Independência × eventos mutuamente excludentes

A ideia que organiza o assunto

Os dois nomes se parecem e descrevem coisas contrárias.

Independência é uma afirmação sobre o produto. A e B são independentes quando P(A ∩ B) = P(A) · P(B) — equivalentemente, quando saber que B ocorreu não altera a chance de A: P(A dado B) = P(A). É uma igualdade numérica, e só se verifica calculando.

Excludência é uma afirmação sobre o conjunto. A e B são mutuamente excludentes quando não podem ocorrer juntos: A ∩ B = ∅, logo P(A ∩ B) = 0. É uma afirmação sobre o desenho do espaço amostral, e não depende de valor nenhum.

Daí sai a única coisa que você precisa levar deste tópico: dois eventos de probabilidade positiva não podem ser as duas coisas ao mesmo tempo. Se são excludentes, P(A ∩ B) = 0 enquanto P(A) · P(B) > 0, e a igualdade da independência falha. Pior: excludência é a forma mais forte de dependência que existe — saber que um ocorreu não apenas altera a chance do outro, zera a chance do outro.

Este tópico é fino no corpus e é honesto dizê-lo. Ele guarda 2 itens, os dois explicados, um Certo e um Errado — e dois itens não medem nada. A mecânica de probabilidade está medida na nota de Probabilidade: união, complementar, condicional, regra do produto, com 52 itens explicados. Estude aquela; volte aqui para o eixo excludente × independente.

Como funciona

O teste da independência é um só. Calcule P(A ∩ B) e compare com P(A) · P(B). Se são iguais, independentes; se não, dependentes. As outras formas são a mesma coisa reescrita: P(A dado B) = P(A), ou P(B dado A) = P(B).

Independência não se presume por enredo. Dois eventos podem parecer desconexos e não ser independentes, e podem parecer ligados e ser independentes. Quando o enunciado declara que são independentes — “duas variáveis contínuas e mutuamente independentes” —, isso é um dado a usar, e a interseção vira produto. Quando o enunciado não declara, é preciso verificar.

Independência mútua exige mais do que independência dois a dois. Três eventos são mutuamente independentes quando o produto vale para cada par e para a tripla. Uma afirmação de independência mútua é, portanto, mais forte do que parece e mais fácil de derrubar.

Excludência é frequentemente dita em português, não em símbolos. Uma regra do tipo se X, então não Y é a forma verbal de dizer que X e Y são mutuamente excludentes. Condicionado a X, o evento Y passa a ser impossível — e impossível significa probabilidade zero, não apenas improvável.

Um evento e o seu complementar são o caso-limite. A e Ā nunca ocorrem juntos: são excludentes por construção, e por isso jamais independentes (salvo o caso degenerado em que um deles tem probabilidade zero).

O que cada propriedade faz com as fórmulas:

	excludentes	independentes
interseção	P(A ∩ B) = 0	P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
união	P(A) + P(B)	P(A) + P(B) − P(A)·P(B)
condicional	P(A dado B) = 0	P(A dado B) = P(A)
podem valer juntas?	só se P(A) = 0 ou P(B) = 0

O que decide os itens

A afirmação nua. O item Errado do tópico é exatamente a frase “A e Ā são eventos independentes”, sem conta pedida — o item afirma a propriedade e você julga. Um caso não vira regra, mas basta para saber o que fazer: uma afirmação nua de independência é um convite a montar P(A ∩ B) × P(A) · P(B) e comparar.

Os dois erros de tradução. Quando o item afirma independência, verifique primeiro se os eventos não são, na verdade, excludentes (produto ≠ 0 contra interseção = 0). Quando o item afirma excludência, verifique se o enunciado não disse apenas que os eventos são distintos — eventos distintos frequentemente se sobrepõem.

Complementar é o atalho. A e Ā, sinistro com culpa × sem culpa × ausência de sinistro, aprovado × reprovado: partições. Toda partição é formada por eventos mutuamente excludentes, e portanto dependentes entre si.

Impossível ≠ improvável. Evento impossível tem probabilidade exatamente zero. Se o enunciado fecha a porta por regra — “quem estuda com afinco não cola” —, a interseção é vazia e a condicional é 0, não um número pequeno.

Independência declarada é dado, não conclusão. Se o enunciado diz que os eventos são independentes, use o produto sem hesitar. O erro simétrico é supor independência que ninguém declarou, só porque os eventos vêm de fenômenos diferentes.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

A base é de 2 itens, os dois explicados — um Certo e um Errado. Com dois não há frequência, não há distorção dominante e não há como dizer o que a banca “costuma” fazer aqui. O primeiro parágrafo descreve o que esses dois itens fazem; o que vem depois é conhecimento do assunto e vem marcado como não medido.

O que os dois itens mostram. Um afirma, em quatro palavras, que A e Ā são eventos independentes: é Errado, porque a interseção de um evento com o seu complementar é vazia e a independência exigiria 0,2 × 0,8 = 0,16. O outro descreve, sem usar a palavra, uma excludência criada por regra do enunciado — “quem estuda com afinco não cola” — e conclui que colar é, ali, evento impossível: Certo. Os dois itens cobram o mesmo eixo pelos dois lados. O primeiro chama de independente o que é excludente; o segundo pede que você reconheça a excludência escondida numa frase em português.

Espere a troca de rótulo, não o erro de conta — não medido, mas sustentado pelo tópico vizinho. Lá, 93% dos itens errados são um número trocado, sobre 29 itens errados. Aqui a forma dos dois itens é outra: a frase afirma uma propriedade, e o que se julga é o nome. Com dois casos isso é hipótese, não regra — mas é a hipótese que vale testar. As trocas candidatas, nenhuma delas medida: independente por excludente, excludente por “distintos”, impossível por “improvável”, independência mútua deduzida de independência dois a dois.

Também não confie na palavra mutuamente — não medido neste tópico. Ela aparece no corpus em itens que não são de probabilidade — virtudes aristotélicas “mutuamente excludentes”, rateio “mutuamente” repartido —, classificados em outros assuntos. Se o item não estiver falando de eventos num espaço de probabilidade, este tópico não é o que decide.

Erros clássicos

Tratar excludente e independente como sinônimos. É o erro que dá nome ao tópico. São opostos: excludência é dependência máxima.

Achar que A e Ā são independentes. Nunca são, quando ambos têm probabilidade positiva. São a partição mais simples que existe.

Somar probabilidades de eventos que se sobrepõem. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) só vale se a interseção for vazia. Fora daí, falta subtrair P(A ∩ B).

Multiplicar probabilidades sem independência. P(A ∩ B) = P(A) · P(B) é a definição de independência, não uma regra geral. A regra geral é P(A ∩ B) = P(B) · P(A dado B).

Deduzir independência mútua da independência aos pares. Não decorre: a condição da tripla é uma exigência à parte.

Ler “impossível” como “muito improvável”. Probabilidade zero é um valor, não uma força de expressão.