Média, mediana (n par!), moda; sensibilidade a outliers

A ideia que organiza o assunto

Um conjunto de dados tem um centro, uma dispersão e uma forma. Este tópico é o centro — e o ponto que decide quase todos os itens é que as três medidas de posição são calculadas de maneiras incompatíveis entre si:

• a média soma tudo e divide, portanto enxerga cada observação e é arrastada pelos extremos;
• a mediana conta posições e só enxerga quem está no meio da fila, portanto ignora o tamanho dos extremos;
• a moda conta repetições e só enxerga frequência, portanto ignora tanto posição quanto magnitude.

Três perguntas diferentes feitas ao mesmo conjunto. Um item que oferece um número só está certo se esse número saiu da conta certa, e em 4 dos 6 itens errados deste tópico o número oferecido é o resultado correto de outra conta: o ponto médio da amplitude no lugar da mediana, o maior valor no lugar da moda.

Daí o método, e ele resolve o tópico inteiro: antes de conferir o número, pergunte de qual das três contas ele teria de sair, e faça só essa. Quase nunca é preciso calcular as três.

Como funciona

Média. Soma dos valores dividida pela quantidade. O que importa na prova é o que ela permite reconstruir: se a média é conhecida, a soma também é, porque soma = média × n. Dois dos itens mais trabalhosos do corpus se resolvem só com isso — 10 servidores de média 40 têm soma 400; com mais 6, média 34, a soma vira 544 e os novos somam 144, média 24.

Média com observação acrescentada. Não recalcule. Compare o valor novo com a média vigente: maior que a média, ela sobe; menor, desce; igual, não muda. Um sexto discurso de 7 minutos numa série de média 6 eleva a média, e esse é o item inteiro.

Mediana. Ordene — esta é a etapa que a banca conta que você vai pular, porque a tabela vem na ordem dos itens da licitação ou dos meses do ano, não na ordem de grandeza. Depois localize a posição:

• n ímpar: a mediana é o valor da posição (n + 1) / 2.
• n par: é a média dos dois valores centrais, nas posições n / 2 e n / 2 + 1. Em 20 projetos, é a média do 10.º com o 11.º.

Mediana em dados agrupados. Acumule frequências até ultrapassar n / 2 — a classe em que isso acontece é a classe mediana. No histograma de 100 indenizações, a primeira classe já tem 50 observações, então a mediana está nela, perto de R$ 2.000, e não no meio do eixo horizontal.

Média em dados agrupados. Cada classe é representada pelo ponto médio do intervalo, nunca pelo limite inferior nem pelo superior, e os pontos médios são ponderados pelas frequências. É assim que 50, 20, 10, 10, 5 e 5 observações em classes de 2.000 dão média de exatamente R$ 3.300.

Moda. O valor de maior frequência. Pode não existir, e pode haver mais de uma: a série 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5 é bimodal, com modas 0 e 3. Numa série já ordenada impressa no caderno, a moda se acha por inspeção — procure a sequência de repetições mais longa.

Percentual majoritário. Quando o enunciado diz que mais de 50% das observações valem a mesma coisa, esse valor é ao mesmo tempo a moda e a mediana, porque a posição central cai forçosamente dentro do bloco. Esse único fato resolveu três itens de um mesmo comando.

Sensibilidade a valores extremos. Retirar ou acrescentar um extremo muda a média sempre. A mediana só muda se a retirada deslocar a posição central para outro valor; a moda só muda se desfizer o empate de frequências. Excluir o projeto de R$ 10 mil de uma série de 100 em que 55 valem R$ 2 mil não mexe em nenhuma das duas.

O que decide os itens

distinção	o que decide
Mediana × ponto médio da amplitude	A mediana conta posições; o ponto médio só usa mínimo e máximo. Coincidem apenas em série simétrica. Três dos seis itens errados oferecem o ponto médio.
Moda × maior valor	Moda é frequência, não magnitude. O item que oferece R$ 5,00 como moda está oferecendo o máximo da série.
Média simples × média ponderada	Uma lista de preços tem média simples; o preço médio pago pelos clientes exige as frequências de pedidos. Sem frequências, não se infere.
n par × n ímpar	Com n par a mediana é média de dois valores e pode não pertencer ao conjunto. Acrescentar uma observação troca a regra e costuma mover a mediana.
Ponto médio da classe × limite da classe	Em histograma, a classe é representada pelo ponto médio. Usar o limite desloca a média em meia amplitude de classe.
Média × mediana como sinal de forma	Média acima da mediana indica cauda à direita; abaixo, cauda à esquerda. É a ponte para a nota de Assimetria.
Desvio padrão × erro padrão da média	O erro padrão é s dividido pela raiz de n. Com s = 2% e n = 64, dá 0,25%. Item que fornece n quadrado perfeito está cobrando essa divisão.
Amplitude interquartil × amplitude total	A AIQ usa valores internos, então nunca supera a amplitude total. Amplitude total de 40 já garante AIQ inferior a 43, sem conhecer quartil nenhum.

Números que caem

quantidade	valor
Posição da mediana, n ímpar	(n + 1) / 2
Posições da mediana, n par	n / 2 e n / 2 + 1, e tira-se a média
Mediana de 20 valores	média do 10.º com o 11.º
Mediana de 100 valores	média do 50.º com o 51.º
Média de dados agrupados	soma de (ponto médio × frequência) dividida por n
Classe mediana	a primeira em que a frequência acumulada passa de n / 2
Erro padrão da média	s dividido pela raiz de n
Soma dos valores	média × n
Média combinada de dois grupos	(soma A + soma B) / (nA + nB), nunca média das médias

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 21 itens do tópico: 15 Certo e 6 Errado. Um chute em Certo acerta 71% — o que significa que os itens errados são poucos e muito parecidos entre si, e vale decorar a forma deles.

Ponto médio da amplitude vendido como mediana — 3 dos 6 itens errados, e é o padrão dominante do tópico. Os três spans são igual a R$ 6 mil, igual a R$ 62,5 mil e igual a R$ 6.000. Em todos, o número é exatamente (mínimo + máximo) / 2: 2 e 10 mil dão 6 mil; 45 e 80 mil dão 62,5 mil; um histograma que vai de 0 a 12.000 dá 6.000. Nos três casos a mediana verdadeira está muito abaixo, porque as distribuições são assimétricas à direita. A defesa é um cálculo de cinco segundos: some o menor com o maior e divida por dois. Se o número do item for esse, ele é o ponto médio, e a mediana só coincidiria se a distribuição fosse simétrica.

O mesmo ponto médio, mas aplicado à média, aparece como item Certo. O item dos esportes afirma que o número médio de votantes coincide com a média aritmética entre o mais votado e o menos votado — e coincide, 22 nos dois cálculos, porque os dez valores são simétricos em torno de 22. É a mesma identidade que derruba os itens de mediana. Para média, ela é verificável somando; para mediana, é a armadilha. Não generalize em nenhuma das direções sem somar.

Uma medida de posição com o valor de outra — 1 item errado. O span é A moda de X, com o valor R$ 5,00, que é o maior dos dez sobrepreços; a série é bimodal em 0 e 3. Sempre que o item nomear uma medida e oferecer um número, teste rapidamente se esse número é o máximo, o mínimo ou o ponto médio: esses três são o repertório da banca.

Média de uma lista tratada como média por pessoa — 1 item errado. O span é permitem inferir que o preço médio pago pelos clientes é de R$ 12,00, e R$ 12,00 é de fato a média dos cinco preços do cartaz. O erro é de unidade de observação: preços do cardápio não são clientes atendidos, e sem as frequências de pedidos a média ponderada não existe. Quando o item mudar o sujeito da média — de valores listados para pessoas, pedidos ou casos —, pergunte se as frequências foram dadas.

Percentual comparado de cabeça — 1 item errado. O span é superior a 110% do valor da moda. Converta o percentual em número absoluto antes de comparar: 110% de 1,8 é 1,98, e a média de 1,92 fica abaixo.

Os itens Certo quase nunca trazem número novo. Onze dos quinze são leitura direta de uma propriedade — a mediana está dentro do bloco majoritário, a moda é a repetição mais longa, acrescentar valor acima da média a eleva, a AIQ não supera a amplitude total. Conferir a propriedade custa menos que refazer a conta, e em onze itens é tudo que se pede.

Erros clássicos

Não ordenar antes de tirar a mediana. A tabela vem na ordem do processo administrativo ou dos meses do ano. Ler a quinta linha da tabela como se fosse o quinto valor ordenado é o erro mais barato do tópico.

Esquecer que com n par a mediana é a média de dois valores. E, com isso, esquecer que ela pode não pertencer ao conjunto: 51,5 numa amostra de inteiros, 6,5 numa série de minutos.

Chamar de moda o maior valor, ou o último da tabela. Moda é contagem de repetições e nada mais. E pode haver duas.

Usar limite de classe em vez de ponto médio. Em histograma, o valor que representa a classe é sempre o meio do intervalo.

Fazer média de médias. Só vale quando os grupos têm o mesmo tamanho. Reconstrua as somas — média × n — e some.

Confundir desvio padrão com erro padrão da média. O primeiro descreve a dispersão das observações; o segundo, a da média amostral, e sempre carrega a raiz de n no denominador.

Achar que excluir um valor extremo muda tudo. Muda a média. A mediana e a moda são resistentes e, na maioria dos itens, não se movem.