Básicos · Lógica e Estatística · Raciocínio lógico
Conectivos e tabelas-verdade; nº de linhas = 2ⁿ
Conte as proposições simples: negação, advérbio e sujeito composto não contam. O número de linhas é 2 elevado a esse total — e é só isso que 40% dos itens do tópico perguntam.
Alta51 itens no tópico
A ideia que organiza o assunto
Uma proposição composta não tem valor lógico próprio. Ela é uma função dos valores das proposições simples que a formam: dados os valores das partes, o valor do todo está determinado. A tabela-verdade é essa função escrita por extenso — uma linha para cada combinação possível das partes.
Disso decorre tudo o que a prova cobra, em três perguntas nesta ordem:
- Quantas proposições simples há na frase? Chame esse número de n.
- Quantas linhas tem a tabela? 2ⁿ. Sempre, sem exceção.
- Qual conectivo liga o quê? Aí se aplica a tabela do conectivo.
O que precisa ficar claro é que a pergunta que decide mais itens deste tópico é a primeira, e ela não é de lógica: é de leitura. Contar proposições simples é contar quantas declarações independentes existem na frase — cada uma com seu próprio verbo, cada uma capaz de ser verdadeira ou falsa sozinha. Todo o resto é decoração gramatical que não acrescenta linha nenhuma.
E é exatamente aí que a banca trabalha. A negação não acrescenta linha. Dizer
“não” sobre uma proposição não cria uma segunda proposição: ~P tem os mesmos
dois valores de P, invertidos, na mesma tabela de duas linhas. Advérbios,
locuções adverbiais, orações adjetivas restritivas e sujeitos compostos também
não acrescentam nada. Quem conta cada “não” e cada “quando” como um item novo
dobra a tabela e erra o número — que é precisamente o número que o item oferece.
Como funciona
O que é proposição simples. Uma sentença declarativa, com verbo, à qual se pode atribuer verdadeiro ou falso, e que não contém outra proposição dentro de si. “João pagou” é proposição. “O melhor filme do ano” não é — não declara nada. “Pague a conta!” e “Quem chegou?” também não são: ordem e pergunta não têm valor lógico.
As tabelas dos conectivos. São quatro, e valem sem discussão:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q | P ↔ Q |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | F | V | V | F |
| F | F | F | F | V | V |
Lidas como regra, em vez de decoradas linha a linha:
- Conjunção (∧) é verdadeira só quando as duas partes são verdadeiras. Uma falsa derruba tudo.
- Disjunção (∨) é falsa só quando as duas são falsas. Uma verdadeira salva tudo. É inclusiva: “P ou Q” continua verdadeira com as duas verdadeiras.
- Condicional (→) é falsa só numa linha: antecedente verdadeiro e consequente falso. Antecedente falso torna a condicional verdadeira, independentemente do consequente.
- Bicondicional (↔) é verdadeira quando os dois valores são iguais.
A negação. ~P inverte o valor de P e nada mais. ~(P ∧ Q) não é
~P ∧ ~Q; ~(P → Q) não é ~P → ~Q. Negar não é trocar o sinal de cada parte.
2ⁿ. Cada proposição simples pode assumir dois valores, independentemente das outras. Com n proposições há 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ combinações, e a tabela tem uma linha para cada uma. Não importa quantos conectivos, quantos parênteses ou quantas negações a fórmula tenha: só o número de letras distintas conta.
A ordem padrão das colunas. Quando o item mostra as três primeiras colunas de uma tabela e pergunta pela última, a ordem é sempre a mesma nesta prova — e é a ordem que se obtém alternando o valor mais à direita a cada linha:
| P | Q | R |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
| F | F | F |
Ou seja: P é VVVVFFFF, Q é VVFFVVFF, R é VFVFVFVF. Nos seis itens deste tópico que exibem a tabela, a ordem é essa nos seis. Decorá-la permite resolver o item mesmo quando a imagem da tabela não aparece.
O que decide os itens
Conta ou não conta como proposição simples — a distinção que decide mais itens do tópico do que todas as outras somadas:
| conta | não conta |
|---|---|
| cada oração com verbo próprio e valor lógico | negação: “não”, “nem”, “sem”, “deixou de” |
| orações coordenadas (“e”, “ou”, “mas”) | adjunto adverbial: “nos processos administrativos”, “em público” |
| antecedente e consequente de uma condicional | oração adjetiva restritiva: “a sociedade que não adota X nunca vencerá” |
| cada elemento de uma lista de condições | sujeito ou objeto composto dentro de uma predicação |
| a proposição encaixada quando há dois verbos independentes | quantificador: “todos”, “a maioria”, “algum” |
Um caso vale isolado porque cai muito: “João assistiu sem pagar” tem duas proposições simples — “João assistiu” e “João pagou” —, logo 4 linhas. O “sem” é a negação da segunda, não uma terceira proposição.
Marcador linguístico → conectivo. Antes de discutir as letras, confira se o conectivo oferecido está de fato na frase:
| na frase | conectivo |
|---|---|
| e; mas; porém; contudo; além disso; também; tanto… quanto | ∧ |
| (mas só quando ligam orações — ligando termos, não há conjunção lógica) | — |
| ou; ou… ou (sem exclusividade declarada) | ∨ |
| se… então; quando; caso; desde que; sempre que; a condição de | → |
| pois; porque; já que; dado que; uma vez que | →, com a causa no antecedente |
| logo; portanto; consequentemente; assim | →, com a causa no antecedente |
| se e somente se; condição necessária e suficiente; equivale a | ↔ |
Direção da condicional — o erro de direção é mais frequente que o de conectivo:
| forma | fórmula |
|---|---|
| “Se A, então B” | A → B |
| “A, pois B” / “A, já que B” | B → A |
| “B, logo A” | B → A |
| “A é condição suficiente para B” | A → B |
| “A é condição necessária para B” | B → A |
| “A só se B” | A → B |
| “Basta A para B” | A → B |
Contrapositiva, recíproca e inversa. Só a primeira é equivalente:
| fórmula | equivale a A → B? | |
|---|---|---|
| contrapositiva | ~B → ~A | sim |
| recíproca | B → A | não |
| inversa | ~A → ~B | não |
Negar uma composta. As três que caem:
| proposição | negação equivalente |
|---|---|
| P ∧ Q | ~P ∨ ~Q |
| P ∨ Q | ~P ∧ ~Q |
| P → Q | P ∧ ~Q |
A negação de uma condicional não é outra condicional. Quem responde “Se não A, então não B” está dando a inversa, não a negação.
Quando cada composta é falsa — atalho para os itens que perguntam em quantas linhas a proposição é verdadeira ou falsa:
| forma | linhas em que é falsa |
|---|---|
| condicional A → B | exatamente 1 (A verdadeiro, B falso) |
| conjunção de n partes | 2ⁿ − 1 |
| disjunção de n partes | exatamente 1 (todas falsas) |
Antecedente que é tautologia. “Se gostamos ou não do chefe, então C” tem
antecedente A ∨ ~A, que é sempre verdadeiro. Uma condicional com antecedente
sempre verdadeiro tem exatamente o valor do consequente — a frase inteira
equivale a C.
Números que caem
| n proposições simples | linhas da tabela |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
E os limiares com que a banca embrulha esses números: “mais de 15” quer dizer 16, ou seja n = 4; “menos de 10” quer dizer 8, ou seja n = 3; “mais de 30” quer dizer 32, ou seja n = 5; “menos de 6” quer dizer 4, ou seja n = 2; “superior a 5” quer dizer pelo menos 8, ou seja n ≥ 3.
Essa tabela traduz o enunciado; ela não decide o item. Nos dois itens do corpus em que “mais de 30” e “menos de 6” aparecem, as duas afirmações são erradas — as tabelas verdadeiras têm 16 e 8 linhas, não 32 e 4. Use o limiar para saber o que o item está afirmando, e a sua própria contagem para saber se aquilo é verdade.
Como a CEBRASPE derruba você aqui
Medido sobre os 50 itens do tópico.
Vinte deles — 40% — perguntam só quantas linhas a tabela tem, e nenhum manda construí-la: mandam contar proposições simples. Representação simbólica responde por 7 itens, tabela exibida por 6, e o resto se divide entre a negação da condicional e a direção da seta.
O título do tópico promete mais conectivo do que o corpus cobra. O bicondicional aparece em 1 dos 50 enunciados, e lá só para ser rejeitado — a frase não era um bicondicional. Nenhum item exige aplicar a tabela do ↔; nenhum menciona disjunção exclusiva; nenhum menciona contradição. A palavra “conectivo” aparece em um único enunciado, e esse item é uma questão de Português sobre “Embora” × “Apesar de”.
Uma proposição simples a mais. É o formato dominante. O item afirma um número exato de linhas e esse número é o dobro do verdadeiro, porque a banca contou como proposição algo que não é: um “não”, um “sem”, uma locução adverbial de abertura, um quantificador. “A tabela-verdade associada à proposição P possui 8 linhas”, dito de “Se não consigo vencê-lo, me juntarei a ele” — duas proposições, 4 linhas; o “não” foi contado. “A tabela-verdade associada à proposição Q tem 8 linhas”, dito de “João assistiu sem pagar” — o “sem” foi contado. Defesa: sublinhe os verbos independentes, conte-os, eleve 2 a esse número e compare. Se o número do item for exatamente o dobro do seu, você achou o erro — mas não conte com o dobro para confirmar a sua conta: de quatro itens que cravam um número errado, três são o dobro e um é o quádruplo (afirma 16 onde a tabela tem 4). Uma proposição a mais é o erro típico; duas a mais acontece.
O número cravado é o alerta — e a desigualdade não é o contrário disso. Dos 9 itens que afirmam um número exato de linhas, 8 são Errado (89%): é o predictor mais forte do tópico, e “a tabela-verdade associada à proposição P possui N linhas” com um numeral seco é uma aposta de que você errou a contagem. A metade tranquilizadora dessa regra, porém, não se sustentou na medição: dos 11 itens que dizem “mais de” ou “menos de”, 6 são Certo e 5 são Errado. A desigualdade não é o arredondamento honesto do valor verdadeiro — é uma questão comum, decidida na conta como qualquer outra. O numeral seco muda a sua expectativa antes de contar; não dispensa ninguém de contar.
Um conectivo que não está na frase. Nos itens de representação simbólica, a
manobra é sempre a mesma: a fórmula oferecida traz um conectivo que a sentença
não tem. “dado que o transporte de cargas… é econômico” apresentado como uma
conjunção, quando “dado que” é condicional. “O monte Roraima e o monte Caburaí
são exemplos de formações geológicas…” apresentado como R → (P ∧ Q), quando não
há ali condicional alguma. “‘Céu bem azul’ e ‘Dia de muita alegria’ são duas
expressões equivalentes” apresentado como P ⇔ Q, quando as duas expressões nem
sequer são proposições — não têm verbo nem valor lógico.
E o caso mais sutil, que é o mais frequente: uma frase de uma só predicação
oferecida como composta. “A prosperidade de um país é consequência da perfeita
associação entre ações sociais e incentivo ao empreendedorismo” apresentada como
(Q ∧ R) → P; “A aplicação dos recursos públicos, de forma justa e para o
benefício de toda a sociedade, é consequência da ação contínua dos órgãos de
controle” apresentada como (P ∧ Q) → R; “A fiscalização federal é imprescindível
para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos” apresentada
como P ∧ Q. Nas três há um verbo só, e o que parece coordenação de orações é
coordenação de termos dentro de um complemento. Defesa: antes de conferir
quais letras são quais, conte os verbos independentes e procure na frase o
conectivo que a fórmula afirma. Se ele não estiver lá, o item já está errado.
Medido: os 7 itens de representação simbólica são 1 Certo e 6 Errados (86%), e vale olhar o único Certo. Nele a fórmula está correta e o que falha é a validade do argumento — a banca separa “representa corretamente” de “é válido”, e o candidato junta as duas coisas. Representar bem uma premissa falsa continua sendo representar bem.
A direção invertida da condicional. “A, pois B” é B → A, não A → B: o
“pois” introduz a causa, e a causa é o antecedente. O mesmo vale para “já
que”, “dado que”, “uma vez que” e, do outro lado, para “logo” e “portanto”, que
introduzem a conclusão. Item que ofereça a seta apontando para a causa está
errado.
Negar as duas partes e chamar isso de negação. “A negação de ‘Se me alimento
bem, terei qualidade de vida’ é ‘Se não me alimento bem, não terei qualidade de
vida’” — isso é a inversa, e a inversa não é nem a negação nem uma equivalente. A
negação de uma condicional é uma conjunção: P ∧ ~Q. Mesma armadilha com
“pois”: negar as duas orações não nega o período.
Uma coluna trocada em oito. Nos itens que dão as três primeiras colunas e afirmam a última, a sequência oferecida costuma bater em seis ou sete das oito linhas. Conferir a primeira e a última não basta. São 6 itens (2 C / 4 E), e a ordem padrão das colunas documentada acima decidiu todos os 6 — nenhum caderno do corpus a altera. Defesa: calcule as oito, na ordem padrão, e compare posição a posição — e comece pelas linhas em que o conectivo principal é falso, que são as poucas e as decisivas.
Erros clássicos
Contar o “não”. ~P tem duas linhas, não quatro. Negação inverte valores;
não cria proposição.
Contar a locução adverbial de abertura. “Nos processos de justificações administrativas, quando o segurado apresentar testemunhas, a agência fornecerá um servidor” tem duas proposições, não três: a primeira vírgula isola um adjunto, não uma oração.
Achar que “ou” é exclusivo. Na lógica proposicional da prova, ∨ é inclusiva:
é verdadeira também quando as duas partes são verdadeiras.
Achar que condicional é causalidade. P → Q com P falso é verdadeira,
sempre, por mais desconexos que sejam P e Q. A condicional só mente numa linha.
Confundir a recíproca com a contrapositiva. De A → B só se pode passar
para ~B → ~A. Todo o resto muda a proposição.
Decompor sujeito composto em duas proposições quando há um só verbo. “As cidades de Recife, Fortaleza e Salvador estão à beira-mar” é uma proposição. Só vira conjunção se cada parte tiver predicação própria.
Aplicar 2ⁿ ao número de conectivos. É ao número de letras distintas. Uma fórmula com sete conectivos e três letras tem 8 linhas.
LidoPraticado