Distribuições: Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Nenhum item de prova anterior, no acervo deste projeto, caiu neste tópico. A nota foi escrita a partir do edital e da bibliografia — não do corpus — e por isso não traz frequências medidas.

A ideia que organiza o assunto

Distribuição não é fórmula: é experimento com nome. Cada uma das seis descreve uma situação concreta, e a fórmula é consequência da situação, não o contrário. Quem lê o enunciado procurando qual experimento está ali resolve o item; quem procura qual fórmula “parece” a certa erra na primeira pegadinha, porque a banca descreve o experimento de um jeito e sugere o nome da vizinha.

O mapa cabe em seis linhas:

• Bernoulli — uma tentativa, dois resultados.
• Binomial — quantos sucessos em n tentativas de Bernoulli independentes, com p constante.
• Poisson — quantas ocorrências em um intervalo fixo de tempo, área ou volume, dada uma taxa média. Não há n, não há p: há λ.
• Uniforme — todos os valores do intervalo igualmente prováveis.
• Exponencial — quanto tempo até a próxima ocorrência de um processo de Poisson: a contraparte contínua da contagem.
• Normal — a soma de muitos efeitos pequenos e independentes; simétrica em torno da média, e onipresente pelo teorema central do limite.

A segunda ideia é o corte discreto/contínuo, que decide itens sozinho. Nas três primeiras, X conta coisas e P(X = k) é um número positivo que se soma. Nas três últimas, X mede coisas e P(X = x) = 0 para qualquer x: probabilidade é área sob a densidade, não valor da densidade. Daí duas consequências que o item explora: a densidade f(x) pode passar de 1 (numa uniforme de 0 a 0,5, f(x) = 2), e trocar ≤ por < não altera nada numa contínua, enquanto altera tudo numa discreta.

A terceira é de método: decore o par E(X) e Var(X) junto com o experimento, não separado dele. Quase todo item cobra uma probabilidade pontual ou uma dessas duas quantidades.

Como funciona

Bernoulli(p). X vale 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1 − p. E(X) = p e Var(X) = p(1 − p), máxima em p = 0,5, onde vale 0,25: a incerteza é maior quando os dois resultados são igualmente prováveis.

Binomial(n, p). Soma de n Bernoullis independentes:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

E(X) = np, Var(X) = np(1 − p). Quatro exigências, e o item cai quebrando qualquer uma: número de tentativas fixo, tentativas independentes, apenas dois resultados por tentativa, p constante. A consequência mais cobrada é de amostragem: com reposição p se mantém e é binomial; sem reposição em população finita p muda a cada retirada e é hipergeométrica.

Poisson(λ). Conta ocorrências num intervalo, com taxa média λ proporcional ao tamanho do intervalo:

P(X = k) = (e^(−λ) · λᵏ)/k!

E(X) = Var(X) = λ. Média igual à variância é a marca da Poisson e o teste mais rápido para identificá-la num enunciado que dá as duas. O λ escala com o intervalo: 3 chamados por hora viram λ = 1,5 em meia hora e λ = 6 em duas horas — ajustar o λ ao intervalo do item é a metade do trabalho. A soma de Poissons independentes é Poisson com λ somado.

Uniforme contínua(a, b). Densidade constante 1/(b − a) dentro do intervalo e zero fora; E(X) = (a + b)/2, que é o ponto médio e também a mediana, e Var(X) = (b − a)²/12. Probabilidade é proporção de comprimento: P(c < X < d) = (d − c)/(b − a). Existe também a uniforme discreta, com n valores de probabilidade 1/n cada — o modelo do dado honesto.

Exponencial(λ). Tempo até a próxima ocorrência de um processo de Poisson com taxa λ. Densidade f(x) = λe^(−λx) para x ≥ 0, e o que se usa na prática é a acumulada complementar: P(X > x) = e^(−λx), de onde P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx). E(X) = 1/λ e Var(X) = 1/λ², de modo que média e desvio padrão são iguais, ambos 1/λ. É assimétrica à direita, e sua mediana, ln2/λ ≈ 0,693/λ, é menor que a média — daí “metade dos atendimentos termina antes de 0,69 do tempo médio”.

A propriedade que o assunto inteiro carrega é a falta de memória: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Um componente que já durou 5.000 horas tem exatamente a mesma distribuição de vida restante que um componente novo — não há envelhecimento, não há desgaste acumulado. É a única contínua com essa propriedade; entre as discretas, a geométrica.

Normal(μ, σ²). Simétrica, unimodal, em forma de sino, com média = mediana = moda e assimetria zero. μ localiza o centro, σ controla a largura, e a área total é 1. Qualquer normal vira a normal padrão Z ~ N(0, 1) pela padronização:

Z = (X − μ)/σ

que é a transformação linear da nota sobre efeito de constantes: subtrair μ zera a média, dividir por σ faz o desvio padrão valer 1. A tabela existe porque uma só tabela, a de Z, serve a todas as normais.

Daí a regra empírica 68-95-99,7: cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média, 95% a dois e 99,7% a três (os exatos são 68,27%, 95,45% e 99,73%). Não confunda esses números com os valores críticos, que respondem à pergunta inversa: para conter exatamente 95% da área usa-se 1,96 desvio padrão, e para 99%, 2,576.

Quando uma vira a outra. A binomial se aproxima da Poisson com n grande e p pequeno, λ = np — a regra usual é n ≥ 20 e p ≤ 0,05, e a aproximação fica muito boa com n ≥ 100 e np ≤ 10: é o evento raro em muitas tentativas. E se aproxima da normal quando np e n(1 − p) passam de 5 (alguns textos exigem 10), com μ = np e σ² = np(1 − p). Em uma frase: p pequeno puxa para Poisson; n grande com p central puxa para normal.

O que decide os itens

distribuição	modela	E(X)	Var(X)
Bernoulli(p)	uma tentativa, dois resultados	p	p(1 − p)
Binomial(n, p)	nº de sucessos em n tentativas independentes	np	np(1 − p)
Poisson(λ)	nº de ocorrências num intervalo fixo	λ	λ
Uniforme contínua(a, b)	ponto ao acaso num intervalo	(a + b)/2	(b − a)²/12
Exponencial(λ)	tempo até a próxima ocorrência	1/λ	1/λ²
Normal(μ, σ²)	soma de muitos efeitos pequenos	μ	σ²

par que a banca troca	o que decide
Binomial × Poisson	A binomial tem n tentativas e p; a Poisson tem taxa num intervalo e não tem n. “Em 10 peças” é binomial; “por hora” é Poisson.
Binomial × hipergeométrica	Com reposição (ou população infinita) é binomial; sem reposição em população finita é hipergeométrica, porque p muda a cada retirada.
Poisson × exponencial	Mesmo processo, perguntas opostas: quantas ocorrências × quanto tempo até a próxima.
Discreta × contínua	Na contínua P(X = x) = 0, f(x) pode passar de 1 e ≤ é o mesmo que <. Na discreta, nada disso vale.
σ × σ²	N(μ, σ²) se padroniza dividindo por σ, não por σ²: variância 16 é desvio padrão 4.
Média × variância na Poisson	São iguais, ambas λ. Item que as dá diferentes e chama de Poisson está errado.
Média × mediana na exponencial	A mediana é 0,693/λ, menor que a média 1/λ. Assimétrica à direita.
Falta de memória × desgaste	A exponencial ignora o passado; “probabilidade de falha que cresce com o uso” não é exponencial.
68-95-99,7 × 1,96 e 2,576	Área dada a distância (1, 2, 3 desvios) × distância dada a área (95%, 99%). Não são a mesma tabela lida do mesmo lado.
Aproximação por Poisson × por normal	p pequeno e n grande → Poisson, λ = np. np e n(1 − p) acima de 5 → normal.

Números que caem

quantidade	valor
P(X = k) binomial	C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
P(X = k) Poisson	(e^(−λ) · λᵏ)/k!
Variância máxima de uma Bernoulli	0,25, em p = 0,5
P(X > x) exponencial	e^(−λx)
Mediana da exponencial	ln2/λ ≈ 0,693/λ
Relação média/desvio padrão na exponencial	iguais, ambos 1/λ
Densidade da uniforme contínua	1/(b − a)
Variância da uniforme contínua	(b − a)²/12
Regra empírica (1, 2 e 3 desvios padrão)	68,27% · 95,45% · 99,73%
Área central de 90%, 95% e 99% na normal padrão	z = 1,645 · 1,96 · 2,576
Normal padrão	μ = 0, σ = 1; Z = (X − μ)/σ
Binomial → Poisson	n ≥ 20 e p ≤ 0,05 (muito boa com n ≥ 100 e np ≤ 10), λ = np
Binomial → normal	np > 5 e n(1 − p) > 5, com μ = np e σ² = np(1 − p)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção é julgamento sobre como a banca costuma cobrar o assunto — não medição. Não há itens deste tópico no acervo para medir.

O experimento descrito certo e batizado errado. É a figura central do assunto: o enunciado narra retiradas sem reposição e o item chama de binomial; narra contagem por hora e o item chama de binomial; narra tempo até a falha e o item chama de Poisson. Defesa: nomeie o experimento antes de ler o nome que o item deu.

O parâmetro não ajustado ao intervalo. Taxa de 3 por hora, pergunta sobre 15 minutos, e o item mantém λ = 3. Sempre que o intervalo da pergunta diferir do intervalo da taxa, o λ tem de ser reescalado antes de qualquer conta.

σ e σ² embaralhados. N(10, 16) tem desvio padrão 4, não 16. Padronizar dividindo pela variância produz um número plausível e falso.

A regra empírica arredondada para outro número. Dizer que dois desvios padrão contêm 68%, ou que 1,96 desvio padrão contém 99% da área. Os valores são poucos e fixos: 68-95-99,7 para 1, 2 e 3 desvios; 1,645, 1,96 e 2,576 para 90%, 95% e 99%.

A falta de memória apresentada como desgaste. O item atribui à exponencial uma probabilidade de falha que cresce com a idade do equipamento — ou nega a propriedade num enunciado que a pressupõe. Variante fina: “a exponencial é a única distribuição sem memória”; é a única contínua, e entre as discretas a geométrica também é.

A densidade lida como probabilidade. “Numa uniforme entre 0 e 0,5, a probabilidade de um valor específico é 2” junta os dois erros do corte contínuo.

Simetria atribuída a quem não tem. “Média = mediana = moda” é propriedade da normal; a exponencial e a Poisson com λ pequeno são assimétricas à direita.

A condição da aproximação apagada. “A binomial pode ser aproximada pela Poisson” sem p pequeno, ou “pela normal” sem np e n(1 − p) suficientes, é escopo ampliado. Toda aproximação aqui tem condição, e a condição é o item.

Quando o absoluto é do teorema. “A variância da Poisson é sempre igual à média”, “a probabilidade de um valor pontual numa variável contínua é sempre zero”, “toda normal padronizada tem média zero e variância um” — parecem exageros de redator e são definições. Pergunte de quem é o absoluto antes de descartá-lo.

Erros clássicos

Chamar de binomial uma extração sem reposição. Sem reposição, p muda a cada retirada: é hipergeométrica.

Esquecer de escalar o λ da Poisson para o intervalo da pergunta. A taxa vem por unidade de tempo; o item pergunta por outra.

Dividir por σ² ao padronizar. Z = (X − μ)/σ. Com variância 16, divide-se por 4.

Tratar f(x) como probabilidade. Em variável contínua, probabilidade é área; a densidade pode passar de 1.

Confundir Poisson com exponencial no mesmo processo. Uma conta ocorrências, a outra mede o tempo entre elas.

Dizer que a média da exponencial é a mediana. A média é 1/λ; a mediana é 0,693/λ, sempre menor.

Aplicar 68-95-99,7 a distribuição que não é normal. Sem simetria e forma de sino a regra não vale; no caso geral o que existe é a desigualdade de Chebyshev, muito mais frouxa.

Usar a binomial sem checar independência e p constante. As quatro condições definem o modelo; quebrada uma, a fórmula não se aplica.