Curvas de indiferença: propriedades; taxa marginal de substituição

Este tópico acaba de ganhar seus primeiros itens explicados no acervo — ao menos quatro até aqui. A nota foi escrita antes deles, a partir do edital e da bibliografia; o que está medido abaixo vem dessa base pequena e vale como indício, não como frequência.

A ideia que organiza o assunto

A restrição orçamentária diz o que o consumidor pode comprar; ela não sabe nada sobre gosto. As curvas de indiferença são a outra metade: dizem o que ele quer. Uma curva de indiferença reúne todas as cestas entre as quais o consumidor é indiferente — todas lhe dão o mesmo nível de satisfação, de modo que trocar uma pela outra não o melhora nem o piora. O mapa de indiferença é a coleção dessas curvas, e é a representação gráfica completa das preferências.

O ponto que organiza o tópico é que a inclinação da curva também é uma taxa de troca — só que subjetiva. O módulo dela é a taxa marginal de substituição (TMS, também grafada TMgS): quanto do bem 2 o consumidor está disposto a abrir mão para obter uma unidade a mais do bem 1, permanecendo igualmente satisfeito. Ponha as duas notas lado a lado e o assunto fecha:

	inclinação	quem determina	mede
reta orçamentária	−p1/p2	o mercado	o que a troca custa
curva de indiferença	−TMS	o consumidor	o que ele aceita trocar

Enquanto as duas taxas forem diferentes, há troca vantajosa a fazer; quando se igualam, não há mais — e daí sai a condição de ótimo, TMS = p1/p2, que é o assunto do tópico seguinte. Guardar essa arquitetura é mais útil do que decorar propriedade por propriedade, porque dela as propriedades se deduzem.

Uma advertência de vocabulário que decide item: aqui a utilidade é ordinal. As curvas ordenam cestas — esta é melhor que aquela —, não medem satisfação em unidades comparáveis. O número atribuído a uma curva serve só para dizer qual está acima de qual.

Como funciona

As quatro propriedades das preferências bem-comportadas. Cada uma vem de um axioma e cada uma é o motivo de um item:

São negativamente inclinadas. Tirar do bem 2 só deixa o consumidor indiferente se ele receber mais do bem 1. Isso pressupõe que ambos sejam bens — se um deles for um mal (poluição, risco, trabalho), a curva sobe.
Curvas mais afastadas da origem representam maior satisfação. É a monotonicidade — “mais é melhor” —, e é o que dá direção ao mapa. Não fosse ela, não haveria sentido em falar em maximizar.
Curvas de indiferença não se cruzam. A demonstração é a da transitividade: se duas curvas se cruzassem, a cesta do cruzamento seria indiferente a uma cesta de cada curva, o que tornaria essas duas indiferentes entre si — e uma delas tem estritamente mais dos dois bens. Contradição.
São convexas em relação à origem. O consumidor prefere combinações equilibradas a extremos: a média de duas cestas indiferentes é pelo menos tão boa quanto qualquer delas. Geometricamente, a curva se curva “para fora” da origem, e o conjunto das cestas fracamente preferidas é convexo.

A quarta propriedade é a que tem conteúdo econômico próprio: convexidade equivale a TMS decrescente. Quanto mais o consumidor já tem do bem 1, menos do bem 2 ele aceita sacrificar por mais uma unidade dele. Daí a curva ser íngreme à esquerda e achatada à direita.

Há ainda uma propriedade silenciosa, da completude: por cada cesta do plano passa uma — e apenas uma — curva de indiferença. O mapa cobre todo o quadrante.

A TMS e a utilidade marginal. Ao longo de uma curva, a satisfação não muda: o ganho de utilidade com Δx1 anula a perda com Δx2. Disso resulta que a TMS é a razão entre as utilidades marginais, TMS = UMg1/UMg2, e é também o módulo da inclinação da curva naquele ponto. É por isso que a mesma ideia aparece com dois nomes em cadernos diferentes.

E aqui mora uma distinção fina que a banca explora: utilidade marginal decrescente não é a mesma coisa que TMS decrescente. A primeira é cardinal e fala de um bem isoladamente — cada unidade adicional acrescenta menos que a anterior. A segunda é ordinal e fala da razão entre dois bens ao longo de uma curva. A convexidade das curvas corresponde à segunda.

Os casos particulares, que aparecem justamente porque violam alguma propriedade:

Substitutos perfeitos — curvas são retas de inclinação constante. A TMS não decresce: é fixa, igual à razão de troca entre os bens. Duas notas de dez por uma de vinte dão TMS = 2; bens trocados um a um dão TMS = 1. A função de utilidade é da forma u = ax1 + bx2.
Complementares perfeitos — curvas em L, consumidos em proporção fixa (sapato esquerdo e direito). A TMS é zero no trecho horizontal e infinita no vertical, e indefinida no vértice. Utilidade do tipo u = min{ax1, bx2}. Acrescentar unidades de um só bem não aumenta a satisfação.
Males — curvas positivamente inclinadas: para aceitar mais do mal, o consumidor exige mais do bem.
Bem neutro — curvas verticais (ou horizontais): a quantidade do bem neutro é irrelevante, e a satisfação só depende do outro.
Saciedade — existe uma cesta ideal (ponto de bliss) e as curvas se fecham em torno dela; passado o ponto, mais deixa de ser melhor.
Cobb-Douglas — o caso bem-comportado padrão, u = x1^a · x2^b, com curvas estritamente convexas que se aproximam dos eixos sem tocá-los. Sua TMS é (a·x2)/(b·x1).

Transformação monotônica. Como a utilidade é ordinal, qualquer transformação que preserve a ordem — somar uma constante, elevar ao quadrado um índice positivo, tomar o logaritmo — representa exatamente as mesmas preferências e gera o mesmo mapa de indiferença. Muda o rótulo das curvas, não o desenho.

O que decide os itens

As quatro propriedades, o axioma que as sustenta e o que as quebra:

propriedade	vem de	quebrada por
inclinação negativa	ambos serem bens	um mal (curva sobe) ou um bem neutro (curva vertical)
mais afastada = melhor	monotonicidade	saciedade, além do ponto de bliss
não se cruzam	transitividade	nada — é propriedade lógica, sem exceção
convexidade = TMS decrescente	preferência por variedade	substitutos perfeitos (TMS constante) e preferências côncavas

Os casos particulares, de bater o olho:

preferências	curvas	TMS	utilidade
bem-comportadas	convexas à origem	decrescente	Cobb-Douglas, entre outras
substitutos perfeitos	retas inclinadas	constante	u = ax1 + bx2
complementares perfeitos	em L	0, infinita, indefinida no vértice	u = min{ax1, bx2}
um dos bens é um mal	positivamente inclinadas	negativa	—
um dos bens é neutro	verticais ou horizontais	0 ou infinita	—

TMS × utilidade marginal decrescente — a TMS é uma razão entre utilidades marginais e é conceito ordinal; a utilidade marginal decrescente fala de um bem e é cardinal. Item que trate as duas como sinônimas está errado.

Curva de indiferença × reta orçamentária — a curva é subjetiva, vem das preferências e existe para cada nível de satisfação; a reta é objetiva, vem de p1, p2 e m, e é uma só. Em nenhuma hipótese uma curva de indiferença depende de preços ou de renda: mudanças de preço e de renda movem a reta, e o mapa de indiferença fica exatamente onde estava.

Ordinal × cardinal — a ordem das curvas é informação; a distância numérica entre os índices não é. Duas funções ligadas por transformação monotônica são a mesma preferência.

Números que caem


TMS (módulo da inclinação da curva)	UMg1/UMg2
sinal da inclinação de uma curva de indiferença	negativo (bens)
comportamento da TMS ao andar para a direita	decrescente (convexidade)
TMS de substitutos perfeitos	constante (1 na troca um a um)
TMS de complementares perfeitos	0, infinita ou indefinida no vértice
utilidade de substitutos perfeitos	u = ax1 + bx2
utilidade de complementares perfeitos	u = min{ax1, bx2}
TMS de uma Cobb-Douglas u = x1^a·x2^b	(a·x2)/(b·x1)
curvas de indiferença que passam por uma cesta	exatamente 1
curvas de indiferença que se cruzam	nenhuma
inclinação da reta orçamentária, para comparar	−p1/p2
condição de ótimo	TMS = p1/p2 (tópico seguinte)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O que o primeiro item mostra. Um item só, que é anedota e não medição, e ele é Certo: a utilidade marginal de um bem diminui à medida que aumenta a quantidade consumida dele, mantido tudo o mais constante. Vale menos pelo gabarito do que pelo endereço. A banca chegou à propriedade central do tópico pela utilidade marginal, e não pela geometria da curva, de modo que o candidato precisa ter os dois caminhos ligados: utilidade marginal decrescente e taxa marginal de substituição decrescente são o mesmo fato dito de dois ângulos, e a convexidade é a tradução gráfica dos dois.

Mais três itens, e uma manobra que esta seção não previa. Dois deles giram em torno do cruzamento: “duas curvas de indiferença bem comportadas não se cruzam” é Certo, e “no equilíbrio do consumidor, as curvas de indiferença se cruzam” é Errado. A previsão de que o cruzamento seria o ponto de ataque está confirmada, e o par mostra como ela se realiza — não inventando exceção, mas pondo o cruzamento no lugar da tangência, que é a palavra correta para o equilíbrio. Guarde o par: cruzar é sempre impossível, tangenciar é sempre o equilíbrio.

O terceiro item abre um eixo que a nota não listava: “se duas cestas estão na mesma curva de indiferença, a que apresentar menor consumo do bem mais caro será associada a um menor nível de utilidade” — Errado. Estar na mesma curva é ter a mesma utilidade, e o preço não entra na construção da curva de indiferença; ele mora na restrição orçamentária. Acrescente à lista de defesas: item que use preço para ordenar utilidade dentro de uma mesma curva misturou os dois planos e já está errado.

Inverter o sentido da TMS. A definição tem uma direção: é quanto do bem 2 se abre mão por uma unidade a mais do bem 1. Item que descreva a troca no sentido contrário, ou que troque numerador por denominador na razão de utilidades marginais, está errado. Defesa: fixe o bem do eixo horizontal como o que se ganha, e o do vertical como o que se paga.

Trocar decrescente por crescente — ou por constante. “A convexidade das curvas de indiferença decorre de a taxa marginal de substituição ser crescente” é a versão mais direta. Defesa: convexidade e TMS decrescente são a mesma afirmação em linguagens diferentes; constante só em substitutos perfeitos.

Confundir as duas inclinações. Atribuir à curva de indiferença a inclinação −p1/p2, ou dizer que a curva “se desloca quando o preço do bem aumenta”. Não se desloca: preferências não respondem a preços. Quem se move é a reta orçamentária.

Absolutizar o que tem exceção — e relativizar o que não tem. Duas manobras opostas no mesmo assunto. De um lado, “as curvas de indiferença são sempre convexas” ou “sempre negativamente inclinadas”, que ignoram substitutos perfeitos, complementares, males e bens neutros. De outro, “curvas de indiferença podem cruzar-se em casos de preferências não convexas”, que inventa exceção onde não há: o não cruzamento é consequência lógica da transitividade e vale em todos os casos.

Tratar utilidade como cardinal. “O consumidor obtém o dobro de satisfação na curva U = 20 em relação à curva U = 10”. A ordem é informação, a razão entre os números não é.

Descrever complementares perfeitos como se fossem substitutos. Dizer que os bens consumidos em proporção fixa “podem ser substituídos entre si a uma taxa constante” junta os dois casos particulares no mesmo item — e são opostos: a TMS constante é do substituto perfeito, a proporção fixa é do complementar.

Erros clássicos

Achar que a curva de indiferença mostra o que o consumidor escolhe. Mostra apenas o que lhe é indiferente. Escolha exige as duas peças — o mapa e a reta orçamentária.

Dizer que curvas de indiferença não se cruzam “por convenção”. Não é convenção: é a transitividade das preferências. Saber demonstrar em uma linha imuniza contra qualquer variação do item.

Confundir utilidade marginal decrescente com TMS decrescente. Uma fala de um bem e é cardinal; a outra é a razão entre dois e é o que corresponde à convexidade.

Achar que a proximidade das curvas significa alguma coisa em quantidade. As curvas ordenam; a distância entre índices não mede intensidade de preferência.

Supor que o mapa de indiferença muda com a renda. Não muda. Renda e preços mudam o que é factível, não o que é desejado.

Esquecer que a TMS varia ao longo da mesma curva. Ela é uma propriedade do ponto, não da curva inteira — exceto em substitutos perfeitos, justamente o caso em que a curva é reta.