População × amostra; parâmetro × estatística; censo × amostragem

A ideia que organiza o assunto

Toda a estatística inferencial vive de uma separação em dois planos, e quase todo vocabulário do assunto é apenas o nome do mesmo objeto em cada plano.

plano	o conjunto	a medida	o símbolo típico	varia?
população	todos os elementos de interesse	parâmetro	μ, σ, p, N	não — é fixo, embora desconhecido
amostra	o subconjunto observado	estatística ou estimador	x̄, s, p̂, n	sim — muda a cada amostra sorteada

O ponto que decide itens não é decorar a tabela: é entender que o parâmetro é uma constante desconhecida e a estatística é uma variável aleatória. μ não tem distribuição de probabilidade; x̄ tem. É por isso que faz sentido falar em variância do estimador, em erro amostral e em intervalo de confiança — todos são afirmações sobre o que varia, nunca sobre o que é fixo.

Censo × amostragem é a mesma separação vista pelo lado da coleta. No censo, observa-se a população inteira: o que se calcula é parâmetro, e não há erro amostral. Na amostragem, observa-se parte: o que se calcula é estatística, e o erro amostral existe por construção. Daí um resultado elegante — quando n = N, o fator de correção para população finita, (N − n)/(N − 1), zera, e a variância do estimador vai a zero. O censo é o caso-limite da amostragem, não o seu oposto.

A base de evidência, com honestidade, porque aqui ela é mínima. Este tópico tem 2 itens no corpus, e os dois vêm do mesmo enunciado — uma população de 20 elementos distribuídos em seis conglomerados, da prova da CGE/RJ. Um é Certo e um é Errado. Nenhum dos dois trata de parâmetro contra estatística, de censo contra amostragem, ou de população contra amostra em definição, apesar de o título do tópico anunciar exatamente essas três oposições. Os dois cobram probabilidade de seleção em amostragem por conglomerados. Duas questões não medem nada: a seção das pegadinhas abaixo diz o que esses dois itens fazem, e nada além disso. O vocabulário das três oposições está acima porque o candidato precisa dele, não porque o corpus o tenha testado.

Como funciona

A população é definida, não encontrada. Ela é o conjunto que o estudo declara como universo de interesse — os 1.000 indivíduos cujas idades se quer conhecer, as 100 indenizações pagas no ano. Mudar a definição muda o parâmetro. Por isso “população” em estatística não é sinônimo de gente: é o conjunto de unidades de observação, sejam elas pessoas, apólices, quarteirões ou lotes de peças.

A amostra é um recorte com regra. O que a torna útil não é ser parecida com a população por inspeção, mas ter sido obtida por um mecanismo cuja probabilidade se conhece. É essa probabilidade que transporta a conclusão da amostra de volta para a população.

A unidade de observação e a unidade de sorteio podem ser diferentes. É aqui que os dois itens do corpus moram, e é a distinção mais rentável deste tópico. Em amostragem por conglomerados, a unidade de observação continua sendo o elemento — quer-se a idade de cada indivíduo —, mas a unidade sorteada é o conglomerado inteiro. Consequências imediatas, todas cobradas:

• o tamanho da amostra declarado no enunciado conta conglomerados, não elementos. “Amostragem por conglomerados de tamanho 2” significa dois conglomerados sorteados;
• o número de elementos observados não é fixo quando os conglomerados têm tamanhos diferentes. Com os conglomerados I a VI de 4, 4, 4, 3, 2 e 3 elementos, sortear dois deles pode produzir amostras de 5 a 8 elementos;
• um subconjunto que misture elementos de conglomerados diferentes sem levar os conglomerados completos não é uma amostra possível deste plano. {13, 17} junta um elemento do conglomerado IV a um do V e deixa de fora os companheiros de ambos — não é resultado que o sorteio possa produzir;
• saber que um elemento está na amostra determina a presença de todos os seus companheiros de conglomerado. Se o elemento 12 está na amostra, o conglomerado III foi sorteado, e os elementos 9, 10 e 11 estão na amostra com probabilidade 1. Não “provavelmente”: exatamente 1.

Probabilidade de inclusão de um elemento. É a probabilidade de o seu conglomerado ser sorteado. Com 6 conglomerados e 2 sorteados sem reposição, cada conglomerado entra em C(5,1)/C(6,2) = 5/15 = 1/3 das amostras possíveis. Note que a probabilidade é a mesma para todo elemento, apesar de os conglomerados terem tamanhos diferentes — o que não é verdade em todo plano por conglomerados, mas é verdade quando se sorteiam conglomerados com igual probabilidade.

O que decide os itens

Os três pares de vocabulário:

população	amostra
parâmetro	estatística / estimador
μ, σ, σ², p, N	x̄, s, s², p̂, n
valor fixo e desconhecido	variável aleatória, muda a cada sorteio
obtido por censo	obtido por amostragem
sem erro amostral	com erro amostral

Unidade de sorteio × unidade de observação, por plano:

plano	o que se sorteia	tamanho da amostra conta	nº de elementos observados
AAS	o elemento	elementos	fixo, igual a n
estratificada	elementos dentro de cada estrato	elementos por estrato	fixo
conglomerados	o conglomerado inteiro	conglomerados	variável, se os grupos diferem de tamanho

Probabilidades no plano por conglomerados do corpus — 20 elementos, 6 conglomerados (4, 4, 4, 3, 2, 3), 2 conglomerados sorteados:

evento	probabilidade
um conglomerado específico ser sorteado	1/3
um elemento qualquer entrar na amostra	1/3
dois elementos do mesmo conglomerado entrarem juntos	1/3 — e não 1/9
um elemento entrar, dado que outro do mesmo conglomerado entrou	1
amostra ser {13, 17}	0 — não é uma amostra possível

Números que caem

quantidade	valor
população do enunciado da CGE/RJ	20 elementos em 6 conglomerados
composição dos conglomerados	I: 1–4; II: 5–8; III: 9–12; IV: 13–15; V: 16–17; VI: 18–20
amostras possíveis de 2 conglomerados entre 6	C(6,2) = 15
probabilidade de inclusão de um elemento	5/15 = 1/3
menor e maior número de elementos numa amostra	5 e 8
fator de correção quando n = N (censo)	0

Como a CEBRASPE derruba você aqui

São dois itens, os dois explicados, e os dois do mesmo enunciado. Não há frequência a relatar, não há distorção dominante, não há como dizer o que a banca prefere aqui — há dois movimentos a reconhecer e, no fim, as oposições do título que o corpus não mediu.

Trocar a unidade amostral. O item Errado afirma que a amostra “deve ser constituída exatamente por dois elementos, por exemplo, {13, 17}”. O número 2 veio do enunciado, e está certo; o substantivo que o acompanha é que foi trocado. Dois conglomerados, não dois elementos. O exemplo oferecido é o reforço da armadilha: {13, 17} parece uma amostra razoável e é impossível neste plano. Defesa: antes de contar, releia o enunciado e responda o que exatamente foi sorteado.

Usar a dependência a favor, e não contra. O item Certo é o espelho do anterior: sabendo que o elemento 12 entrou, a probabilidade de o elemento 9 entrar é igual a 1. Muito candidato marca Errado porque “probabilidade 1” soa absoluto demais para uma questão de amostragem. Não é: dentro do conglomerado a dependência é total, e probabilidade condicional 1 é o resultado correto. A mesma estrutura que torna Errado o item anterior torna Certo este.

A regra que os dois itens compartilham. Em conglomerados, o conglomerado é indivisível. Ele entra inteiro ou não entra. Todo item deste enunciado se resolve lendo a tabela, localizando o conglomerado do elemento citado, e perguntando se o item respeita a indivisibilidade.

As três oposições do título, e nenhuma delas medida. O tópico se chama população × amostra; parâmetro × estatística; censo × amostragem, e os dois itens do corpus não tocam em nenhuma das três. Ficam registradas aqui por serem as armadilhas conhecidas do assunto, e não por terem aparecido. Chamar x̄ de parâmetro, ou μ de estatística: o parâmetro é da população e é constante, a estatística é da amostra e é variável aleatória. Dizer que o censo não tem erro: ele não tem erro amostral, o que não é a mesma coisa — cobertura, resposta e registro continuam falhando. Tratar censo e amostragem como opostos: o censo é o caso-limite da amostragem, aquele em que n = N e o fator (N − n)/(N − 1) zera. Estude-as como conteúdo; nenhuma é padrão da banca neste corpus, porque padrão da banca aqui não existe.

Erros clássicos

Chamar x̄ de parâmetro. Parâmetro é da população e é fixo. Média amostral é estatística e varia — e é justamente por variar que tem variância e erro padrão.

Achar que o censo é isento de erro. Não há erro amostral num censo, o que é diferente de não haver erro: cobertura, resposta e registro continuam podendo falhar.

Contar elementos onde o plano conta conglomerados. O erro do item Errado do corpus, e o mais rentável deste tópico.

Montar amostras que o plano não produz. Misturar elementos de conglomerados distintos sem levar os conglomerados inteiros é construir um conjunto de probabilidade zero.

Recusar probabilidade 1 por parecer categórica demais. Quando a dependência é estrutural, o condicional vale 1, e essa é a resposta.

Tratar “população” como sinônimo de pessoas. É o conjunto de unidades de observação, definido pelo estudo.