles errava um conceito: os dois trocaram o sentido de uma relação que o candidato sabe de cor.

Trocar duration por convexidade nas definições. O formato aparece no acervo em estado puro: convexidade apresentada como “medida expressa em anos que estima a sensibilidade do preço”, e duration como aquilo que “leva em conta como a duração muda quando as taxas se alteram”. As duas definições estão corretas — e nos nomes errados. Defesa: procure a palavra anos. Se ela estiver colada em convexidade, o item caiu.

Inverter a relação preço-taxa e esconder a inversão atrás de uma cláusula verdadeira. Também aparece assim no acervo: a alta de juros “gera o aumento do preço dos títulos prefixados, cuja variação será maior quanto menor for a taxa de cupom”. A segunda metade está impecável — cupom menor de fato amplia a variação — e é ela que faz o item parecer sofisticado. Defesa: julgue cada metade separadamente; a metade certa nunca redime a errada.

Inverter o sinal de um dos determinantes da duration. Três dos quatro fatores reduzem a duration, e o item precisa errar só um — cupom maior aumentando a duration, taxa de mercado maior aumentando a duration. Defesa: só o prazo empurra para cima.

Igualar duration a prazo de vencimento. Sozinho (“a duration corresponde ao prazo de vencimento do título”) ou disfarçado num pós-fixado longo. Defesa: coincidem no cupom zero e em nenhum outro lugar.

Vender a imunização como perfeita e permanente. “A imunização por duration elimina o risco de taxa de juros da carteira.” Elimina nada: aproxima, supõe deslocamento paralelo, vale para variações pequenas e exige rebalanceamento. Defesa: pergunte se o item admite alguma limitação. Se promete tudo, é do autor do item, não do modelo.

Tratar a convexidade como defeito ou como irrelevância. Ela é uma propriedade desejável em título sem opção embutida — e o item que a descrever como custo só está certo se estiver falando de convexidade negativa, em papel resgatável.

Trocar Macaulay por modificada na fórmula. A duration modificada é a de Macaulay dividida por (1 + i/m); o item que multiplica, ou que apresenta a modificada como maior, inverteu a operação.

Erros clássicos

Achar que duration é o prazo do título. É o prazo médio ponderado pelo valor presente dos fluxos. Com cupom, é sempre menor que o vencimento; num pós-fixado, pode ser uma fração dele.

Esquecer que a taxa de mercado também mexe na duration. O candidato decora o efeito do prazo e o do cupom e ignora o terceiro: YTM maior encurta a duration, porque o desconto pesa mais sobre os fluxos distantes.

Ler a fórmula linear como exata. ΔP/P ≈ − Dmod × Δi é aproximação, e a aproximação erra para menos no ganho e para mais na perda. Toda a razão de existir da convexidade está nesse “aproximadamente”.

Supor que maior duration é sempre pior. Duration é exposição, não defeito. Para um passivo longo, a carteira de duration longa é a casada; a curta é que está exposta.

Confundir imunizar com eliminar risco. A imunização neutraliza o efeito líquido de um deslocamento paralelo sobre um horizonte determinado. Não protege contra torção da curva, contra crédito nem contra liquidez.

Esquecer a terceira condição de Redington. Casar valor presente e duration é o que todo mundo decora; a carteira só fica protegida se a convexidade do ativo superar a do passivo, e é essa a linha que os itens omitem.

Somar durations em vez de ponderá-las. A duration da carteira é média ponderada pelos valores de mercado, não pela quantidade de papéis nem pelo valor de face.