Coeficiente de variação (dispersão relativa)

A ideia que organiza o assunto

Desvio padrão responde “quanto os dados se afastam da média”, mas responde na unidade dos dados. Isso basta para descrever uma série e não basta para comparar duas: um desvio padrão de R$ 300 é enorme num conjunto cuja média é R$ 500 e irrelevante num cuja média é R$ 50.000. O coeficiente de variação existe para resolver exatamente esse problema — ele divide a dispersão pelo centro:

CV = desvio padrão ÷ média, normalmente expresso em porcentagem.

O resultado é adimensional. As unidades se cancelam, e por isso o CV é a única medida deste bloco que permite comparar a variabilidade de séries em unidades diferentes — milímetros contra litros, reais contra quilos, salários contra idades. É a ponte entre a nota de Dispersão absoluta, onde está o desvio padrão, e a de Médias, mediana e moda, onde está o denominador.

Dito isso, é preciso ser honesto sobre o que a prova cobrou neste tópico: nenhum dos itens explicados calcula um coeficiente de variação. O tópico foi povoado pela palavra “coeficiente”, e o que caiu foi, em quatro dos seis itens, a leitura de uma saída de regressão — coeficientes estimados, erro padrão do erro, coeficiente de explicação. A segunda ideia organizadora desta nota, portanto, é a que de fato decide os itens que existem: numa tabela de regressão, cada número pedido sai de uma divisão entre dois números impressos, e o trabalho é escolher os dois certos.

Como funciona

Dispersão relativa

A fórmula e o que ela exige. CV = s / x̄. Só faz sentido com média diferente de zero e, na prática, com variável positiva: média perto de zero infla o CV sem que a dispersão tenha mudado, e média negativa produz CV negativo sem interpretação.

O que é grande. A convenção mais citada nos manuais trata CV até cerca de 15% como dispersão baixa, entre 15% e 30% como média, e acima de 30% como alta. É convenção de leitura, não regra legal — use-a para interpretar, nunca para refutar um cálculo.

Comparações que só o CV resolve. Duas séries podem ter o mesmo desvio padrão absoluto e dispersões relativas muito diferentes, e o contrário também ocorre. Se o item compara variabilidade entre grandezas de unidades ou magnitudes distintas, o instrumento é o CV; se compara afastamentos dentro da mesma grandeza, é o desvio padrão.

Relação com a variância. Como CV = s / x̄, com médias iguais o CV é proporcional ao desvio padrão — e a variância é proporcional ao quadrado dele. Dobrar o coeficiente de variação, mantida a média, quadruplica a variância; não a dobra. É a passagem que a banca pode cobrar sem nunca escrever a palavra variância duas vezes.

Efeito de transformações. Multiplicar todos os valores por uma constante positiva multiplica média e desvio padrão pela mesma constante: o CV não muda. Somar uma constante muda a média e não o desvio padrão: o CV muda. É o oposto do que acontece com a dispersão absoluta, e vale guardar assim.

Onde o CV aparece na prática administrativa. O módulo de pesquisa de preços do portal de compras do governo federal apresenta, para cada item consultado, o maior e o menor preço praticados e ainda média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação dos preços encontrados. O CV está ali por uma razão específica: sinalizar dispersão excessiva entre os preços coletados, o que recomenda o descarte de valores inexequíveis ou sobrestimados antes de fixar o valor estimado da contratação.

A saída de regressão, que é o que caiu

Os itens do tópico giram em torno de duas tabelas que andam sempre juntas.

Tabela de coeficientes — três colunas amarradas por uma única identidade:

razão t = estimativa ÷ erro padrão

Dadas duas delas, a terceira sai por divisão. É assim que a banca cobra o erro padrão sem nunca imprimi-lo. A primeira linha dessa tabela é sempre o intercepto (também chamado constante ou termo independente): é o coeficiente que não multiplica variável alguma. As linhas seguintes são as inclinações, na ordem em que as variáveis entram no modelo. O p-valor da linha se compara com o nível de significância adotado.

Tabela de análise de variância — duas colunas que servem a finalidades diferentes, e confundi-las é o erro de leitura mais comum:

coluna	para que serve
soma de quadrados (SQ)	coeficiente de determinação: R² = SQ modelo ÷ SQ total
graus de liberdade (gl)	quadrados médios: QM = SQ ÷ gl, e daí o teste F

As somas fecham: SQ modelo + SQ erro = SQ total. Os graus de liberdade também: gl modelo + gl erro = gl total.

O desvio padrão do erro, em dois passos. É o ponto em que a banca pega quem para no meio do caminho:

QM do erro = SQ do erro ÷ gl do erro — esta é a variância estimada;
s = √QM do erro — só agora se extrai a raiz.

Com SQ do erro 1.250 e 50 graus de liberdade, a variância estimada é 25 e o desvio padrão estimado é 5. Dividir por 52, o gl do total, ou esquecer a raiz produz exatamente os números que os itens oferecem.

Coeficiente de explicação. É o R², e ele sai só das somas de quadrados: 5.000 ÷ 6.250 = 0,80. Graus de liberdade não entram.

O que decide os itens

Estas são as distinções que efetivamente decidiram itens neste tópico:

distinção	o que decide
SQ × gl	R² sai das somas de quadrados; quadrados médios saem da divisão pelos graus de liberdade. Misturar as colunas é o erro central da tabela.
gl do erro × gl do total	O quadrado médio do erro divide por 50, não por 52. O gl do total serve à variância da resposta, não à do erro.
Variância estimada × desvio padrão estimado	São dois passos. Parar no quadrado médio entrega 25 onde se pedia 5.
Intercepto × inclinação	O intercepto é o coeficiente sem variável associada, primeira linha da tabela. “Constante” e “termo independente” são a mesma coisa.
Estimativa ÷ razão t	O erro padrão de um coeficiente nunca é impresso; sai dessa divisão. 0,02 ÷ 2,5 = 0,008.
Absorção × dispersão (de luz)	Em item de fotônica, a lei de Beer-Lambert descreve absorção; a oração explicativa que a define é onde mora o erro, com todas as proporcionalidades seguintes corretas.

E estas são as distinções de coeficiente de variação propriamente dito. Nenhuma delas decidiu item algum no corpus deste tópico; estão aqui porque são o conceito que o tópico nomeia:

distinção	o que decide
CV × desvio padrão	CV compara séries de unidades ou magnitudes diferentes; desvio padrão, não.
CV × variância	Com média fixa, dobrar o CV quadruplica a variância.
Multiplicar × somar	Multiplicar todos os valores não altera o CV; somar uma constante altera.
CV como percentual	É razão, não diferença: exige média não nula e, na prática, variável positiva.

Números que caem

quantidade	valor
Coeficiente de variação	desvio padrão ÷ média, em %
Faixas convencionais de leitura do CV	até ~15% baixa; 15% a 30% média; acima de 30% alta
Coeficiente de determinação (R²)	SQ do modelo ÷ SQ do total
Quadrado médio	SQ ÷ graus de liberdade da mesma linha
Variância estimada do erro	SQ do erro ÷ gl do erro
Desvio padrão estimado do erro	√(QM do erro)
Razão t de um coeficiente	estimativa ÷ erro padrão
Erro padrão de um coeficiente	estimativa ÷ razão t
Fechamento da tabela	SQ modelo + SQ erro = SQ total
Graus de liberdade do total	n − 1

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 6 itens explicados dos 9 do tópico — os outros três tiveram a notação matemática destruída na digitalização e não puderam ser explicados. São 4 Certo e 2 Errado, e a base é pequena demais para que qualquer frequência aqui seja tratada como tendência: leia o que segue como descrição do que existe, não como previsão.

A constatação mais útil do tópico é sobre o próprio tópico: o coeficiente de variação não foi cobrado. Nenhum dos itens explicados calcula, estima ou compara um CV. O único que sequer pronuncia o termo é um item de Lei n.º 14.133/2021 que apenas o lista entre as estatísticas que o portal de compras do governo federal exibe — e esse item é Certo. Um segundo item chega aqui pela palavra “coeficiente” em outro sentido inteiramente: a lei de Beer-Lambert e seu coeficiente de absorção. Quatro dos seis vêm de um único enunciado de regressão linear múltipla. Quem estuda por este tópico deve estudar CV pelo conceito — ele é simples e cai em outras provas — e treinar leitura de saída de regressão pelo que está medido aqui.

Parar no primeiro passo de um cálculo de dois — o único erro numérico medido. O span é é igual ou superior a 6, e o valor correto é 5. A conta é dividir 1.250 por 50 e só então tirar a raiz; quem para no quadrado médio tem 25, quem divide pelo gl errado tem outro número, e as duas paradas caem do lado que o item afirma. Defesa: quando o item pedir um desvio padrão a partir de uma tabela de análise de variância, conte os passos antes de contar os números — são sempre dois, divisão e raiz.

O erro dentro da oração explicativa. No item de fotônica o span é que descreve a dispersão de luz em materiais, e tudo o que vem depois está correto: absorbância proporcional à concentração, à espessura do caminho e ao coeficiente de absorção. A banca troca o nome do fenômeno na aposta entre vírgulas e mantém intactas as relações de proporcionalidade, que é justamente o que o candidato confere. Leia a definição que abre o item com a mesma atenção que se dá às fórmulas.

Os quatro itens Certo são leitura de tabela, não conta pesada. R² = 5.000 ÷ 6.250; intercepto = primeira linha, 2,5; erro padrão = 0,02 ÷ 2,5 = 0,008; e a lista de estatísticas do portal de compras. Nenhum exige mais que uma divisão. Num enunciado de regressão, procure primeiro a divisão que produz o número pedido antes de supor que falta informação.

Erros clássicos

Comparar variabilidade de séries diferentes pelo desvio padrão. É a função do CV, e é o motivo de ele existir. Desvio padrão maior não significa série mais variável quando as médias são diferentes.

Achar que o CV dobra a variância quando dobra. Com a média fixa, o CV acompanha o desvio padrão; a variância acompanha o quadrado dele.

Trocar o efeito de somar pelo de multiplicar. Multiplicar todos os valores por uma constante positiva não muda o CV. Somar uma constante muda.

Calcular CV de variável que pode ser zero ou negativa. A média no denominador deixa de significar “tamanho típico” e o índice deixa de ser interpretável.

Dividir a soma de quadrados do erro pelos graus de liberdade do total. O quadrado médio do erro usa o gl da sua própria linha.

Esquecer a raiz. Quadrado médio do erro é variância; desvio padrão é a raiz dela.

Usar graus de liberdade no R². O coeficiente de determinação é razão entre somas de quadrados, e nada mais.

Procurar o erro padrão impresso na tabela. Ele quase nunca está. Está a estimativa e está a razão t, e a divisão entre elas é o que se pede.