Básicos · Lógica e Estatística · Estatística
Assimetria: posição relativa de média, mediana e moda
A assimetria tem o nome do lado da cauda, nunca o do lado da concentração. Nos dois itens do tópico é só isso: massa à esquerda e cauda à direita é assimetria positiva.
Alta2 itens no tópico
A ideia que organiza o assunto
Um conjunto de dados tem um centro, uma dispersão e uma forma. A nota de Médias, mediana e moda trata do centro; a de Dispersão absoluta, do espalhamento. Esta trata da forma, e a forma se resume a uma pergunta: a distribuição é equilibrada em torno do centro, ou pende para um lado?
Toda a dificuldade do assunto está numa convenção de nomenclatura que é contraintuitiva e que a banca explora diretamente:
A assimetria recebe o nome do lado da CAUDA, não do lado da CONCENTRAÇÃO.
A cauda é o lado fino e comprido do desenho, onde há poucas observações espalhadas por muitos valores. A concentração é o lado alto e curto, onde está a massa dos dados. Eles são sempre opostos, e é o primeiro que batiza a distribuição:
- massa à esquerda, cauda esticada à direita → assimetria positiva, ou à direita;
- massa à direita, cauda esticada à esquerda → assimetria negativa, ou à esquerda.
Por que a cauda e não a massa? Porque é a cauda que puxa a média. A média é a única das três medidas de posição sensível a valores extremos, então ela sempre se desloca na direção da cauda, enquanto a mediana e a moda ficam perto de onde os dados estão. Daí sai a segunda forma de ler a assimetria — e a que dispensa gráfico:
A média aponta para o lado da cauda.
Se a média está acima da mediana, a cauda está à direita: assimetria positiva. Se está abaixo, a cauda está à esquerda: assimetria negativa.
Este é um tópico com base de evidência mínima: dois itens no corpus. Os dois foram explicados e os dois testam exatamente essa convenção — mas dois itens descrevem dois itens, não um padrão.
Como funciona
As duas rotas, e elas sempre concordam. Um item de assimetria chega por um de dois caminhos, e o corpus tem um de cada:
- um gráfico — leia de que lado está a barra alta, conclua que a cauda está do outro lado, e nomeie pela cauda;
- três medidas de posição — ordene média, mediana e moda e leia a direção.
A ordenação das três medidas. É o instrumento mais seguro, porque não depende de interpretação visual:
| ordem | forma |
|---|---|
| moda < mediana < média | assimetria positiva (à direita) |
| média = mediana = moda | simétrica |
| média < mediana < moda | assimetria negativa (à esquerda) |
A regra de leitura, para não decorar a tabela: a média é a que se mexe, e ela se mexe para o lado da cauda. A moda fica no pico, a mediana entre as duas.
O sinal, sem tabela. O sinal da assimetria é o sinal de média − mediana. Positivo, assimetria positiva; negativo, negativa; zero, simétrica. É o mesmo que a tabela acima diz, em uma subtração.
Coeficiente de Pearson. Quando o item quer um número, é um destes dois, ambos divididos pelo desvio padrão para ficarem adimensionais:
- (média − moda) / desvio padrão;
- 3 × (média − mediana) / desvio padrão.
O que importa na prova costuma ser o sinal, não a magnitude — e o sinal já está na subtração do numerador.
Assimetria em histograma de classes crescentes. O caso mais comum: classes em ordem crescente de valor com frequências que caem ao longo do eixo (50, 20, 10, 10, 5, 5, por exemplo). A massa está nas classes baixas, à esquerda, e a cauda se estende para a direita: assimetria positiva. Confirmação numérica imediata: a média desse histograma dá 3.300 e a mediana cai dentro da primeira classe, em torno de 2.000 — média acima da mediana, cauda à direita.
O que a assimetria não diz. Não diz nada sobre dispersão: duas distribuições podem ter a mesma assimetria e desvios padrão muito diferentes. E não é curtose, que é o achatamento, assunto distinto e ausente deste tópico.
O que decide os itens
| distinção | o que decide |
|---|---|
| Lado da cauda × lado da concentração | O nome vem da cauda. Massa à esquerda é assimetria positiva. Inverter isso é o item errado do corpus. |
| Média × mediana | Média acima da mediana → positiva; abaixo → negativa. O sinal de média − mediana é o sinal da assimetria. |
| Ordem das três medidas | moda < mediana < média é positiva; média < mediana < moda é negativa. |
| Justificativa × conclusão | A banca pode descrever o gráfico corretamente e ainda assim rotular ao contrário. A parte do item que decide é o rótulo, não a descrição. |
| Assimetria × dispersão | Forma e espalhamento são independentes. Assimetria forte não implica desvio padrão grande. |
| Positiva × “boa” | Os nomes positiva e negativa são direções, não juízos. Nada no sinal indica qualidade dos dados. |
Números que caem
| quantidade | valor |
|---|---|
| Sinal da assimetria | sinal de (média − mediana) |
| Assimetria positiva | moda < mediana < média |
| Distribuição simétrica | média = mediana = moda |
| Assimetria negativa | média < mediana < moda |
| Coeficiente de Pearson (1.ª fórmula) | (média − moda) / desvio padrão |
| Coeficiente de Pearson (2.ª fórmula) | 3 × (média − mediana) / desvio padrão |
| Assimetria nula | coeficiente igual a 0 |
Como a CEBRASPE derruba você aqui
Medido sobre os 2 itens do tópico, ambos explicados. Um Certo e um Errado. Com dois itens não há frequência a reportar, nem padrão a generalizar; o que segue descreve os dois, e vale como descrição do que existe.
Os dois itens testam a mesma convenção por rotas opostas, e isso é o tópico inteiro. Um entrega o histograma e pede o rótulo; o outro entrega média, mediana e moda numa tabela e pede o rótulo. Rótulo trocado é a única coisa que o corpus deste tópico cobra.
O item Errado descreve o gráfico corretamente e inverte o nome. O span é
assimetria negativa, na frase “O histograma apresenta uma distribuição com
assimetria negativa, já que há maior concentração de valores à esquerda da
mediana”. Repare no que a banca fez: a justificativa é verdadeira — a
concentração está mesmo à esquerda, com frequências 50, 20, 10, 10, 5 e 5 — e a
conclusão é o oposto do que ela implica. Concentração à esquerda significa cauda
à direita, isto é, assimetria positiva, confirmada por média 3.300 acima de
mediana em torno de 2.000. Defesa: quando o item vier no formato “X, já que Y”,
julgue X e Y separadamente. Um “já que” correto não valida a afirmação que ele
sustenta, e é exatamente essa sensação de coerência que derruba o item.
O item Certo é leitura direta da ordem das três medidas. Média 150, mediana 152, moda 154 — média abaixo da mediana, abaixo da moda: assimetria negativa. Não há pegadinha, e é a confirmação de que quando a tabela traz as três medidas, o item se resolve em uma comparação, sem gráfico e sem fórmula.
O que o título promete e o corpus não cobra. Nenhum dos dois itens pede o coeficiente de assimetria por fórmula, nenhum trata de simetria a partir de box-plot e nenhum aproveita a relação empírica entre as três medidas para estimar uma delas. O tópico, como está medido, é uma convenção de nome.
Erros clássicos
Nomear a assimetria pelo lado da concentração. É o erro central e é o item errado do corpus. O nome vem da cauda.
Aceitar a conclusão porque a justificativa está certa. “Assimetria negativa, já que há concentração à esquerda” tem a segunda metade verdadeira e a primeira falsa.
Achar que média maior que mediana indica assimetria à esquerda. É o contrário: a média persegue a cauda, e a cauda está à direita.
Confundir assimetria com dispersão. Forma e espalhamento são coisas independentes.
Ler “positiva” como elogio. É direção da cauda, não qualidade.
Esquecer que a moda fica no pico. Localizar a moda resolve metade da ordenação sem nenhuma conta.
LidoPraticado