Efeito de soma/multiplicação por constante sobre média e dispersão

Nenhum item de prova anterior, no acervo deste projeto, caiu neste tópico. A nota foi escrita a partir do edital e da bibliografia — não do corpus — e por isso não traz frequências medidas.

A ideia que organiza o assunto

Todo este tópico é uma única transformação, Y = aX + b, e ela faz duas coisas distintas com o conjunto de dados: b desloca, a estica. Deslocar move a distribuição inteira pela reta sem alterar a distância entre dois pontos quaisquer; esticar multiplica todas essas distâncias.

Daí sai a regra que gera o resto sozinha:

• Medidas de posição acompanham as duas operações. Média, mediana, moda, quartis e percentis são valores na mesma escala dos dados: deslocam-se com o conjunto e esticam com ele.
• Medidas de dispersão ignoram o deslocamento e só sentem o esticão. Dispersão é feita de afastamentos, e somar b a cada observação soma b também à média — o afastamento xᵢ − x̄ continua exatamente o mesmo.
• A variância sente o esticão ao quadrado, por estar medida em unidades ao quadrado. Quando a unidade dobra, a variância quadruplica; o desvio padrão, que está de volta na unidade original, apenas dobra.

Não decore a tabela deste tópico: reconstrua-a. Pergunte, para cada medida, “isto é uma posição na régua ou uma distância entre pontos da régua?”. Posição sofre o b; distância não. E “isto está na unidade dos dados ou na unidade ao quadrado?”. Na unidade, multiplica por |a|; ao quadrado, por a².

O terceiro detalhe, pequeno e caro, é o módulo. Desvio padrão, amplitude e amplitude interquartil não são negativos nunca. Quando a é negativo, eles são multiplicados por |a|, e não por a — enquanto média, mediana e moda são multiplicadas pelo próprio a, sinal incluído.

Como funciona

Somar uma constante (X + b). Cada observação anda b para a direita (ou para a esquerda, se b for negativo), e a ordem dos valores é preservada — por isso toda medida definida por posição na ordenação anda junto: mediana, quartis, decis, percentis, mínimo, máximo, e a moda, que continua sendo o valor mais frequente depois de deslocada. A média anda junto por conta: somar b a cada uma das n parcelas soma b à média. E como média e observações andaram a mesma distância, o desvio xᵢ − x̄ é idêntico ao de antes. Logo nenhuma medida de dispersão muda: nem a amplitude (máximo e mínimo andaram juntos), nem a amplitude interquartil, nem o desvio médio, nem a variância, nem o desvio padrão.

Há uma exceção que não é exceção: o coeficiente de variação, s/x̄, muda com a soma — não porque a dispersão tenha mudado, mas porque o denominador se deslocou; com dados positivos e b > 0, ele cai. É a única medida do tópico que reage ao b, e reage por não ser dispersão pura, e sim razão entre dispersão e nível.

Multiplicar por uma constante (aX). Agora as distâncias mudam. Média, mediana e moda ficam multiplicadas por a. A amplitude, a amplitude interquartil, o desvio médio e o desvio padrão ficam multiplicados por |a|. A variância fica multiplicada por a² — e note que a² é positivo mesmo com a negativo, o que é coerente: variância nunca é negativa.

Com a negativo há um efeito extra que quase ninguém antecipa: a ordem se inverte. O que era mínimo vira máximo e Q₁ e Q₃ trocam de papel — a mediana, ponto do meio, continua sendo a vezes a mediana antiga, mas quem calcular Q₃ − Q₁ com os quartis antigos multiplicados por a chega a um número negativo. A amplitude interquartil nova é |a| vezes a antiga.

As duas juntas (aX + b). A dispersão só enxerga o a; a posição enxerga os dois. É o caso que a prova apresenta vestido de enunciado real: “reajuste de 10% e, em seguida, abono fixo de R$ 200” é a = 1,1 e b = 200 — o desvio padrão sobe 10%, a variância sobe 21% e o abono não faz nada com nenhum dos dois; “temperatura convertida de Celsius para Fahrenheit” é a = 1,8 e b = 32 — a média converte integralmente (1,8x̄ + 32) e o desvio padrão apenas multiplica por 1,8, porque o 32 não entra na dispersão.

Padronização (escore z). z = (X − x̄)/s é uma transformação linear com a = 1/s. Pela regra, a média vira 0 e o desvio padrão vira 1. Duas consequências que valem item: o escore z de uma observação não muda sob qualquer aX + b com a > 0 — medir uma altura em metros ou em centímetros não altera quantos desvios padrão acima da média a pessoa está; e padronizar não reduz dispersão nenhuma, apenas fixa a unidade em que ela é medida.

As medidas adimensionais. Assimetria, curtose e coeficiente de correlação são invariantes a aX + b com a > 0 — mudar de unidade não muda correlação, e uma distribuição não fica mais assimétrica por ter sido convertida de real para dólar. A covariância é a exceção do grupo: ela carrega unidade, e Cov(aX + b, cY + d) = ac · Cov(X, Y).

Dados agrupados. Em tabela de frequência nada muda: a transformação age nos pontos médios das classes, as frequências ficam onde estão, e todas as regras acima valem palavra por palavra.

O que decide os itens

medida	com X + b	com aX
Média	x̄ + b	a · x̄
Mediana	md + b	a · md
Moda	mo + b	a · mo
Quartis, decis, percentis	+ b	× a (com a < 0, Q₁ e Q₃ trocam de lado)
Mínimo e máximo	+ b	× a, invertendo-se entre si quando a < 0
Amplitude total	não muda	× |a|
Amplitude interquartil	não muda	× |a|
Desvio médio	não muda	× |a|
Variância	não muda	× a²
Desvio padrão	não muda	× |a|
Coeficiente de variação	muda (o denominador andou)	não muda, se a > 0
Escore z de cada observação	não muda	não muda, se a > 0
Soma de todos os valores	+ nb	× a
Correlação, assimetria e curtose	não mudam	não mudam, se a > 0
Covariância	não muda	× a (e × ac se as duas forem transformadas)

par que o item embaralha	o que decide
Deslocar × esticar	Só o a chega à dispersão. O b morre na subtração xᵢ − x̄.
Variância × desvio padrão sob escala	a² contra |a|. Dobrar os dados quadruplica a variância e dobra o desvio padrão.
a × |a|	Média usa o sinal; dispersão não. Com a = −3, a média inverte e o desvio padrão triplica.
Dispersão absoluta × relativa	O b não mexe no desvio padrão e mexe no coeficiente de variação; o a > 0 faz exatamente o contrário.
Padronizar × reduzir dispersão	O escore z fixa o desvio padrão em 1. Fixar não é minimizar, não é eliminar e não conserta dado nenhum.
Unidade dos dados × unidade ao quadrado	Toda medida na unidade original escala por |a|; só a variância, que está ao quadrado, escala por a².
Reajuste percentual × abono fixo	Percentual é a, abono é b; o enunciado dá os dois juntos para ver quem leva o abono à dispersão.

Números que caem

quantidade	valor
E(aX + b)	a · E(X) + b
Var(X + b)	Var(X)
Var(aX + b)	a² · Var(X)
dp(aX + b)	|a| · dp(X)
Amplitude de aX + b	|a| × amplitude de X
Coeficiente de variação de aX, a > 0	igual ao de X
Escore z	(X − x̄)/s; média 0, desvio padrão 1, variância 1
Dobrar todos os valores	média × 2, desvio padrão × 2, variância × 4
Aumento de 10% em todos os valores	média × 1,1, desvio padrão × 1,1, variância × 1,21
Celsius → Fahrenheit (1,8C + 32)	média 1,8x̄ + 32; desvio padrão 1,8s; variância 3,24s²
Cov(aX + b, cY + d)	ac · Cov(X, Y)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção é julgamento sobre como a banca costuma cobrar o assunto — não medição. Não há itens deste tópico no acervo para medir.

O abono aplicado à dispersão. É a figura central do assunto: o enunciado dá uma operação mista — reajuste mais abono, conversão de escala com deslocamento — e o item afirma um novo desvio padrão que incorpora a parcela fixa. Defesa mecânica: separe a de b antes de ler o que o item afirma e risque o b ao julgar qualquer frase sobre dispersão.

O quadrado esquecido, nos dois sentidos. Aplicar |a| onde cabia a² (a variância “dobra” quando os dados dobram) ou a² onde cabia |a| (o desvio padrão “quadruplica”). O item costuma vir numericamente plausível: com a = 2 e variância 9, “a nova variância é 18” e “o novo desvio padrão é 12” são ambos falsos e ambos parecem contas de quem trabalhou.

A inversão limpa. “Somar uma constante a todos os valores aumenta o desvio padrão na mesma proporção; multiplicá-los por uma constante não altera a dispersão” — as duas metades trocadas, cada uma correta no lugar da outra.

A padronização com poderes que não tem. “A padronização reduz a variabilidade dos dados”, “a normalização garante dispersão mínima”, “transformar em escore z elimina a assimetria”. As três são falsas pela mesma razão: transformação linear troca a régua, não os dados. É a ponte deste tópico com ciência de dados, e é por ali que ele tende a entrar em prova de TI.

O sinal negativo. a = −1 não muda o desvio padrão (|−1| = 1), inverte o sinal da média e troca Q₁ com Q₃. Item que afirme desvio padrão ou amplitude negativos está errado por definição, antes de qualquer conta.

A medida relativa no lugar da absoluta. “Somado um valor fixo a todos os dados, a dispersão relativa permanece inalterada” é falso — o coeficiente de variação cai; e “multiplicar por 3 triplica o coeficiente de variação” também, porque ele é imune à escala positiva, que é a razão de ele existir.

Quando o absoluto é do teorema. Frases como “somar uma constante nunca altera a variância” e “o escore z tem sempre média zero” parecem exageros de redator e são propriedades demonstráveis. Aqui o absoluto é da matemática, e o item é Certo.

Erros clássicos

Aplicar o b à dispersão. Somar uma constante não muda amplitude, variância, desvio padrão, desvio médio nem amplitude interquartil. Nunca.

Esquecer o quadrado no a. Multiplicar os dados por a multiplica a variância por a² e o desvio padrão por |a|. Dobrar quadruplica a variância.

Multiplicar o desvio padrão por a negativo. Dispersão não tem sinal: é |a|.

Achar que o coeficiente de variação se comporta como o desvio padrão. É o contrário: reage ao b e é imune ao a positivo.

Dizer que padronizar reduz a dispersão. Fixa o desvio padrão em 1, e fixar não é reduzir.

Deslocar o desvio padrão junto com a média na conversão de unidade. Os 32 graus de Fahrenheit não entram na dispersão; só o 1,8 entra.

Tratar mediana e moda como se não acompanhassem a transformação. São posições na régua, e a régua inteira foi deslocada e esticada.

Calcular a amplitude interquartil com a negativo sem trocar os quartis. Q₁ e Q₃ invertem de papel, e a amplitude interquartil continua positiva.