APT: modelo multifator e ausência de arbitragem; APT × CAPM em premissas e fatores

A ideia que organiza o assunto

O CAPM chega ao preço por um caminho caro: supõe que todo investidor otimiza em média e variância, que todos enxergam os mesmos números e que todos acabam comprando a mesma carteira de mercado. A APT, de Stephen Ross, chega a uma equação parecidíssima por um caminho quase gratuito, e a diferença entre os dois caminhos é o tópico.

O caminho da APT cabe em uma frase:

Duas carteiras expostas exatamente aos mesmos riscos têm de oferecer o mesmo retorno esperado — senão existe dinheiro de graça sobre a mesa.

É só isso. Se uma delas oferecesse mais, bastaria comprá-la vendendo a outra: a posição custaria zero, não teria risco nenhum (as exposições se cancelam) e ainda assim renderia. Como ninguém acredita que dinheiro fique parado no chão, essa possibilidade não pode sobreviver em equilíbrio — e do simples fato de ela não sobreviver sai a fórmula de preço:

E(Rᵢ) = R_f + βᵢ₁λ₁ + βᵢ₂λ₂ + … + βᵢₖλₖ

retorno exigido = taxa livre de risco + (exposição a cada fator) × (prêmio de cada fator)

Note o que não foi usado para chegar aqui. Não foi preciso uma carteira de mercado. Não foi preciso supor nada sobre a função utilidade além de que mais dinheiro é melhor que menos. Não foi preciso normalidade dos retornos, nem análise em média-variância, nem expectativas homogêneas, nem um único período. A APT não descreve o equilíbrio de oferta e demanda; ela apenas constata que certas relações de preço são insustentáveis.

E é exatamente por ser tão barata em hipóteses que ela é tão pobre em conteúdo num ponto específico, que é o outro lado da moeda e o segundo eixo do tópico:

A teoria não diz quais são os fatores, nem quantos são. Ela diz que, dados os fatores que governam os retornos, o preço tem de ser linear neles. Quem os escolhe é o pesquisador, com dados — não o modelo.

Duas frases, portanto, e o tópico inteiro se derruba delas: a APT ganha do CAPM em premissas e perde dele em especificidade.

Por que se usa (e o que custa)

O que a APT compra. Primeiro, generalidade: ela sobrevive à crítica de Roll, porque não precisa observar a carteira de mercado — o obstáculo que torna o CAPM, em rigor, não testável. Segundo, realismo empírico: uma única fonte de risco sistemático não dá conta do que se observa nos retornos, e a APT acomoda naturalmente risco de inflação, de ciclo, de prazo, de crédito, de liquidez. Terceiro, ela fornece a moldura teórica em que se encaixam os modelos multifatoriais usados na prática, da gestão de carteiras à decomposição de desempenho de fundos.

O que ela custa. O primeiro custo é o vazio sobre os fatores: sem uma teoria que os nomeie, a escolha vira busca empírica, com todos os riscos de garimpo de dados que isso traz — e dois pesquisadores podem aplicar “a APT” com conjuntos de fatores diferentes e resultados diferentes. O segundo custo é mais sutil e é o que separa quem leu o modelo de quem leu o resumo: a relação de preço da APT é exata para carteiras bem diversificadas e apenas aproximada para ativos individuais. O argumento de arbitragem elimina o risco específico pela diversificação, e por isso ele nada diz sobre um punhado de papéis isolados — alguns ativos podem estar fora da linha sem que exista arbitragem. O CAPM, ao contrário, vale exatamente para todo ativo, porque vem de equilíbrio e não de arbitragem.

A troca, em uma linha: a APT compra hipóteses fracas pagando com uma conclusão mais fraca; o CAPM compra uma conclusão forte pagando com hipóteses fortes.

Como funciona

Passo 1 — o modelo gerador de retornos. Antes de qualquer apreçamento, supõe-se que os retornos são gerados por poucos fatores comuns mais um ruído próprio de cada ativo:

Rᵢ = E(Rᵢ) + βᵢ₁F₁ + … + βᵢₖFₖ + εᵢ

com os fatores de média zero (são surpresas, não níveis) e o ruído εᵢ sem correlação com os fatores e sem correlação entre ativos. Os βᵢₖ são sensibilidades ou cargas fatoriais: quanto do fator k chega a este ativo. Repare que isto é uma hipótese estatística sobre os retornos, não sobre preferências.

Passo 2 — a diversificação apaga o ruído. Numa carteira com muitos ativos e pesos pequenos, os εᵢ se cancelam e o retorno passa a depender apenas das exposições fatoriais. É o que se chama de carteira bem diversificada, e é o único objeto sobre o qual o argumento seguinte funciona.

Passo 3 — a carteira de arbitragem. Monta-se uma posição com três propriedades simultâneas:

propriedade	como se obtém
custo zero	a soma dos pesos é zero — compra-se um ativo vendendo outro
risco sistemático zero	para cada fator, a soma das exposições ponderadas é zero
risco específico zero	a carteira é bem diversificada

Uma posição que não custa nada e não corre risco nenhum tem de render zero. Impor isso a todas as carteiras possíveis obriga o retorno esperado de cada ativo a ser uma combinação linear das suas exposições — que é a equação da APT. O prêmio λₖ tem interpretação limpa: é o retorno excedente de uma carteira-fator pura, com exposição 1 ao fator k e 0 a todos os demais.

Passo 4 — o CAPM como caso particular. Com um único fator, e sendo esse fator o excesso de retorno da carteira de mercado, λ = E(Rm) − R_f e a equação da APT vira a SML. Daí a formulação correta da relação entre os dois: o CAPM é um caso especial; a APT é a generalização. Não são modelos concorrentes no sentido de um negar o outro.

Quais fatores se usam na prática. A teoria cala, a literatura empírica preenche:

família	exemplos
macroeconômicos (Chen, Roll e Ross)	produção industrial, inflação inesperada, prêmio de prazo (inclinação da curva de juros), prêmio de inadimplência
de características	tamanho, valor (Fama e French), momento (Carhart), rentabilidade e investimento
estatísticos	fatores extraídos por análise de componentes principais, sem interpretação econômica prévia

Uma observação que rende item: os modelos de Fama e French são multifatoriais e frequentemente apresentados junto da APT, mas não foram derivados de ausência de arbitragem — nasceram da evidência empírica. Multifatorial não é sinônimo de APT.

O que decide os itens

APT × CAPM, e esta é a tabela do tópico:

	CAPM	APT
fundamento	equilíbrio de oferta e demanda com otimização média-variância	ausência de arbitragem
fatores de risco	um — o excesso de retorno da carteira de mercado	k fatores, número e identidade não especificados
carteira de mercado	indispensável, e precisa ser eficiente	dispensável
hipóteses sobre preferências	aversão ao risco, utilidade em média e variância	apenas não saciedade: mais é melhor
hipóteses sobre a distribuição	normalidade ou utilidade quadrática	nenhuma
horizonte	um único período	não exige período único
expectativas	homogêneas	não exige homogeneidade
abrangência da relação de preço	exata para todo ativo	exata para carteiras bem diversificadas, aproximada para ativos isolados
testabilidade	comprometida pela crítica de Roll	testável, mas os fatores são escolha empírica
o que diz sobre risco específico	não é remunerado	não é remunerado
relação entre os dois	caso particular da APT com um fator	generalização do CAPM

O que os dois modelos têm em comum, e vale tanto quanto a lista de diferenças: ambos são lineares no risco; ambos remuneram apenas risco sistemático; ambos pressupõem que a diversificação elimina o específico de graça; ambos entregam retorno exigido, não retorno realizado; e em ambos um ativo fora da linha significa oportunidade — alfa no CAPM, arbitragem na APT.

Três armadilhas de definição que se resolvem por palavra-chave:

se o enunciado disser…	está falando de
“relação linear entre o retorno esperado e o risco sistemático”, no singular, com carteira de mercado	CAPM
“múltiplos fatores”, “sensibilidades”, “cargas fatoriais”	APT ou modelo multifatorial
“ausência de arbitragem”, “lei do preço único”, “carteira de custo zero”	APT

O que a APT não faz, e é onde o item cresce um passo além do que o modelo autoriza: ela não identifica os fatores, não fixa o número deles, não exige que sejam macroeconômicos, não precisa da carteira de mercado e não descreve o equilíbrio de mercado. Tudo o que ela afirma é a linearidade do preço nas exposições.

Onde encosta nos vizinhos. O tópico de diversificação estabelece que só o risco não diversificável sobra para ser precificado — a APT usa esse resultado como ferramenta dentro da demonstração, e não apenas como pano de fundo: é a diversificação que apaga o εᵢ e torna a carteira de arbitragem possível. O tópico do CAPM fornece o caso de um fator. E o conceito estrito de arbitragem — custo zero, risco zero — está no tópico de racionalidade e arbitragem, junto dos limites que ela encontra no mundo real.

Números que caem

APT	Ross, 1976
fatores macroeconômicos da APT	Chen, Roll e Ross, 1986
modelo de três fatores	Fama e French, 1993
quatro fatores, com momento	Carhart, 1997
cinco fatores	Fama e French, 2015
número de fatores na APT	não especificado pela teoria
número de fatores no CAPM	um
fatores na APT têm média	zero — são surpresas
carteira de arbitragem	soma dos pesos zero; exposição a cada fator zero

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O que já se pode dizer do acervo é pouco e é preciso: os dois itens que chegaram a este tópico vêm do mesmo bloco de uma prova do Banco Central e o comando do bloco cita CAPM e APT juntos. Isso é o formato a esperar, e ele importa: o enunciado que nomeia os dois modelos autoriza a banca a escrever a definição de um sob o nome do outro, que foi exatamente o que aconteceu. Um dos itens descreveu a APT como “relação linear entre o risco sistemático de um ativo e seu retorno esperado” — a definição do CAPM — e o gabarito foi errado. O outro afirmou que a APT é mais flexível por admitir múltiplos fatores, e o gabarito foi certo. Dois itens não sustentam uma frequência; sustentam uma advertência.

Trocar as definições entre os dois modelos. É o formato confirmado pelo acervo e o mais provável de reaparecer. Defesa mecânica: conte as fontes de risco antes de olhar o nome do modelo. Uma única, ancorada na carteira de mercado, é CAPM, esteja escrito o que estiver; várias sensibilidades a fatores é APT.

Dizer que a APT identifica os fatores. “A APT especifica que os fatores de risco relevantes são variáveis macroeconômicas como inflação e produção industrial.” A escolha é do pesquisador; Chen, Roll e Ross propuseram esses fatores, a teoria não os impõe. Item que faça a teoria dizer mais do que ela diz é o segundo formato mais provável, justamente porque o vazio incomoda.

Dar à APT a carteira de mercado. “Assim como o CAPM, a APT requer a identificação de uma carteira de mercado eficiente.” Essa é a premissa que a APT dispensa, e dispensar essa premissa é a razão de ela existir.

Apresentar a APT como modelo de equilíbrio de oferta e demanda. Ela é de não arbitragem. A distinção parece escolástica e não é: é dela que decorre por que a APT vale para carteiras diversificadas e não para todo ativo isolado.

Afirmar que a APT vale exatamente para qualquer ativo. É o inverso da armadilha anterior e derruba o candidato que decorou “a APT é mais geral”. Mais geral nas premissas; menos ambiciosa na conclusão.

Inverter a relação de generalidade. “O CAPM é uma generalização multifatorial da APT.” Está de cabeça para baixo: a APT generaliza, o CAPM é o caso de um fator.

Atribuir hipóteses do CAPM à APT. Normalidade dos retornos, utilidade quadrática, expectativas homogêneas, período único, análise em média-variância — nenhuma delas é exigida pela APT. Este é o item em que a banca faz uma lista plausível e inclui um intruso.

Dizer que a APT remunera risco específico. Não remunera, e por um motivo estrutural: é justamente por o risco específico desaparecer na carteira bem diversificada que a demonstração funciona. Neste ponto os dois modelos são idênticos, e o item que os diferencia aqui erra.

Fixar o número de fatores. “A APT trabalha com três fatores de risco.” Três é Fama e French, e nem isso é APT em sentido estrito.

Erros clássicos

Ler “mais geral” como “melhor em tudo”. A generalidade da APT está nas hipóteses. Em precisão de conclusão ela é mais fraca que o CAPM, porque só vale exatamente para carteiras bem diversificadas.

Esquecer que os fatores são surpresas. F é o desvio em relação ao esperado, de média zero. O que move o preço é a inflação inesperada, não a inflação. Item que use o nível da variável no lugar da surpresa está descrevendo outra coisa.

Confundir carga fatorial com peso na carteira. βᵢₖ é sensibilidade ao fator; wᵢ é a fração do dinheiro investida no ativo. A carteira de arbitragem zera as duas somas, e são duas condições distintas.

Tratar qualquer modelo multifatorial como APT. Fama e French é empírico; a APT é uma dedução a partir de não arbitragem. A coincidência de formato não é identidade de fundamento.

Achar que a APT dispensa a diversificação. Ao contrário: a diversificação é a engrenagem da demonstração. Sem carteiras bem diversificadas não há como anular o risco específico e a carteira de arbitragem deixa de ser sem risco.

Perder o CAPM de vista. Como a APT o contém, todo item que oponha os dois se resolve perguntando o que sobra quando k = 1 e o fator é o mercado. Se a afirmação continua verdadeira nesse caso, ela não distingue os modelos.