Equivalências: contrapositiva; p→q ≡ ¬p∨q

A ideia que organiza o assunto

Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade, linha por linha. Não é “querem dizer mais ou menos a mesma coisa”: é coincidência total de valores lógicos. Daí sai o método que derruba qualquer item deste tópico — para negar uma equivalência basta exibir uma única linha em que uma é verdadeira e a outra é falsa. Você nunca precisa provar que duas proposições são iguais em todos os casos; precisa procurar o caso em que elas divergem.

O segundo fato que organiza o assunto é que a prova não pede equivalências quaisquer. Medindo os 30 itens deste tópico, quase tudo se resolve com três transformações:

contrapositiva — A → B equivale a ~B → ~A;
condicional em disjunção — A → B equivale a ~A ˅ B;
De Morgan — ~(A ˄ B) equivale a ~A ˅ ~B, e ~(A ˅ B) equivale a ~A ˄ ~B.

As três se encadeiam: a contrapositiva de uma condicional com antecedente composto obriga a usar De Morgan, e a conversão para disjunção obriga a saber qual das duas pontas troca de sinal. Os itens errados deste tópico são, quase todos, uma dessas três operações feita pela metade.

Um terceiro ponto, que muda como se estuda: 26 dos 30 itens estão em português corrido, não em fórmula. Só 4 trazem letras e símbolos. O trabalho real é traduzir uma frase em estrutura — descobrir quem é antecedente, quem é consequente e o que está negado — e só depois aplicar a transformação.

Como funciona

Contrapositiva. Só existe uma inversão permitida, e ela exige duas operações simultâneas: trocar a ordem das orações e negar as duas. Fazer apenas uma delas produz duas impostoras:

operação sobre `A → B`	resultado	equivale a `A → B`?
trocar a ordem e negar as duas	`~B → ~A` — contrapositiva	sim
só trocar a ordem	`B → A` — recíproca	não
só negar as duas	`~A → ~B` — inversa	não
negar tudo sem seta	`A ˄ ~B` — negação	não, é a contraditória

Dupla negação. Quando uma das pontas já vem negada, a contrapositiva a devolve afirmada. De ~V → J sai ~J → V, não ~J → ~~V. Isso faz a contrapositiva correta parecer errada, e é o motivo de candidato descartar item certo. Conte as negações; não julgue pela aparência.

Condicional em disjunção. A → B equivale a ~A ˅ B. Só o antecedente troca de sinal; o consequente vai inteiro. No caminho de volta, a disjunção A ˅ B gera duas condicionais equivalentes entre si — ~A → B e ~B → A — que são contrapositivas uma da outra. Em ambas o antecedente aparece negado: uma condicional com as duas pontas afirmadas nunca é equivalente a uma disjunção de proposições afirmativas.

Negação da condicional. ~(A → B) é A ˄ ~B: antecedente afirmado, consequente negado. É a promessa feita e não cumprida. Não é uma equivalência — é a contraditória — e a banca a oferece disfarçada de equivalente.

De Morgan dentro da contrapositiva. Se o antecedente é A ˄ B, a contrapositiva conclui ~A ˅ ~B — o “e” vira “ou”. Se o antecedente é A ˅ B, conclui ~A ˄ ~B. Esse é o ponto exato em que a banca deixa o conectivo original e o item passa despercebido.

Duas condicionais com o mesmo consequente. (A → C) ˄ (B → C) equivale a (A ˅ B) → C. O “e” entre as condicionais vira “ou” dentro do antecedente. Parece inversão e não é.

Linguagem natural. Locuções são a metade invisível do tópico. “Com uma condição: X”, “desde que X”, “contanto que X” e “só se X” apresentam X como a condição a que a outra oração se submete. Numa reescrita, o que não pode mudar é qual oração é a condição; o resto é vocabulário.

O que decide os itens

distinção	como se resolve
Contrapositiva × recíproca	Recíproca só trocou a ordem. Nenhuma negação nova apareceu? Errado.
Contrapositiva × inversa	Inversa só negou as duas pontas, mantendo a ordem. Errado.
Equivalente × negação	Se uma é verdadeira exatamente quando a outra é falsa, são contraditórias, nunca equivalentes.
`~(A → B)`	`A ˄ ~B`. Antecedente afirmado. Quem nega o antecedente errou de proposição.
`A → B` em “ou”	`~A ˅ B`. Um sinal trocado, um só.
`A ˅ B` em “se, então”	`~A → B` ou `~B → A`. O antecedente sempre negado.
`~(A ˄ B)`	`~A ˅ ~B`. O “e” vira “ou”.
“todo X tem A ou B” × “todo X tem A e B”	Não são equivalentes: a conjunção implica a disjunção, nunca o contrário.
Contrapositiva de condicional com antecedente composto	Negue o bloco inteiro por De Morgan antes de escrever a conclusão.
Conclusão da contrapositiva	Tem de ser a negação do antecedente, e de mais nada. Se conclui sobre um termo que estava no consequente, saiu da proposição.
“X é condição para Y”	`Y → X`. A condição vai para depois da seta.
Ordem das parcelas em “e” e “ou”	Irrelevante: são comutativas. Mudança de ordem, tempo verbal ou pessoa é maquiagem.
Contrapositiva é tautologia/contradição?	Ela tem a mesma tabela da original. Teste na original.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Os 30 itens do tópico estão explicados, e a medição confirma o que a primeira seção antecipava. Sobre os 13 de gabarito Errado, a taxonomia registra só duas categorias — troca de termo 54% (7 itens) e inversão 46% (6) —, e nenhuma das duas palavras diz o que o candidato precisa saber. Os outros 17 itens são Certo: 57% do tópico é gabarito Certo, e boa parte desses Certos são contrapositivas corretas com dupla negação, exatamente as que parecem erradas. Marcar Errado por desconfiança é, aqui, a pior política possível.

Reclassificados pelo movimento lógico que a banca de fato executou, os 13 itens errados se distribuem assim:

o que a banca fez	itens
executou metade da contrapositiva (recíproca ou inversa)	4	31%
trocou o sinal errado na conversão entre “ou” e “se, então”	3	23%
ofereceu a negação como se fosse a equivalente	2	15%
não aplicou De Morgan ao negar um bloco composto	1	8%
tratou “ou” e “e” como equivalentes	1	8%
fez a contrapositiva concluir sobre um termo do consequente	1	8%
afirmou o status lógico errado da contrapositiva	1	8%

Metade da contrapositiva — 31%, e é a família dominante. A contrapositiva exige duas operações simultâneas: trocar a ordem e negar as duas pontas. A banca faz uma só, e o resultado convence porque metade do trabalho está certa. Duas vezes ela só troca a ordem e não nega nada, produzindo a recíproca: de “se o bem é bom, bonito e barato, eu gosto” oferece “Se eu gosto, o bem é bom, bonito e barato”; e oferece “Se o aluno não se esqueceu de colocar seu nome na prova, então não há prova sem nome nos arquivos do professor” para uma P4 que caminha na direção contrária. Duas vezes ela só nega e não troca a ordem, produzindo a inversa: “Se a polícia não agir, a ambulância não será necessária”; e “Se Sônia é alta, então Sônia não pratica ginástica olímpica” — onde a negação ainda vem disfarçada de antônimo, “alta” no lugar de “não baixa”. Defesa, em dois sinais: a ordem mudou? entraram negações? Se só um dos dois aconteceu, está errado, e você não precisa de tabela-verdade.

Um sinal a mais ou a menos na ponte entre “ou” e “se, então” — 23%. Duas vezes a banca converte a disjunção em condicional sem negar nada: para um P do tipo “aceito o risco ou perco a chance” oferece “Se aceito o risco, perco a chance” e “Se perco a chance, aceito o risco”. As duas condicionais realmente equivalentes seriam “Se não aceito o risco, perco a chance” e “Se não perco a chance, aceito o risco” — em ambas o antecedente aparece negado. Na terceira, o movimento é o inverso: convertendo condicional em disjunção, a banca nega também o consequente — “João não se esforça ou não é disciplinado, ou não alcançará seu objetivo”, quando o correto mantém “ou alcançará seu objetivo”. Defesa: nessa travessia troca de sinal exatamente uma ponta. Condicional com as duas pontas afirmadas nunca equivale a disjunção de afirmativas; disjunção com tudo negado nunca equivale a condicional.

A negação vendida como equivalente — 15%. “Eu não aceito o risco e não perco a chance” é, por De Morgan, a negação de “aceito o risco ou perco a chance”: as duas têm tabelas opostas linha a linha, e proposições contraditórias nunca são equivalentes. No único item em letras da família, ~(P → Q) aparece igualado a Q ˄ (~P), quando é P ˄ (~Q) — antecedente afirmado, consequente negado; as duas letras estão nos papéis trocados. Defesa: guarde a negação da condicional pela frase “a promessa foi feita e não foi cumprida”, e teste contraditoriedade por uma linha só — se uma é verdadeira quando a outra é falsa, acabou.

Os quatro itens restantes, um de cada, e todos vale a pena reconhecer. De Morgan não aplicada: a contrapositiva precisa negar o consequente “tem criatividade e tem sensibilidade social”, e a banca entrega “não tem criatividade e não tem sensibilidade social”, mantendo o conectivo — devia virar “ou”, e o item passa despercebido justamente porque só o conectivo foi poupado. “Ou” tratado como “e”: uma proposição que exige as duas qualidades apresentada como equivalente à que se contenta com uma; basta satisfazer só uma das parcelas para separá-las. Conclusão fora do antecedente: “Se uma das empresas não se destacar no mercado, então essa empresa não tem vantagem fiscal”, quando a vantagem fiscal estava no consequente de P — a contrapositiva só autoriza negar o antecedente, e nada mais. Status lógico: “A contra recíproca da proposição P é uma contradição”, quando a contrapositiva tem a mesma tabela-verdade da original — qualquer afirmação sobre ela se testa na original.

A defesa geral tem ordem fixa: (1) escreva a proposição original como antecedente → consequente, marcando o que já vem negado; (2) escreva a oferecida do mesmo jeito; (3) compare quem virou antecedente e quantas negações entraram. Se a comparação não fechar, procure a linha em que uma é verdadeira e a outra é falsa — uma linha basta.

Erros clássicos

Achar que recíproca é equivalente. “Se A, então B” não autoriza “se B, então A”. É o erro mais repetido do assunto e o mais fácil de perder por pressa.

Achar que inversa é equivalente. Negar as duas pontas sem trocar a ordem não preserva nada. Fica mais disfarçado quando a negação vem por antônimo — “alta” no lugar de “não baixa”, “ou” escondido num “nem”.

Negar o consequente ao converter para disjunção. A → B é ~A ˅ B, nunca ~A ˅ ~B. Negar tudo é a negação da condicional, não sua equivalente.

Manter o conectivo ao negar um bloco composto. “e” negado vira “ou”; “ou” negado vira “e”. Sem exceção.

Descartar item certo por causa de dupla negação. Antecedente já negado reaparece afirmado na contrapositiva. Conte as negações antes de julgar.

Confundir a negação da condicional com sua equivalente. A ˄ ~B é a contraditória de A → B. Ela é verdadeira exatamente quando a outra é falsa.

Achar que a conclusão da contrapositiva pode falar de qualquer termo do enunciado. Ela só pode negar o antecedente. Concluir sobre algo que aparecia no consequente é sair da proposição, ainda que o enunciado mencione aquele termo.

Tratar “todo X tem A ou B” e “todo X tem A e B” como a mesma coisa. Basta um X com apenas uma das qualidades para separá-las.