Esperança e variância: E(aX+b), Var(aX+b) = a²Var(X)

A ideia que organiza o assunto

Esperança é o centro; variância é o espalhamento. As duas respondem a perguntas diferentes e reagem de modo diferente quando a variável é transformada ou combinada — e é exatamente nessa assimetria que o assunto vive.

A regra que organiza tudo cabe em duas linhas. Numa transformação linear Y = aX + b:

• E(aX + b) = aE(X) + b — a esperança acompanha tudo. Deslocar a variável desloca o centro.
• Var(aX + b) = a²Var(X) — a variância ignora o b e eleva o a ao quadrado. Somar uma constante move a distribuição inteira sem esticá-la, logo não muda o espalhamento; multiplicar por a estica, e a variância, medida em unidades ao quadrado, estica ao quadrado.

Daí sai a consequência que a banca mais explora, e que soa errada na primeira leitura: a variância da diferença soma as variâncias. Com U e V independentes, Var(U − V) = Var(U) + (−1)²Var(V) = Var(U) + Var(V). Subtrair variáveis não cancela incerteza; acumula. Quem lê “diferença” e subtrai as variâncias erra o item.

A base de evidência, com honestidade. O corpus tem 1 item neste tópico, e ele está explicado: a variância da média amostral, com o fator de correção para população finita. Um item não mede nada — não há frequência, não há distorção típica, não há estilo de banca a inferir. E ele não pede E(aX + b) nem Var(aX + b): o título do tópico anuncia a fórmula da transformação linear, e o único item medido cobra variância de estimador. Trate E(aX + b) como ferramenta a ter, ainda não medida neste corpus, e não como o alvo.

Como funciona

Esperança. E(X) é a média ponderada pelos pesos de probabilidade. É linear sem condições: E(X + Y) = E(X) + E(Y) vale sempre, dependentes ou não. Essa é a propriedade mais generosa da estatística básica, e é por isso que ela raramente vira pegadinha.

Variância. Var(X) = E[(X − E(X))²], e na prática Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Não é linear. Para combinações:

• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)
• Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X, Y)

Com independência, a covariância é zero e as duas viram a mesma soma. Note a direção da exigência: independência é hipótese suficiente para cancelar a covariância, não consequência dela.

Desvio padrão. Raiz da variância, de volta à unidade original. Não é aditivo: com desvios 3 e 4 e independência, somam-se as variâncias (9 + 16 = 25) e só então se extrai a raiz (5). Somar 3 + 4 = 7 é o erro clássico; o resultado correto é a hipotenusa, não o perímetro.

Variância da média amostral. Este é o caso que o item explicado cobra. Numa amostra de tamanho n, com variância populacional σ²:

• com reposição (ou população infinita): Var(X̄) = σ²/n;
• sem reposição, em população finita de tamanho N, entra o fator de correção para população finita: Var(X̄) = (σ²/n) × (N − n)/(N − 1).

O fator é sempre menor que 1: tirar sem reposição de uma população finita dá mais informação por unidade sorteada, logo o estimador é mais preciso. Com σ = 2, n = 100 e N = 1.000: σ²/n = 4/100 = 0,04, e o fator vale 900/999 ≈ 0,9009, resultando em Var(X̄) ≈ 0,036. É por isso que “inferior a 0,04” é Certo — e é por isso que quem esquece a correção pára em exatamente 0,04 e marca Errado.

O que decide os itens

O que a constante faz com cada medida:

operação	esperança	variância	desvio padrão
X + b	E(X) + b	não muda	não muda
aX	aE(X)	a²Var(X)	dp(X) multiplicado pelo módulo de a
aX + b	aE(X) + b	a²Var(X)	dp(X) multiplicado pelo módulo de a

Combinações de duas variáveis:

	geral	sob independência
E(X + Y)	E(X) + E(Y)	igual — vale sempre
Var(X + Y)	Var(X) + Var(Y) + 2Cov	Var(X) + Var(Y)
Var(X − Y)	Var(X) + Var(Y) − 2Cov	Var(X) + Var(Y) — também soma
dp(X ± Y)	—	√(Var X + Var Y), nunca dp(X) ± dp(Y)

Estimador da média:

situação	variância de X̄
com reposição / população infinita	σ²/n
sem reposição, população finita	(σ²/n) × (N − n)/(N − 1)
efeito do fator	reduz a variância; nunca aumenta
n = N (censo)	fator vale 0 — variância nula, não há erro amostral

Números que caem

quantidade	valor
dp = 3 e dp = 4, independentes → dp da soma ou da diferença	5
σ = 2, n = 100 → σ²/n	0,04
fator de correção com N = 1.000, n = 100	900/999 ≈ 0,90
Var(X̄) no mesmo caso	≈ 0,036
Var(X + b) para qualquer constante b	igual a Var(X)
Var(aX)	a²Var(X)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

O tópico tem 1 item, e ele está explicado. Um item não é frequência: o que segue é o que esse item faz e, depois, o que o assunto notoriamente cobra e este corpus não mediu.

O número que sai da conta sem a correção. O item explicado afirma que a variância do estimador é inferior a 0,04 — e 0,04 é precisamente o valor que se obtém parando em σ²/n. O enunciado tinha dito “sem reposição” e tinha dado o tamanho da população; os dois dados só existem para acionar o fator de correção. A defesa é mecânica: se o enunciado informa N, o N tem função.

Desvio padrão tratado como se fosse aditivo — não medido. Nenhum item deste tópico cobra soma ou diferença de variâncias; a armadilha entra aqui por ser a mais conhecida do assunto. Sempre que aparecerem dois desvios padrão e uma soma ou diferença, converta para variância, some, e só depois volte para o desvio: 3 e 4 dão 5, nunca 7.

“Diferença” sugerindo subtração — também não medido. É a armadilha semântica do assunto: Var(U − V) soma. Se o item apresentar um valor menor que as duas variâncias isoladas, desconfie — só covariância positiva forte produz isso, e o enunciado teria de fornecê-la.

Erros clássicos

Somar desvios padrão. 3 e 4 não dão 7. Dão 5, pela soma das variâncias.

Subtrair variâncias numa diferença. Sob independência, Var(U − V) é a mesma coisa que Var(U + V).

Achar que b mexe na variância. Var(X + 500) = Var(X). Deslocamento não é espalhamento.

Esquecer o quadrado no a. Dobrar a variável quadruplica a variância; o desvio padrão é que dobra.

Ignorar o fator de população finita quando o enunciado diz “sem reposição”. Esse é o único item deste tópico que o corpus traz.

Exigir independência onde ela não é necessária. E(X + Y) = E(X) + E(Y) vale sempre; quem precisa de independência é a variância.