Frequências; histograma, polígono, ogiva, curvas

A ideia que organiza o assunto

Uma distribuição de frequências responde a uma pergunta só: quantas vezes cada valor, ou cada faixa de valores, apareceu? Tudo o que vem depois — histograma, polígono, ogiva, moda, mediana, assimetria — é uma forma de olhar para essa mesma contagem.

A ideia que organiza os itens, no entanto, é mais prática do que conceitual: o gráfico é o enunciado. Num item de frequências, o dado que decide não está no texto, está na figura; e a afirmação do item é quase sempre uma comparação numérica disfarçada de impressão visual — “revela relativo equilíbrio”, “há maior concentração à esquerda”, “a moda é superior a tal valor”. A impressão visual é isca. Cada uma dessas frases se converte numa conta de uma linha, e é a conta que decide.

Por isso o procedimento é sempre o mesmo, e vale como método do tópico inteiro: leia os valores da figura, escreva-os, refaça a comparação que o item afirma e compare o resultado com o que ele diz. Nunca julgue a afirmação olhando o desenho.

A base de evidência, com honestidade. O corpus tem 2 itens neste tópico, os dois Errado, e os dois caem exatamente por esse mecanismo: uma comparação aritmética explícita que não se sustenta quando refeita. Um é sobre um gráfico de barras de esportes preferidos; o outro, sobre um histograma de indenizações pagas. Nenhum dos dois trata de polígono de frequências, de ogiva ou de curvas de distribuição, apesar de o título do tópico prometer os quatro. Dois itens não sustentam percentual nenhum — sustentam apenas registrar que, nas duas vezes em que a banca apareceu aqui, ela apostou que o candidato não faria a conta.

Como funciona

Dado bruto vira tabela de frequências. Para cada categoria ou classe registra-se a frequência absoluta fi (quantas observações) e a frequência relativa fi/n (a proporção). Somadas, as absolutas dão n e as relativas dão

Acumulando na ordem, obtém-se a frequência acumulada, que responde “quantas observações até aqui”.

Os quatro gráficos, e o que cada um mostra.

Gráfico de barras: uma barra por categoria, barras separadas. Serve a variável qualitativa. A altura é a frequência, e a ordem das categorias é arbitrária.
Histograma: barras coladas sobre intervalos de classe, para variável quantitativa contínua. A colagem não é estética: significa que o eixo é contínuo e as classes são adjacentes.
Polígono de frequências: os pontos médios dos topos das barras do histograma ligados por segmentos. Mostra a mesma informação, com a forma da distribuição mais evidente.
Ogiva: o gráfico das frequências acumuladas. É sempre não decrescente e termina em n (ou em 100%). É nela que se leem quantis por interpolação: a mediana é a abscissa correspondente a 50%.

Ler moda, mediana e média num agrupamento. As três respondem a perguntas diferentes e é a confusão entre elas que a banca explora.

Moda é o valor — ou a classe — de maior frequência. Num histograma, é a classe da barra mais alta, e a moda está dentro dessa classe. Nada a ver com o maior valor da variável: se a barra mais alta é a primeira, a moda está na primeira classe, por mais que a variável chegue longe à direita.
Mediana é o valor que parte a distribuição ao meio em contagem: acumule as frequências até passar de n/2; a mediana está na classe em que isso acontece.
Média é o centro de gravidade, e por isso é a única das três que é arrastada pelos valores extremos.

Forma da distribuição. Quando a concentração está à esquerda e há uma cauda longa à direita, a assimetria é positiva, e vale média > mediana > moda. Espelhando, a assimetria negativa tem cauda à esquerda e média < mediana < moda. A pista visual é a cauda, não o amontoado: o lado para onde a distribuição se estica é o lado que dá nome à assimetria.

O que decide os itens

Qual gráfico para qual variável:

gráfico	variável	barras	eixo vertical
barras	qualitativa	separadas	frequência da categoria
histograma	quantitativa contínua, em classes	coladas	frequência da classe
polígono	quantitativa	—	frequência da classe
ogiva	quantitativa	—	frequência acumulada, não decrescente

As três medidas de posição num agrupamento:

medida	como se acha	o que não é
moda	classe de maior frequência	não é o maior valor da variável
mediana	classe onde a acumulada passa de `n/2`	não é o valor central do eixo
média	soma de `ponto médio × frequência`, dividida por `n`	não é o ponto médio da amplitude

Assimetria:

	concentração	cauda	ordem das medidas
positiva (à direita)	à esquerda	à direita	média > mediana > moda
simétrica	ao centro	ambos os lados	média = mediana = moda
negativa (à esquerda)	à direita	à esquerda	média < mediana < moda

Frequências:

	soma
frequências absolutas	`n`
frequências relativas	1, ou 100%
última frequência acumulada	`n`, ou 100%

Números que caem

Os dois conjuntos de dados que o corpus efetivamente traz, recuperados das figuras dos cadernos:

gráfico de barras — esportes	votos
futebol	31
voleibol	29
basquetebol	27
natação	25
atletismo	23
ginástica	21
tênis	19
patinação	17
caratê	15
handebol	13
soma dos dois menos votados	28

histograma — indenizações pagas (R$)	frequência
0 a 2.000	50
2.000 a 4.000	20
4.000 a 6.000	10
6.000 a 8.000	10
8.000 a 10.000	5
10.000 a 12.000	5
total	100
classe modal	0 a 2.000

Como a CEBRASPE derruba você aqui

São dois itens, os dois explicados, ambos Errado, e ambos pela mesma razão: a comparação que o item declara não sobrevive à aritmética. Dois itens não sustentam percentual, frequência nem afirmação sobre o que “a banca costuma” fazer. Não há padrão a citar; há um método a adotar, e há, no fim desta seção, um movimento conhecido do assunto que o corpus não mediu.

A comparação invertida, escondida atrás de uma impressão. “O gráfico revela relativo equilíbrio entre as preferências dos votantes, pois o número de votos do esporte mais votado é inferior à soma dos votos dos dois menos votados.” A frase tem a forma de uma leitura qualitativa com justificativa técnica, e é a justificativa que falha: 31 contra 13 + 15 = 28. O mais votado supera a soma dos dois menos votados. Note a engenharia do item — a diferença é de três votos, pequena o bastante para que o olho não decida e grande o bastante para que a conta decida. Sempre que um item oferecer um “pois” com números, é o “pois” que se testa.

A medida de posição empurrada para o lado errado do eixo. “A moda da distribuição das indenizações pagas é superior a R$ 6.000.” O histograma tem metade das observações na primeira classe, de 0 a 2.000, que é a classe modal; a moda está lá dentro. R$ 6.000 é um valor plausível de outra coisa — é o limite superior da terceira classe e reaparece, no mesmo bloco de itens, como suposta mediana. A defesa: moda é frequência, não magnitude. Antes de julgar, identifique a barra mais alta; a moda está debaixo dela, por mais à esquerda que ela esteja.

Um terceiro movimento, não medido neste tópico. Ele está no mesmo bloco da SUSEP, mas classificado em Assimetria, e por isso não conta como evidência daqui: outro item afirma assimetria negativa “já que há maior concentração de valores à esquerda da mediana”. Concentração à esquerda com cauda à direita é assimetria positiva. Vale a pena guardar porque completa o padrão do tópico: o item entrega uma observação correta sobre a figura e conclui dela o rótulo trocado.

Erros clássicos

Aceitar a comparação em vez de refazê-la. É o erro que decide os dois itens do corpus. Some, subtraia, compare; leva dez segundos.

Confundir moda com valor máximo. Moda é a barra mais alta, não a barra mais à direita.

Ler a mediana no meio do eixo horizontal. A mediana divide a contagem, não a amplitude. Com metade dos dados na primeira classe, ela cai bem à esquerda do centro do eixo.

Trocar o sentido da assimetria. O nome vem da cauda: cauda à direita, assimetria positiva.

Colar as barras de um gráfico de barras. Categoria não é intervalo. Barras coladas afirmam continuidade do eixo, e isso é histograma.

Esquecer que a ogiva é não decrescente. Qualquer item que descreva uma ogiva descendo está descrevendo outra coisa.