Separatrizes: quartis, decis, percentis (Q2 = D5 = P50)

A ideia que organiza o assunto

A mediana divide a série ordenada em duas partes iguais. As separatrizes são a generalização dessa ideia: cortes que dividem a série ordenada em partes com o mesmo número de observações.

Quartis cortam em 4 partes: Q1, Q2, Q3.
Decis cortam em 10 partes: D1 a D9.
Percentis cortam em 100 partes: P1 a P99.

Como são cortes na mesma fila, os que ocupam o mesmo ponto são o mesmo número: Q2 = D5 = P50 = mediana. E, pela mesma razão, Q1 = P25 e Q3 = P75.

O que decide os itens é uma consequência disso que parece trivial e não é: separatriz é posição, não valor. Ela responde “abaixo de que ponto está um quarto (ou um décimo, ou um centésimo) das observações”, e não “qual é o ponto médio da escala”. Duas coisas seguem daí e as duas foram cobradas:

separatrizes podem coincidir — se mais da metade das observações repete o mesmo número, Q1, Q2 e Q3 podem valer todos a mesma coisa, e a amplitude interquartil fica zero;
o desenho de um box-plot mostra separatrizes, não extremos: a ponta do bigode não é o valor máximo quando existe ponto discrepante marcado.

Este é um tópico com base de evidência muito pequena — três itens, dois explicáveis. O que está afirmado abaixo sobre a prova vale para esses dois e não deve ser lido como padrão do tópico.

Como funciona

Ordene primeiro. Como na mediana, a tabela do caderno vem na ordem do processo, da região ou do mês, nunca na ordem de grandeza. Toda separatriz pressupõe a fila montada.

Posição do corte. A convenção mais usada localiza a separatriz de ordem k entre n + 1 posições:

Q1 na posição (n + 1) / 4;
Q2 na posição (n + 1) / 2 — a mediana;
Q3 na posição 3(n + 1) / 4;
Pk na posição k(n + 1) / 100.

Quando a posição cai entre duas observações, interpola-se entre elas. Existem outras convenções, que deslocam o corte em meia posição; no único item de quartil do corpus a concentração de valores é tal que qualquer convenção entrega o mesmo número, e é assim que a banca costuma montar o item — mas confira a vizinhança do corte antes de confiar nisso.

Em dados agrupados, o raciocínio é o mesmo da classe mediana: acumule frequências até ultrapassar a fração desejada de n. A classe em que isso acontece é a classe da separatriz.

Amplitude interquartil. AIQ = Q3 − Q1. Mede a dispersão da metade central e por isso é resistente a valores extremos. Nunca supera a amplitude total, e pode ser zero sem que os dados sejam todos iguais. O uso dela como medida de dispersão está na nota de Dispersão absoluta.

Anatomia do box-plot — é aqui que mora o item que cai:

elemento	o que é
limites da caixa	Q1 e Q3
traço dentro da caixa	mediana (Q2), não a média
comprimento da caixa	amplitude interquartil
bigodes	vão até a última observação dentro de 1,5 × AIQ além da caixa
pontos isolados (asterisco, círculo)	observações discrepantes, fora daquele limite
mínimo e máximo observados	os pontos isolados, quando existem; as pontas dos bigodes, quando não

A pergunta que o box-plot não responde. Ele não mostra média, não mostra desvio padrão e não mostra frequências. Mostra cinco posições e os pontos que escapam delas. Qualquer item que peça um desses três a partir do desenho está pedindo uma estimativa ou uma cota, não uma leitura.

O que decide os itens

distinção	o que decide
Ponta do bigode × máximo observado	Com ponto discrepante marcado acima do bigode, o máximo é o ponto. O bigode marca o último valor dentro de 1,5 × AIQ.
Separatriz × valor distinto	Q1, Q2 e Q3 podem ser iguais. Uma pilha dominante no centro faz os três caírem no mesmo valor e zera a AIQ.
Posição × magnitude	A separatriz responde quantas observações ficam abaixo dela, não onde está o meio da escala.
Q2 = D5 = P50	Cortes no mesmo ponto da fila são o mesmo número. Também Q1 = P25 e Q3 = P75.
Mediana × média no box-plot	O traço na caixa é a mediana. A média não aparece no desenho.
AIQ × amplitude total	A AIQ usa só valores internos e nunca supera a amplitude total.

Números que caem

quantidade	valor
Posição de Q1	(n + 1) / 4
Posição de Q2 (mediana)	(n + 1) / 2
Posição de Q3	3(n + 1) / 4
Posição de Pk	k(n + 1) / 100
Equivalências	Q1 = P25; Q2 = D5 = P50; Q3 = P75
Amplitude interquartil	Q3 − Q1
Limite dos bigodes do box-plot	1,5 × AIQ além de cada quartil
Observações abaixo de Q1	25%
Observações entre Q1 e Q3	50%

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 2 itens explicados dos 3 do tópico — o terceiro teve a notação das variáveis destruída na digitalização e não pôde ser explicado. São dois itens, um Certo e um Errado. Isso não permite frequência, tendência nem “padrão do tópico”: permite descrever dois itens, e é o que se faz abaixo.

Os dois vêm de gráfico, e os dois se decidem pela mesma frase — separatriz é posição. Nenhum dos dois pede cálculo de quartil por fórmula; nenhum menciona decil ou percentil; nenhum cobra a identidade Q2 = D5 = P50, que o título do tópico anuncia. O que o corpus cobra é leitura de desenho.

A ponta do bigode oferecida como máximo — o item Errado. O span é a produtividade máxima no grupo B é inferior a 100. No box-plot, o bigode superior do grupo B termina perto de 92, e o item estaria certo se o bigode fosse o máximo. Mas há um ponto discrepante marcado acima dele, em torno de 107, e esse ponto é uma observação do grupo como qualquer outra. Defesa: antes de ler mínimo ou máximo num box-plot, procure asteriscos e círculos isolados. Se existirem, são eles os extremos. A mesma leitura vale para a amplitude, e portanto para qualquer cota de desvio padrão tirada do desenho.

Quartis que coincidem, oferecidos como afirmação — o item Certo. O item afirma que, numa amostra de 16 observações, o primeiro quartil é igual ao terceiro. É verdade: com 11 das 16 observações valendo 2, as posições de 4 a 14 da fila ordenada estão todas ocupadas por esse valor, e tanto Q1 quanto Q3 caem dentro do bloco. Item que afirma coincidência de separatrizes costuma ser certo quando o gráfico mostra uma pilha dominante — e a reação instintiva de recusar, porque “quartis diferentes têm que dar números diferentes”, é exatamente o que a banca compra.

Erros clássicos

Ler a ponta do bigode como mínimo ou máximo. Com pontos discrepantes marcados, o extremo observado é o ponto.

Achar que Q1, Q2 e Q3 são obrigatoriamente distintos. Podem coincidir, e coincidem sempre que um único valor ocupa mais da metade da fila.

Confundir o traço da caixa com a média. É a mediana.

Calcular a separatriz sem ordenar. A posição só existe na fila ordenada.

Tratar o quartil como um quarto da escala. Ele é um quarto das observações. Numa distribuição assimétrica, Q1 pode estar muito perto do mínimo em valor e ainda assim deixar 25% dos dados abaixo.

Esquecer que Q2, D5 e P50 são o mesmo número. Item que os apresenta como medidas diferentes está apostando nessa confusão.

Supor que AIQ zero significa dados constantes. Significa metade central constante; os extremos podem estar longe.