Tautologia, contradição, contingência

A ideia que organiza o assunto

Uma proposição composta pode ser verdadeira em algumas linhas da tabela-verdade e falsa em outras — esse é o caso normal. Duas situações fogem disso e recebem nome próprio:

• Tautologia: verdadeira em todas as linhas. O valor lógico não depende das partes.
• Contradição: falsa em todas as linhas.
• Contingência: verdadeira em algumas e falsa em outras, isto é, tudo o mais.

A consequência prática é assimétrica, e é ela que resolve os itens. Para afirmar que algo é tautologia, é preciso verificar a tabela inteira. Para negar, basta uma linha. Por isso a estratégia nunca é montar as 4 ou 8 linhas: é procurar, de propósito, a atribuição que faria a fórmula falhar. Se ela existir, acabou — o item está errado. Se a busca se mostrar impossível, você descobriu por quê, e essa razão é a explicação.

E há o atalho que dispensa a tabela: uma fórmula do tipo X ⇔ Y é tautologia exatamente quando X e Y são equivalentes; uma fórmula do tipo X ⇒ Y é tautologia exatamente quando Y é consequência lógica de X. Reconhecida a equivalência clássica, o item cai sem conta nenhuma.

Como funciona

A busca pela linha falsa. Toda fórmula só pode ser falsa de poucas maneiras, e o conectivo principal diz quais:

conectivo principal	é falsa quando
condicional X ⇒ Y	X verdadeira e Y falsa — uma única forma
bicondicional X ⇔ Y	X e Y com valores diferentes
disjunção X ∨ Y	as duas falsas
conjunção X ∧ Y	uma delas falsa

Assim, para testar X ⇒ Y, suponha X verdadeira e Y falsa e veja se as duas suposições convivem. Se forem incompatíveis, não há linha falsa: é tautologia.

Exemplo, com um item real do tópico: (Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ (P ∨ Q). Suponha o antecedente verdadeiro; então Q é verdadeira; então P ∨ Q é verdadeira e o consequente não pode ser falso. Não há linha falsa — tautologia, sem montar tabela.

E o contraexemplo, também real: [P ⇒ Q] ∧ P. Basta P falsa: P ⇒ Q fica verdadeira, mas a conjunção com P falsa dá falso. Uma linha bastou.

Tautologia e informação. Uma frase da forma “A é A” é verdadeira em qualquer mundo possível, e é justamente por isso que não informa nada. “Um gazebo é um gazebo” tem conteúdo sempre verdadeiro e não define gazebo. As duas coisas são compatíveis, e essa compatibilidade é o que a banca cobra: verdade necessária e conteúdo informativo são propriedades distintas.

O que decide os itens

As equivalências que, postas em ⇔, produzem tautologia. Reconhecê-las resolve o item de imediato:

equivalência	forma
condicional em disjunção	(P ⇒ Q) ⇔ (~P ∨ Q)
contrapositiva	(P ⇒ Q) ⇔ (~Q ⇒ ~P)
De Morgan	~(P ∧ Q) ⇔ (~P ∨ ~Q)
De Morgan	~(P ∨ Q) ⇔ (~P ∧ ~Q)
distributiva	(P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R))
dupla negação	~(~P) ⇔ P

As implicações que, postas em ⇒, produzem tautologia — as formas válidas de argumento:

nome	forma
modus ponens	((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q
modus tollens	((P ⇒ Q) ∧ ~Q) ⇒ ~P
silogismo hipotético	((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)
silogismo disjuntivo	((P ∨ Q) ∧ ~P) ⇒ Q
terceiro excluído	P ∨ ~P

O que não é tautologia, por mais que pareça. A conjunção das premissas de um argumento válido não é tautologia — é o condicional inteiro que é. [P ⇒ Q] ∧ P é só o antecedente do modus ponens: verdadeira apenas quando P e Q são as duas verdadeiras. Cortar o consequente de uma forma válida destrói a tautologia.

Contradição e contingência. Os três conceitos do título do tópico não têm o mesmo peso no corpus: nenhum dos itens levantados pede contradição ou contingência — todos os quatro pedem tautologia. As definições acima ficam registradas porque são baratas de guardar e porque ~T é contradição sempre que T é tautologia, mas a expectativa medida é de item sobre tautologia.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

A medição está fechada, e ela é menor do que parece. São 4 itens explicados: 3 Certos e 1 Errado — e os quatro são de tautologia: nenhum cobra contradição ou contingência, que o título também promete. Menor ainda: dois dos três Certos são o mesmo item, a resposta “um gazebo é um gazebo”, repetida em dois números do mesmo caderno. A amostra real são, portanto, três enunciados distintos.

Com um único item errado não há padrão a declarar, e não há percentual honesto a citar. Há um item, e o que ele faz está descrito abaixo; o que é apenas conhecido do assunto vem rotulado como não medido.

A forma válida amputada. O item exibe um pedaço de uma forma clássica — o antecedente sozinho, ou a conclusão sozinha — e chama o pedaço de tautologia. [P ⇒ Q] ∧ P é o exemplo do tópico: parece modus ponens, e é apenas a metade dele. Defesa: a tautologia mora no condicional inteiro, premissas ⇒ conclusão. Se não houver a seta principal ligando as duas partes, desconfie e teste com P falsa.

O reforço verbal. É o mesmo item, e vale registrar à parte porque é o que o faz passar: o enunciado repete a definição — “isto é, independentemente dos valores lógicos V ou F atribuídos a P e Q, o valor lógico de [P÷Q]vP será sempre V” — e a repetição soa como demonstração. Não é: é a mesma afirmação duas vezes. Defesa: ignore a glosa e teste a fórmula.

A equivalência com um sinal trocado — conhecida do assunto, não medida aqui. O único item de bicondicional da amostra é Certo: (P ⇒ Q) ⇔ ((~P) ∨ Q) é a definição de condicional material, e a banca a enunciou sem adulterar nada. A troca segue previsível — em X ⇔ Y, muda-se um sinal dentro de Y, ~P ∨ Q vira P ∨ ~Q, uma De Morgan perde uma negação, uma contrapositiva vira recíproca —, e fica registrada como expectativa. Defesa: não leia; reescreva a condicional como disjunção e compare símbolo a símbolo.

A tautologia que não informa. É metade da amostra — os dois números em que o gazebo aparece —, e nos dois o gabarito é Certo. O candidato rejeita o item por achar que “sempre verdadeiro” e “não esclarece nada” se contradizem. Não se contradizem: é a definição. Defesa: separe o valor lógico do valor informativo antes de julgar.

Erros clássicos

Confundir tautologia com proposição verdadeira. “Hoje é terça” pode ser verdadeira hoje e falsa amanhã; tautologia é o que não pode ser falso em nenhuma linha.

Confundir tautologia com contradição. Uma é V em todas as linhas, a outra é F em todas. Ambas são independentes das partes, e é essa semelhança que faz a troca passar despercebida.

Achar que contingência é um defeito. Contingência é o caso comum: quase toda proposição composta é contingente.

Montar a tabela inteira quando uma linha bastaria. Para derrubar uma tautologia afirmada, procure primeiro a linha que faz o conectivo principal falhar. Se a fórmula é uma condicional, essa linha é única e você a encontra em segundos.

Aceitar que a tautologia prova alguma coisa sobre o mundo. Ela é verdadeira por forma, não por conteúdo — e por isso mesmo não acrescenta informação.