Dispersão absoluta: amplitude, AIQ, desvio médio, variância (n−1), desvio padrão

A ideia que organiza o assunto

Um conjunto de dados tem um centro, uma dispersão e uma forma. A nota de Médias, mediana e moda trata do centro; a de Assimetria, da forma. Esta é a do meio: o quanto as observações se afastam do centro.

Duas consequências disso decidem o tópico inteiro.

Primeira: dispersão não depende do nível dos valores, só dos afastamentos. Uma série de litros na casa das centenas pode ter exatamente a mesma dispersão absoluta que uma série de milímetros na casa das dezenas — basta que os desvios em relação à média sejam os mesmos. Quem compara duas séries de magnitudes diferentes pelo desvio padrão está comparando a coisa errada; quem faz essa comparação é o coeficiente de variação, que tem nota própria.

Segunda: cada medida enxerga uma parte diferente do conjunto. A amplitude só vê os dois extremos. A variância e o desvio padrão veem todos os desvios, elevados ao quadrado, e depois diluídos por n. A amplitude interquartil vê só a metade central. Por isso as três não caminham juntas: um conjunto com quase tudo empilhado num ponto e uma única observação distante tem amplitude grande e variância pequena, e isso não é contradição nenhuma.

E há uma terceira ideia, que não é de estatística mas de prova, e é a mais rentável: a banca quase nunca pede o desvio padrão — pede se ele fica acima ou abaixo de um limite. Sete dos dez itens explicados deste tópico têm a forma “o desvio padrão é inferior a L” ou “superior a L”. Isso muda o método. Não comece calculando: comece limitando. Se a cota resolver, o item acabou em cinco segundos; só se ela não resolver é que se somam quadrados.

Como funciona

Amplitude total. Maior valor menos menor valor. Depende de duas observações apenas, e por isso é a medida mais instável do conjunto e a mais barata de ler.

Variância. A média dos quadrados dos desvios em relação à média. Duas versões, e a palavra do item escolhe qual:

• populacional: soma dos quadrados dos desvios dividida por n;
• amostral: a mesma soma dividida por n − 1.

Nos itens de comparação com um limite, as duas versões quase sempre caem do mesmo lado da linha, e vale conferir se é mesmo preciso escolher antes de gastar tempo com isso.

A fórmula rápida da variância. Em vez de somar desvios um a um, use média dos quadrados menos quadrado da média. É a forma que salva tempo em dados agrupados: no histograma de 100 indenizações com classes de amplitude 2.000 e frequências 50, 20, 10, 10, 5 e 5, os pontos médios dão média 3.300 e média dos quadrados 19.800.000; a variância é 19.800.000 − 3.300², ou seja 8.910.000, e o desvio padrão fica em torno de 2.985. Em dados agrupados a classe é sempre representada pelo ponto médio, nunca pelos limites.

Desvio padrão. A raiz quadrada da variância. Existe para devolver a medida à unidade original dos dados — variância de reais ao quadrado não se compara com nada. Quando o comando entrega a variância e o item pergunta pelo desvio padrão, o item inteiro é uma raiz quadrada, e o gráfico sequer precisa ser lido. Atenção ao efeito de escala: para variância menor que 1 a raiz aumenta o número — a raiz de 0,025 é 0,158, não 0,0158.

A cota que decide itens sem conta. O desvio padrão populacional de qualquer conjunto nunca passa de metade da amplitude total. O valor máximo, amplitude / 2, só é atingido no caso extremo em que metade das observações está no mínimo e a outra metade no máximo. A versão amostral multiplica essa cota por √(n / (n − 1)), fator que é 1,03 para n = 20 e 1,12 para n = 5 — perto de 1 para n razoável, mas não exatamente 1. Então: use a cota como triagem, e quando o limite do item cair rente a ela, confirme com a conta.

Concentração derruba o desvio padrão. Observações iguais à média contribuem com desvio zero e não entram na soma. Numa amostra de 16 em que 11 valores são exatamente a média, só as 5 restantes alimentam a soma de quadrados — e o desvio padrão fica muito abaixo do que a presença de um valor distante sugere.

Box-plot. Não imprime o desvio padrão, mas dá dois limites úteis: metade da amplitude total, incluindo os pontos discrepantes, é o teto do desvio padrão; e, quando a distribuição é aproximadamente simétrica, AIQ / 1,35 é uma boa estimativa dele. A leitura das posições no box-plot está na nota de Separatrizes.

Amplitude interquartil. Q3 − Q1. Usa só valores internos, portanto nunca supera a amplitude total. É a medida de dispersão resistente a extremos, o análogo da mediana entre as medidas de posição.

Desvio médio. A média dos módulos dos desvios. Nunca supera o desvio padrão. Consta do título do tópico e nenhum item do corpus o cobra.

Transformações lineares. Somar uma constante a todos os valores não muda dispersão alguma — os afastamentos são os mesmos. Multiplicar todos por uma constante multiplica o desvio padrão pelo módulo dela e a variância pelo quadrado. Daí decorre o ponto que a banca explora em item de ciência de dados: normalizar ou padronizar é uma transformação linear, e transformação linear troca a unidade em que a dispersão é medida, não reduz a dispersão relativa dos dados. A padronização por escore z fixa o desvio padrão em 1; fixar não é minimizar, e nada em pré-processamento “garante” dispersão baixa.

O que decide os itens

distinção	o que decide
Desvio padrão × variância	Um é a raiz do outro. Comando que fornece a variância e item que pergunta pelo desvio padrão é uma raiz quadrada e nada mais. Com variância < 1, a raiz sobe o número.
Cota × cálculo	Desvio padrão populacional ≤ amplitude / 2, sempre. Três dos dez itens explicados se decidem só com isso. Se o limite do item estiver acima dessa metade, o item está resolvido.
Amostral (n − 1) × populacional (n)	A palavra “amostral” no item escolhe o denominador. Em itens de limite, as duas versões costumam cair do mesmo lado — confira antes de decidir se importa.
Amplitude × variância	A amplitude só vê os extremos; a variância dilui o extremo entre n observações. Amplitude grande com variância pequena é perfeitamente possível, e o item que nega isso está errado.
Nível dos valores × dispersão	Desvio padrão não sobe porque os números são maiores. Duas séries com a mesma soma de quadrados de desvios e o mesmo n têm o mesmo desvio padrão, ainda que uma esteja na casa das dezenas e a outra na das centenas.
Dispersão absoluta × relativa	Comparar dispersão entre séries de unidades ou magnitudes diferentes é trabalho do coeficiente de variação, não do desvio padrão.
Ponto médio × limite de classe	Em dados agrupados, a classe entra pelo ponto médio. Usar o limite desloca a média em meia amplitude de classe e contamina a variância.
Concentração × valor distante	Valores iguais à média contribuem com zero. Uma pilha dominante no centro derruba o desvio padrão mesmo com um ponto longe.
AIQ × amplitude total	A AIQ usa valores internos: nunca supera a amplitude total.
Reescalar × reduzir dispersão	Normalização e padronização são transformações lineares. Mudam a unidade da dispersão; não a diminuem, não a “garantem mínima”, não consertam os dados.

Números que caem

quantidade	valor
Variância populacional	soma dos quadrados dos desvios / n
Variância amostral	soma dos quadrados dos desvios / (n − 1)
Fórmula rápida da variância	média dos quadrados − quadrado da média
Desvio padrão	raiz quadrada da variância
Cota do desvio padrão populacional	amplitude / 2
Correção da cota na versão amostral	× √(n / (n − 1)) — 1,12 para n = 5; 1,03 para n = 20
Estimativa do desvio padrão por box-plot simétrico	AIQ / 1,35
Amplitude interquartil	Q3 − Q1, nunca maior que a amplitude total
Variância de dados agrupados	pontos médios das classes, ponderados pelas frequências
Efeito de somar b a todos os valores	desvio padrão inalterado
Efeito de multiplicar todos por a	desvio padrão × |a|; variância × a²
Erro padrão da média	s / √n

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 10 itens explicados dos 11 do tópico — o restante teve a notação matemática destruída na digitalização e não pôde ser explicado. Dos 10, 5 são Certo e 5 são Errado, de modo que nada no formato do enunciado prevê a resposta: este é um tópico que se decide na conta.

O formato dominante é um limite, não um número — 7 dos 10 itens. Os spans e as afirmações são sempre desta família: inferior a R$ 6.000, inferior a 25, inferior a 0,13, inferior a R$ 2,00, inferior a R$ 18 mil, superior a 2, superior a 2 minutos. Nenhum item pede “calcule o desvio padrão”. Isso é uma vantagem, não um detalhe: um limite se refuta por cota, e cota é mais barata que cálculo. A defesa, em ordem: (1) leia mínimo e máximo e compare o limite do item com amplitude / 2; (2) se o comando já deu a variância, tire a raiz; (3) só então some quadrados.

A cota decidiu três itens sozinha. Amostra de 20 projetos entre 45 e 80 mil: amplitude 35, cota 17,5 — e o item afirma inferior a R$ 18 mil, que está acima da cota, logo Certo sem somar nada (o valor real é 9,9). Box-plot do grupo A indo de 26 a 72: amplitude 46, cota 23 — e o item afirma inferior a 25, Certo. Cinco discursos entre 4 e 8 minutos: amplitude 4, cota 2 — e o item afirma superior a 2 minutos, ou seja, afirma que o desvio padrão está no teto teórico, o que só ocorreria se metade dos valores fosse 4 e a outra metade 8; Errado, e o cálculo confirma 1,58.

Três dos cinco itens errados são número errado, e nos três o número correto está do outro lado da linha por pouco. Não há exagero grosseiro: 0,158 contra inferior a 0,13; 1,32 contra superior a 2; 1,58 contra superior a 2 minutos. A banca escolhe limites que ficam na vizinhança do valor verdadeiro, justamente para que a estimativa de olho não resolva. Quando o limite estiver perto da sua cota, calcule.

Duas séries com a mesma dispersão, oferecidas como desiguais — 1 item. O span é é inferior ao desvio padrão amostral do volume de água coletado. Precipitações de 50, 60, 40, 70 e 50 mm e volumes de 140, 150, 150, 170 e 160 L têm somas de quadrados de desvios idênticas, 520 nas duas, e mesmo n: os desvios padrão são iguais. O item aposta que a série de números maiores “obviamente” varia mais. Defesa: subtraia a média de cada série e olhe só os afastamentos — o nível dos valores não entra.

Uma etapa de pré-processamento com poder que ela não tem — 1 item. O span é a normalização garante um desvio padrão mínimo em relação à média dos valores. Normalizar reescala para um intervalo comum e preserva as posições relativas. Sempre que o item atribuir a uma etapa de preparo de dados o poder de garantir, minimizar ou eliminar variabilidade, desconfie: pré-processamento reescala, não conserta os dados.

Os itens Certo raramente trazem número novo. Dos cinco, três se resolvem por cota ou por propriedade — a cota da amplitude duas vezes, e a compatibilidade entre amplitude grande e variância pequena uma vez. Conferir a propriedade custa menos que refazer a conta.

O que o título promete e o corpus não cobra. Nenhum item do tópico pede desvio médio, e nenhum pede o cálculo da amplitude interquartil — a AIQ aparece como ferramenta de leitura de box-plot, não como número a ser produzido. O tópico, na prática, é desvio padrão.

Erros clássicos

Confundir variância com desvio padrão. São a mesma informação em unidades diferentes. O erro fica invisível quando a variância é maior que 1 e clamoroso quando é menor: a raiz de 0,025 é 0,158, maior que o número de partida.

Calcular quando bastava limitar. Vinte valores e uma soma de quadrados pela frente, quando mínimo e máximo já respondiam. A cota amplitude / 2 é a primeira coisa a testar em qualquer item de limite.

Confiar na cota quando o limite está rente a ela. A cota exata é da versão populacional; a amostral a estica por √(n / (n − 1)). Com n pequeno, essa folga é real.

Achar que série com números maiores tem mais dispersão. Dispersão é afastamento, não magnitude. Para comparar séries de escalas diferentes, o instrumento é o coeficiente de variação.

Usar limite de classe no lugar do ponto médio. Em dados agrupados, a classe é representada pelo meio do intervalo, tanto na média quanto na variância.

Esquecer o n − 1 quando o item diz amostral — e, do outro lado, brigar com a escolha quando as duas versões caem do mesmo lado do limite.

Ler a ponta do bigode do box-plot como mínimo ou máximo. Com pontos discrepantes marcados, o extremo observado é o ponto, não o bigode — e é ele que entra na amplitude e, portanto, na cota.

Achar que um único valor distante estraga o desvio padrão. Ele é diluído por n. Se as demais observações estiverem empilhadas na média, o desvio padrão continua pequeno.

Somar uma constante e recalcular a dispersão. Não muda nada. Só a multiplicação muda.