Equilíbrio do consumidor: tangência (TMS = razão de preços)

Este tópico acaba de ganhar seus primeiros itens explicados no acervo — ao menos dois até aqui. A nota foi escrita antes deles, a partir do edital e da bibliografia; o que está medido abaixo vem dessa base pequena e vale como indício, não como frequência.

A ideia que organiza o assunto

Você já tem as duas peças. A restrição orçamentária diz o que o consumidor pode comprar; as curvas de indiferença dizem o que ele prefere. O problema do consumidor é o encontro das duas: entre todas as cestas que cabem no orçamento, escolher a que está na curva de indiferença mais alta.

A ideia que torna o resto derivável é que há duas taxas de troca em jogo, e o ótimo é onde elas coincidem. A primeira é subjetiva: a taxa marginal de substituição diz quantas unidades de y o consumidor aceita abrir mão para ganhar uma unidade de x sem ficar nem melhor nem pior — é a inclinação da curva de indiferença, e é uma disposição, não um preço. A segunda é objetiva: a razão Px/Py diz quantas unidades de y o mercado o obriga a abrir mão para comprar uma unidade de x — é a inclinação da reta orçamentária, e é um preço, não uma disposição.

Enquanto as duas taxas diferem, existe troca vantajosa por fazer. Se a TMS é 3 e a razão de preços é 2, ele está disposto a dar 3y por 1x e o mercado só lhe cobra 2y: ele troca, ganha e repete — até que, pela TMS decrescente, a disposição caia e encontre o preço. Equilíbrio é a ausência de ganho não explorado, e é daí que sai TMS = Px/Py. Geometricamente, isso é tangência: a curva de indiferença mais alta alcançável toca a reta orçamentária sem cruzá-la.

Guarde desde já a ressalva que a prova explora mais do que a própria regra: a tangência é a resposta do caso bem-comportado — preferências monotônicas, estritamente convexas, diferenciáveis e solução interior. Fora dele o ótimo continua existindo, e continua sendo o melhor ponto do conjunto orçamentário, mas não é ponto de tangência.

Como funciona

As duas condições, e por que são duas. O ótimo interior resolve um sistema de duas equações: a tangência, TMS = Px/Py, e a exigência de que a cesta esteja sobre a reta orçamentária, Px·x + Py·y = m. A segunda vem da monotonicidade (mais é melhor, não há saciedade): sobrando renda, o consumidor compraria mais de algo e subiria de curva. Nenhuma das duas resolve sozinha — há infinitas cestas com aquela inclinação, e infinitas cestas sobre a reta.

Da tangência ao princípio equimarginal. A TMS é a razão entre as utilidades marginais, TMS = UMgx/UMgy. Substituindo e rearranjando:

UMgx / Px = UMgy / Py = λ

É a mesma condição escrita de outro jeito, e é a leitura que decide item: no ótimo, o último real gasto em cada bem rende a mesma satisfação adicional. O λ comum tem nome — é a utilidade marginal da renda. E a prova é a de sempre por outro caminho: se um real em x rendesse mais utilidade do que um real em y, bastaria remanejar um real e a utilidade subiria; logo aquela cesta não era ótima.

O papel da convexidade. A tangência é condição de primeira ordem — ela só diz que as inclinações se igualaram. O que garante que aquele ponto é máximo, e não mínimo, é a convexidade das preferências, isto é, a TMS decrescente ao longo da curva. Com preferências estritamente convexas o ponto de tangência é único e é o ótimo global; com preferências côncavas em relação à origem, a curva toca a reta por fora e a tangência marca o pior ponto viável, com o ótimo indo parar num extremo. Por isso a formulação correta é: tangência é necessária para o ótimo interior com preferências bem-comportadas; suficiente só quando se acrescenta a convexidade.

Solução de canto. Quando as duas taxas nunca se igualam dentro do conjunto orçamentário, o ótimo vai para um eixo. Se a TMS permanece maior que Px/Py em toda cesta viável, o consumidor gasta tudo em x: x = m/Px e y = 0. Ali a igualdade é substituída por uma desigualdade — TMS ≥ Px/Py no canto em x, TMS ≤ Px/Py no canto em y. É o caso dos bens que o consumidor simplesmente não consome, e a prova gosta dele porque a fórmula decorada não se aplica.

Substitutos perfeitos. Com U = a·x + b·y as curvas de indiferença são retas e a TMS é constante, igual a a/b. Comparar constante com constante só dá três resultados: se a/b > Px/Py, tudo em x; se a/b < Px/Py, tudo em y; se a/b = Px/Py, a curva coincide com a reta orçamentária e qualquer cesta da reta é ótima.

Complementares perfeitos. Com U = min(a·x, b·y) as curvas são em L e o ótimo está sempre no vértice, onde não há derivada e, portanto, não há TMS definida. Nenhuma tangência ocorre aqui, em circunstância alguma. Resolve-se pelo par a·x = b·y (estar no vértice, sem desperdício) e Px·x + Py·y = m — sapato esquerdo e direito, em que três esquerdos para dois direitos é jogar um fora.

O caso Cobb-Douglas. Com U = x^a · y^b a tangência resolve em forma fechada e produz o resultado mais cobrado em conta numérica: o consumidor gasta frações fixas da renda em cada bem, a/(a+b) em x e b/(a+b) em y, quaisquer que sejam os preços — de modo que a participação do gasto não responde nem a preço nem a renda.

Do ótimo às curvas que virão depois. Deslocando a renda e refazendo o ótimo, obtém-se a curva renda-consumo e, dela, a curva de Engel; girando a reta por variação de um preço, obtém-se a curva preço-consumo e, dela, a curva de demanda. A demanda é o rastro dos pontos de tangência — que é exatamente o que o tópico seguinte decompõe.

Ordinalidade. A utilidade aqui é ordinal: só a ordem importa. Uma transformação monotônica da função utilidade muda as utilidades marginais, mas não muda a TMS, porque ela é uma razão — e portanto não muda o ótimo.

O que decide os itens

Onde está o ótimo, caso a caso — a tabela que a prova ataca:

caso	condição do ótimo	há tangência?
convexas, solução interior	TMS = Px/Py, com Px·x + Py·y = m	sim
canto em x (y = 0)	TMS ≥ Px/Py, com x = m/Px	não
canto em y (x = 0)	TMS ≤ Px/Py, com y = m/Py	não
substitutos perfeitos (TMS = a/b)	comparar a/b com Px/Py; empate dá infinitos ótimos	só no empate
complementares perfeitos	a·x = b·y, com a restrição	nunca — não há TMS no vértice
preferências não convexas	tangência é ponto de mínimo; ótimo no extremo	é armadilha

Desequilíbrio, e para onde ele empurra:

situação	leitura	o consumidor
TMS > Px/Py	valoriza x mais do que o mercado cobra	compra mais x
TMS < Px/Py	valoriza x menos do que o mercado cobra	compra mais y
TMS = Px/Py	as duas taxas coincidem	está no ótimo

A mesma condição, quatro escritas equivalentes — trocar uma pela outra é legítimo; trocar por algo parecido não é:

escrita	leitura
TMS = Px/Py	disposição de troca igual à troca de mercado
UMgx / UMgy = Px/Py	razão de utilidades marginais igual à razão de preços
UMgx / Px = UMgy / Py = λ	o último real gasto rende o mesmo em cada bem
inclinação da indiferença = inclinação do orçamento	a versão geométrica: tangência

Necessária × suficiente — necessária no interior, com preferências bem-comportadas; suficiente só com convexidade acrescentada.

Três taxas marginais que a banca troca entre si:

sigla	onde vive	o que mede
TMS	curva de indiferença (consumo)	quanto de y se troca por x, mantida a utilidade
TMST	isoquanta (produção)	quanto de um insumo substitui o outro, mantido o produto
TMT	fronteira de possibilidades de produção	quanto de um bem se deixa de produzir para produzir o outro

Renda esgotada — o consumidor gasta tudo por não saciedade, não por definição de equilíbrio.

Números que caem

condição de tangência	TMS = Px / Py
TMS, em fórmula	UMgx / UMgy — em módulo, a inclinação da curva de indiferença
inclinação da reta orçamentária	− Px / Py
princípio equimarginal	UMgx / Px = UMgy / Py = λ
λ	utilidade marginal da renda
tamanho do sistema	2 equações (tangência + orçamento), 2 incógnitas
Cobb-Douglas U = x^a·y^b	x* = [a/(a+b)]·(m/Px) e y* = [b/(a+b)]·(m/Py)
gasto em x, em Cobb-Douglas	fração a/(a+b) da renda — constante
substitutos perfeitos U = a·x + b·y	tudo em x se a/b > Px/Py; tudo em y se a/b < Px/Py
complementares U = min(a·x, b·y)	a·x = b·y, junto com Px·x + Py·y = m
canto em x	x = m/Px, y = 0, com TMS ≥ Px/Py

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O que o primeiro item mostra. Um item só, que é anedota e não medição, e ele é Certo: a cesta que maximiza a utilidade situa-se sobre a linha de orçamento e é tangente à curva de indiferença mais alta. O que ele ensina está no que ele não traz. Esta seção adverte contra “o equilíbrio do consumidor ocorre sempre no ponto de tangência”; o item enuncia a tangência sem o advérbio, e é por isso que passa. A pergunta a fazer não é se o item fala em tangência, e sim se ele a apresenta como regra sem exceção.

Repare ainda que o item exige as duas condições — estar sobre a restrição orçamentária e haver tangência —, que é a forma completa da condição de primeira ordem. Item que peça só uma delas admite cestas inviáveis, se ficar na tangência, ou qualquer ponto da reta, se ficar na restrição.

Um segundo item, pelo lado da restrição. O item novo é Errado e ataca por onde esta seção ainda não olhava: “se o bem educação for gratuito, a família consumirá a quantidade total de aulas educacionais disponíveis no mercado”. Preço zero muda a restrição, não as preferências — o consumo avança até onde a utilidade marginal se anula, e restam limites não monetários, como o tempo. É parente da solução de canto tratada acima: em ambos o ótimo deixa de ser a tangência interior, e em nenhum deles o consumidor absorve tudo o que o mercado oferece.

A razão de preços invertida. É a distorção mais barata de escrever e a mais fácil de não ver: o item afirma que o equilíbrio ocorre quando a TMS iguala Py/Px. Defesa por unidades: a TMS de x por y se mede em unidades de y por unidade de x, de modo que a razão precisa ter o preço de x no numerador.

Utilidades marginais iguais, em vez de utilidades marginais por real. “No equilíbrio, as utilidades marginais dos dois bens se igualam.” Só se os preços forem iguais: a condição é sobre UMg dividida pelo preço, e o divisor é a metade que some. Defesa: se o item igualar utilidades marginais, procure o preço na frase; não estando lá, o item se entregou.

O absoluto sobre a tangência. “O equilíbrio do consumidor ocorre sempre no ponto de tangência.” Três contraexemplos derrubam a frase: solução de canto, substitutos perfeitos fora do empate e complementares perfeitos, que sequer têm TMS no vértice. Defesa: achado o “sempre”, pergunte se a cesta ótima poderia estar num eixo ou num bico.

Necessária apresentada como suficiente. “Satisfeita a condição TMS = Px/Py, a cesta maximiza a utilidade.” Falta a convexidade: sem ela aquele ponto é o pior da reta, não o melhor. É a versão sofisticada da anterior, e a defesa é lembrar que tangência é condição de primeira ordem.

Conclusões inventadas a partir do equilíbrio. “No equilíbrio, o consumidor gasta o mesmo valor em cada bem” ou “consome os dois bens em quantidades iguais”. Nada na condição diz isso — a igualdade de gastos é resultado particular de uma Cobb-Douglas com expoentes iguais, e a de quantidades não decorre de coisa alguma. Defesa: a condição iguala taxas, não quantidades nem despesas.

O parente trocado. TMS aparece onde deveria estar TMST (isoquanta) ou TMT (fronteira de possibilidades de produção), e a frase segue plausível porque as três são taxas marginais de substituição de alguma coisa. Defesa: pergunte se o texto fala de satisfação, de produto ou de economia inteira; só a primeira é TMS.

A cardinalidade exigida. “A determinação do equilíbrio exige que o consumidor atribua valores numéricos de utilidade a cada cesta.” Não exige: nenhum passo da solução usa o nível de utilidade, só a ordem e a inclinação.

Erros clássicos

Igualar utilidades marginais e parar por aí. A condição é utilidade marginal por unidade monetária. Sem dividir pelo preço, a frase só é verdadeira por acidente, quando Px = Py.

Inverter a razão de preços. É Px/Py, com o preço do bem do eixo horizontal no numerador. Confira pelas unidades antes de julgar.

Aplicar tangência a preferências que não a admitem. Complementares perfeitos resolvem-se pelo vértice; substitutos perfeitos, comparando a TMS constante com a razão de preços. Em nenhum dos dois a fórmula decorada funciona.

Esquecer a solução de canto. Nem todo consumidor consome de tudo. No canto a condição vira desigualdade e a cesta ótima fica sobre um eixo.

Tratar a tangência como garantia de máximo. Sem convexidade ela pode marcar o mínimo. A convexidade não é enfeite da teoria: é a condição de segunda ordem.

Confundir TMS com elasticidade de substituição. A TMS é a inclinação em um ponto; a elasticidade de substituição mede o quanto a proporção consumida responde a uma variação da própria TMS. São perguntas diferentes.