Variável aleatória discreta × contínua; FDA e propriedades

A ideia que organiza o assunto

Variável aleatória não é um número nem um dado: é uma função que leva cada resultado possível do experimento a um número real. Sorteia-se um condutor, lê-se o tempo de habilitação; sorteia-se um indivíduo, lê-se a idade. O experimento é aleatório, a leitura é determinística, e é por isso que se pode falar em probabilidade de valores.

A partição discreta × contínua não é decorativa. Ela decide onde mora a probabilidade:

• na discreta, a probabilidade está concentrada em pontos. Cada valor possível carrega uma massa própria, e P(X = x) é um número que pode ser positivo;
• na contínua, a probabilidade está espalhada sobre intervalos. Um ponto tem comprimento zero, logo P(X = t) = 0 para qualquer t. Não é uma aproximação nem um caso-limite: é a definição em ação.

Guardada essa frase, quase tudo o que a banca faz aqui se resolve. Trocar < por ≤ numa contínua não muda nada, porque a fronteira vale zero. Perguntar a “probabilidade de a variável contínua valer exatamente 2 anos” é perguntar por zero. E dizer que uma contínua é caracterizada por P(T = t) é descrevê-la por uma função identicamente nula.

Sobre a base de evidência deste tópico, com honestidade. O corpus tem 1 item aqui, e ele está explicado — o da prova do TC/DF, que não trata de discreta × contínua nem de FDA: trata da probabilidade de uma realização conjunta da amostra. Um item não mede nada: não há frequência, não há distorção típica, não há padrão de banca. E o descompasso com o título é o dado mais útil que este tópico oferece: ele promete discreta × contínua, FDA e propriedades, e nada disso foi medido. Leia as seções abaixo como o conteúdo que o assunto exige, não como uma distribuição medida de pegadinhas.

Como funciona

Discreta. Descrita pela função de probabilidade p(x) = P(X = x), com p(x) ≥ 0 e soma igual a 1 sobre todos os valores possíveis. Contagens caem aqui: número de sinistros, número de sucessos em n tentativas, número de peças defeituosas. A FDA é uma escada: sobe em degraus exatamente nos pontos de massa, e o tamanho do degrau é P(X = x).

Contínua. Descrita pela função densidade f(x), com f(x) ≥ 0 e integral igual a 1. Probabilidade é área sob a densidade: P(a < X < b) é a área entre a e b. Atenção ao ponto que mais se erra: f(x) não é uma probabilidade e pode perfeitamente ser maior que 1 — o que não pode passar de 1 é a área. Medidas de tempo, peso, altura, valor monetário caem aqui.

A FDA unifica as duas. F(x) = P(X ≤ x), definida para qualquer variável aleatória, discreta ou contínua, e com as mesmas propriedades sempre: é não decrescente, vale 0 no limite à esquerda e 1 no limite à direita, e é contínua à direita. A diferença aparece na forma: escada na discreta, curva sem salto na contínua. Daí a regra prática — salto na FDA é massa de probabilidade, e uma contínua não tem salto nenhum.

Uma variável aleatória por sorteio, e a amostra como vetor. Quando o enunciado diz que a amostra “é representada por um conjunto de variáveis aleatórias X1, …, X100”, cada Xi é a leitura do i-ésimo sorteio. A probabilidade de a amostra inteira assumir uma configuração específica é a probabilidade de um vetor de 100 coordenadas — não se confunde com a fração amostral n/N, nem com a probabilidade de um indivíduo qualquer entrar na amostra. Num sorteio sem reposição de 100 entre 1.000, essa probabilidade conjunta é o inverso de um número astronômico; a fração amostral vale 0,1. São grandezas de ordens de grandeza incomparáveis.

O que decide os itens

Discreta × contínua:

	discreta	contínua
valores	enumeráveis (0, 1, 2, …)	todo um intervalo
descrita por	função de probabilidade p(x)	função densidade f(x)
P(X = t)	pode ser positiva	é sempre 0
P(X < t) × P(X ≤ t)	podem diferir	são iguais
FDA	escada, com saltos	contínua, sem saltos
exemplos típicos	contagens, nº de sucessos	tempo, altura, valor pago

Três funções que a banca embaralha:

objeto	o que é	vale entre
p(x) = P(X = x)	massa de probabilidade; só na discreta	0 e 1
f(x)	densidade; só na contínua	0 e +∞ (pode passar de 1)
F(x) = P(X ≤ x)	FDA; nas duas	0 e 1, não decrescente

Probabilidades que não se confundem, num plano amostral:

grandeza	o que significa
fração amostral n/N	probabilidade de inclusão de um indivíduo em AAS
P(Xi = xi)	probabilidade de uma coordenada assumir um valor
P(X1 = x1, …, Xn = xn)	probabilidade da amostra inteira sair naquela configuração

Como a CEBRASPE derruba você aqui

O tópico tem 1 item, e ele está explicado. Um item não é contagem: não há percentual, não há distorção dominante e não há como dizer o que a banca prefere aqui. O parágrafo seguinte é o que o corpus mostra; os dois últimos são conhecimento do assunto, marcados como não medidos.

Trocar a probabilidade conjunta da amostra por um número do enunciado. O item do TC/DF afirma que P(X1 = x1, …, X100 = x100) = 0,1, e 0,1 é exatamente a fração amostral 100/1.000 que o enunciado deixa à mão. A defesa: antes de aceitar um número, pergunte de quantas coordenadas é o evento. Evento de 100 coordenadas não tem probabilidade da ordem de um décimo.

Descrever variável contínua por P(T = t) — não medido. É a armadilha central do eixo que dá nome ao tópico e nenhum item daqui a cobra. Sempre que o enunciado tiver dito “variável aleatória contínua” e o item falar em probabilidade de um valor exato, o número é zero — e essa consequência decide o item nos dois sentidos: derruba quem caracteriza a contínua por P(T = t) e sustenta quem conclui P(T > t) = 1 − P(T < t) sem descontar o ponto.

Números plantados no enunciado — sugerido por um caso, não medido. No item do corpus, 1.000, 100 e 0,1 estão todos no enunciado, e é um deles que volta como resposta falsa. Vale como hipótese de trabalho para todo o tópico, não como frequência: confira sempre qual é a grandeza pedida antes de reconhecer o número.

Erros clássicos

Achar que P(X = t) = 0 significa que o valor é impossível. Numa contínua, probabilidade zero e impossibilidade não são a mesma coisa: a variável assume algum valor, e todo valor individual tem probabilidade zero.

Confundir densidade com probabilidade. f(x) pode valer 3. Probabilidade nenhuma pode.

Esperar que a FDA de uma contínua tenha degraus. Degrau é massa em ponto, e a contínua não tem. Inversamente, FDA sem nenhum salto não pode ser de uma discreta.

Tratar variável aleatória como se fosse o dado observado. X é a função; x é a realização. Os itens que separam maiúscula de minúscula estão sempre cobrando essa distinção.

Somar a fração amostral à conta errada. n/N responde “qual a chance de este indivíduo entrar na amostra”, e não “qual a chance de sair esta amostra”.