Minimização de custos; CMg corta CMe no mínimo; custos de curto × longo prazo e envoltória

A ideia que organiza o assunto

A tecnologia diz o que é possível produzir; os preços dos insumos dizem quanto isso custa. A função de custo é o que sobra depois de escolher, para cada nível de produto, a combinação de insumos mais barata capaz de produzi-lo. Por isso o problema de custo é o problema de produção visto do outro lado: a isoquanta é dada pela técnica, a isocusto pelos preços, e a solução é o ponto em que elas se tangenciam.

Mas o que realmente organiza este tópico não é isso — é uma propriedade aritmética de médias que nada tem de econômica. Sempre que um valor marginal está abaixo da média corrente, ele puxa a média para baixo; sempre que está acima, empurra a média para cima. Logo, os dois se encontram exatamente no ponto em que a média para de cair e ainda não começou a subir: o mínimo da média. É a mesma razão pela qual uma nota abaixo da sua média derruba a sua média, e a sua média só para de cair quando a nota nova iguala a média antiga.

Disso decorre quase tudo o que a prova cobra. O custo marginal corta o custo variável médio no mínimo do custo variável médio, e corta o custo total médio no mínimo do custo total médio — nunca no máximo, nunca em qualquer outro ponto, e nunca porque o marginal esteja subindo. Ele pode estar subindo e ainda assim abaixo da média; enquanto estiver abaixo, a média continua caindo.

A segunda ideia é sobre tempo, e tempo aqui significa apenas uma coisa: quantos fatores estão presos. No curto prazo pelo menos um fator é fixo, e é a ele que se deve a existência de custo fixo. No longo prazo nada está preso, a firma escolhe inclusive o tamanho da planta, e por isso o custo de longo prazo nunca pode ser maior do que o de curto prazo para o mesmo produto — no máximo igual, quando a planta instalada já é a certa. Essa desigualdade é a definição geométrica de envoltória.

Como funciona

A minimização de custos. Para produzir uma quantidade dada ao menor custo, a firma iguala a taxa marginal de substituição técnica à razão dos preços dos insumos: TMST = w/r. A leitura mais útil é a equimarginal — a última unidade monetária gasta em cada fator deve render o mesmo acréscimo de produto, isto é, PMgL/w = PMgK/r. Se um fator rende mais produto por real gasto, a firma ainda não minimizou: realoca gasto para ele. (A tecnologia em si — isoquantas, TMST, rendimentos de escala — é assunto do tópico de função de produção.)

Curto prazo: os custos totais. O custo total se decompõe em custo fixo mais custo variável. O custo fixo total é uma reta horizontal: existe pela posse do fator preso, independentemente de a firma produzir uma unidade ou nenhuma. O custo variável total parte da origem e cresce, primeiro desacelerando (enquanto há rendimentos marginais crescentes) e depois acelerando (quando os rendimentos marginais decrescem).

Curto prazo: os custos médios e o marginal.

Custo fixo médio (CFMe = CF/q) — uma constante dividida por q é uma hipérbole equilátera. Cai sempre, sem mínimo, aproximando-se do eixo horizontal quando q cresce e do eixo vertical quando q tende a zero, sem tocar nenhum dos dois. É a diluição do custo fixo.
Custo variável médio (CVMe) e custo total médio (CMe) — em forma de U, e a distância vertical entre eles é justamente o CFMe. Como o CFMe cai sempre, os dois U’s vão se aproximando, e o mínimo do CMe fica à direita do mínimo do CVMe.
Custo marginal (CMg) — a derivada do custo total, que é também a derivada do custo variável, porque o custo fixo desaparece na derivada. Custo fixo não entra no custo marginal. Nunca.

Os cruzamentos. O CMg corta o CVMe no mínimo do CVMe e o CMe no mínimo do CMe. Nos trechos em que o CMg está abaixo, as médias caem; onde está acima, as médias sobem. O CMg atinge o próprio mínimo antes dos dois, e nesse ponto não cruza nada.

O espelho da produtividade. Com salário constante, CMg = w/PMgL e CVMe = w/PMeL. As curvas de custo são as de produtividade de cabeça para baixo: o mínimo do custo marginal está onde o produto marginal é máximo, e o mínimo do custo variável médio está onde o produto médio é máximo. Rendimentos marginais decrescentes e custo marginal crescente são a mesma afirmação dita duas vezes.

Longo prazo e a envoltória. Cada tamanho de planta gera uma curva de custo médio de curto prazo. A firma que pode escolher a planta adota, para cada nível de produto, a que sai mais barata. A curva de custo médio de longo prazo (CMeLP) é, portanto, a envoltória inferior da família de curvas de curto prazo: ela tangencia cada uma delas e nunca fica acima de nenhuma.

O detalhe que decide itens: a tangência não ocorre no mínimo das curvas de curto prazo, exceto em um único ponto. À esquerda da escala eficiente mínima, a envoltória toca cada curva de curto prazo no trecho descendente dela; à direita, no trecho ascendente. Só a planta cujo mínimo coincide com o mínimo da CMeLP é tocada no próprio mínimo. O custo marginal de longo prazo corta a CMeLP no mínimo desta — a mesma regra de médias, aplicada de novo — e, em cada nível de produto, iguala o custo marginal de curto prazo da planta escolhida.

Economias de escala. A CMeLP cai enquanto há economias de escala, sobe quando há deseconomias, e é plana no trecho de escala eficiente. Economia de escala é uma afirmação sobre custo médio; rendimento de escala é uma afirmação sobre tecnologia. Não são sinônimos: uma firma com rendimentos constantes de escala pode ter economias de escala se obtiver desconto no preço dos insumos ao comprar em volume, ou se mudar de técnica ao crescer. Economia de escopo é outra coisa ainda: produzir dois bens juntos custa menos do que produzi-los separados.

Custos irrecuperáveis e custo de oportunidade. Custo irrecuperável (sunk) é o gasto já feito que não se recupera qualquer que seja a decisão futura. Ele é irrelevante para toda decisão prospectiva, porque não muda conforme a escolha — e é o único custo do qual se pode dizer isso. Não confunda com custo fixo: o aluguel de um galpão rescindível é fixo e recuperável; a pesquisa de mercado já paga é irrecuperável. E o custo relevante em economia é o custo de oportunidade, que inclui os custos implícitos — o salário que o dono deixou de ganhar, o rendimento do capital próprio. Daí o lucro econômico ser menor que o contábil, e lucro econômico nulo significar remuneração normal de todos os fatores, não prejuízo.

O que decide os itens

A forma de cada curva. É a tabela que resolve mais itens, porque a banca troca formatos:

curva	forma	por quê
custo fixo total	reta horizontal	não depende de q
custo variável total	crescente, côncava e depois convexa	acompanha a produtividade
custo fixo médio	hipérbole, cai sempre	constante dividida por q; assintótica aos dois eixos
custo variável médio	U	mínimo à esquerda do mínimo do CMe
custo total médio	U	CVMe + CFMe
custo marginal	U, mínimo antes dos outros dois	corta ambos nos respectivos mínimos

Os cruzamentos, sempre no mínimo:

proposição	certa?
CMg corta CMe no mínimo do CMe	sim
CMg corta CVMe no mínimo do CVMe	sim
CMg corta CFMe	não — o CFMe cai sempre e não tem mínimo
CMg corta o CMe porque está subindo	não — a causa é estar abaixo e passar a acima, não a inclinação
o cruzamento ocorre no máximo do CMe	não — o CMe em U não tem máximo interior

Comportamento total × unitário. As quatro casas, na ordem em que a banca as embaralha:

	no total	por unidade produzida
custo fixo	constante no intervalo relevante	decresce com o volume
custo variável	cresce com o volume	constante

A casa errada quase sempre é a do unitário, porque é a menos revisada. E a pergunta que classifica um custo nunca é o valor mudou?, e sim mudou em função da quantidade produzida? — depreciação, aluguel e seguro variam no tempo e seguem fixos.

Curto prazo × longo prazo:

	curto prazo	longo prazo
fatores	ao menos um fixo	todos variáveis
custo fixo	existe	não existe
o que gera o U do médio	rendimentos marginais decrescentes	deseconomias de escala
relação entre as curvas	cada planta, uma curva	envoltória inferior de todas
tangência	—	fora do mínimo das curvas de curto prazo, salvo em um ponto
CMeLP × CMeCP no mesmo q	—	CMeLP ≤ CMeCP, sempre

Pares que a banca troca:


custo fixo × custo irrecuperável	fixo pode ser recuperável; irrecuperável é o que não volta
economias de escala × rendimentos de escala	custo médio × tecnologia — não se implicam
economias de escala × de escopo	um bem em maior volume × dois bens juntos
custo contábil × econômico	explícito × explícito mais implícito
custo marginal × custo variável médio	derivada da última unidade × média de todas

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Dos cinco itens que chegaram a este tópico — e esse número é um piso, porque o classificador perde itens curtos e itens cujo assunto só aparece no comando do grupo —, os dois errados falham pelo mesmo motivo, e não é o motivo que se espera. Nenhum dos cinco usa sempre, nunca ou apenas; os únicos verbos de obrigação do conjunto (deve, devem) estão num item Certo, e o único item que se resguarda com em geral é Errado. A leitura por modalidade não decide nada aqui, como não decide em nenhuma disciplina desta trilha.

O que decide é endereço. Os dois erros consistem em pendurar uma propriedade verdadeira no custo errado: a variabilidade no tempo passa a valer como variabilidade com o volume, e a variação por unidade, que é a assinatura do custo fixo, é atribuída ao custo variável. Antes de julgar, pergunte de quem é essa propriedade — do fixo ou do variável, do total ou do unitário, do médio ou do marginal.

A inversão mais provável do tópico é mínimo → máximo. A proposição de que o custo marginal corta o custo médio no mínimo é, de longe, a mais enunciável do assunto, e uma frase que troque mínimo por máximo continua parecendo técnica. A variante mais fina troca a causa: afirma-se o cruzamento correto e justifica-se pelo trecho ascendente do custo marginal. O custo marginal pode estar subindo muito antes de cruzar; o que produz o cruzamento é a mudança de posição relativa à média, não a inclinação.

A envoltória é a segunda armadilha. Dizer que a curva de longo prazo passa pelos mínimos das curvas de curto prazo é errado e soa certíssimo. Ela as tangencia, e só num ponto a tangência coincide com um mínimo.

Cuidado com a origem do U. No curto prazo o U vem da lei dos rendimentos marginais decrescentes, que pressupõe fator fixo; no longo prazo não há fator fixo e o U vem de deseconomias de escala. Item que explique o formato em U da curva de longo prazo por rigidez na alocação de fatores ou por rendimentos decrescentes de um fator trocou o regime de tempo.

Itens de cálculo são roteiro fixo. Trave o fator fixo no nível que a minimização de custo indica, inverta a função de produção para obter a demanda condicional do fator variável em função de Y, multiplique pelos preços e divida por Y. E leia a expressão resultante: o termo com Y no denominador é o custo fixo médio, o termo que cresce com Y é o variável médio, e é a soma dos dois que produz o U.

Erros clássicos

Dizer que o custo marginal corta o custo médio no ponto de máximo. É no mínimo, e a razão é aritmética, não econômica: enquanto o marginal está abaixo, a média cai.

Justificar o cruzamento pela inclinação do custo marginal. O custo marginal já está subindo bem antes de cruzar as médias. O que decide é estar abaixo ou acima delas.

Somar custo fixo ao custo marginal. O custo fixo some na derivada. Uma mudança no aluguel desloca o CMe e o CFMe e não mexe no CMg — e, portanto, não muda a quantidade que maximiza lucro.

Achar que o custo fixo médio tem formato em U. Ele cai sempre. Também não corta os eixos: aproxima-se dos dois e não alcança nenhum.

Confundir variar com ser variável. O custo variável é o que varia com a quantidade produzida. Depreciação decrescente, reajuste de aluguel e sazonalidade de preço fazem o valor mudar sem tornar o custo variável.

Dar ao custo variável a variabilidade unitária. O custo variável é constante por unidade; quem varia por unidade é o fixo, e por isso a diluição existe.

Traçar a curva de longo prazo pelos mínimos das de curto prazo. Ela é a envoltória: tangencia cada uma, no trecho descendente antes da escala eficiente mínima e no ascendente depois dela.

Tratar rendimentos de escala e economias de escala como a mesma coisa. A primeira é propriedade da função de produção; a segunda, do custo médio de longo prazo. Ganhos de preço na compra de insumos ou mudança de técnica geram economias de escala sem alterar os rendimentos.

Levar custo irrecuperável para dentro da decisão. O que já foi gasto e não volta não distingue nenhuma alternativa futura. Persistir num projeto ruim porque já se investiu muito é a falácia dos custos irrecuperáveis — e a banca a cobra tanto aqui quanto no tópico de economia comportamental.

Esquecer o custo implícito. Lucro econômico nulo não é prejuízo: significa que todos os fatores, inclusive o capital e o trabalho do dono, estão sendo remunerados exatamente pelo que valem na melhor alternativa.