Quantificadores: negação de todo/algum/nenhum; diagramas lógicos

A ideia que organiza o assunto

Um quantificador não é uma palavra a decorar: é uma afirmação sobre o tamanho de uma região. “Todo A é B” diz que a região A fora de B está vazia. “Algum A é B” diz que a região A ∩ B não está vazia. “Nenhum A é B” diz que A ∩ B está vazia. Negar um quantificador é apenas dizer que a região que ele declarava vazia tem alguém dentro — ou o contrário.

Com isso, as três negações que o título anuncia deixam de ser uma tabela e viram uma consequência:

afirmação	o que ela diz da região	negação
Todo A é B	A fora de B está vazia	Algum A não é B
Algum A é B	A ∩ B tem alguém	Nenhum A é B
Nenhum A é B	A ∩ B está vazia	Algum A é B

A regra que sobrevive a tudo: a negação de um quantificador universal é particular, e a de um particular é universal. Nunca “todo” vira “todo”, nunca “nenhum” vira “todos”.

Só que o corpus deste tópico não é feito disso. Dos 9 itens, exatamente 1 pede a negação de um quantificador. O que a banca realmente cobra aqui é o diagrama: seis dos nove itens exigem ou contar as regiões de um diagrama com números, ou decidir o que não se pode concluir de um diagrama sem números.

o que o item pede	itens
Contar regiões de um diagrama com números	2 de 9
Dizer o que o diagrama permite ou não concluir	2 de 9
Tratar “maioria”/“minoria” como quantificador	2 de 9
Negar um quantificador	1 de 9
Julgar equivalência de “Todo A é B”	1 de 9
De Morgan sobre requisitos de um cargo	1 de 9

Portanto: chegue a este tópico sabendo negar todo/algum/nenhum em cinco segundos, porque é barato — mas treine contagem em diagrama, que é onde os itens estão.

Como funciona

Contagem: preencha de dentro para fora

O diagrama de três conjuntos só fecha se você preencher do centro para a periferia, nunca o contrário.

Com 180 profissionais, |C| = 95, |D| = 125, |P| = 65, |C∩D| = 60, |C∩P| = 40, |D∩P| = 40 e |C∩D∩P| = 20:

centro: 20;
cada par, descontando o centro: C∩D só = 60 – 20 = 40; C∩P só = 20; D∩P só = 20;
cada conjunto sozinho: C = 95 – 40 – 20 – 20 = 15; D = 125 – 40 – 20 – 20 = 45; P = 65 – 20 – 20 – 20 = 5;
união = 15 + 45 + 5 + 40 + 20 + 20 + 20 = 165; fora de tudo = 180 – 165 = 15.

O atalho equivalente é a inclusão–exclusão: 95 + 125 + 65 – 60 – 40 – 40 + 20 = 165.

Com dois conjuntos é mais curto ainda: 260 ações, 45 fora, logo a união tem 215; |L| + |V| = 120 + 130 = 250; a interseção é 250 – 215 = 35; só liquidez = 85 e só volatilidade = 95.

Os dois valores que o item vai comparar são sempre valores que você só obtém depois do passo 2. Nunca compare 120 com 130 — compare 85 com 95.

Diagrama sem números: separe o que segue do que apenas cabe

Quando o enunciado dá premissas verbais — todo T alcança P; alguns P também são I; há I que não são T —, a pergunta é sempre de uma de duas espécies:

“É possível concluir que…” → só é Certo se todo desenho compatível com as premissas mostrar aquilo.
“O diagrama pode não mostrar…” → é Certo se um desenho compatível já bastar.

“Alguns P também são I” garante que P ∩ I não está vazia — e nada mais. Não garante que algum desses esteja em T, e não garante que todo I esteja em P. Logo “I implica P” não se conclui, e “o diagrama pode não mostrar interseção entre os três” é verdadeiro: basta desenhar I encostando em P fora de T.

Maioria e minoria são quantificadores

Quando o enunciado define maioria = mais de 50% e minoria = menos de 50%, os que satisfazem o predicado e os que não satisfazem formam dois blocos complementares. Dizer que a maioria está num bloco é dizer que a minoria está no outro, e negar que a maioria esteja num bloco é afirmar que a maioria está no outro.

O trabalho real costuma ser desfazer a negação dupla antes disso. Em “A maioria dos seguidores não acredita que seu líder não mente”, o predicado é “acredita que seu líder não mente”; a proposição diz que mais de 50% não têm essa crença. Daí saem de imediato: uma minoria tem a crença, e a negação da proposição é “a maioria tem a crença”.

Equivalência: “todo” não se inverte

“Todo A é B” não equivale a “todo B é A”. A recíproca é outra proposição, e trocar de lugar antecedente e consequente é o erro mais barato de cometer aqui. A única troca legítima é a contrapositiva: todo A é B ≡ todo não-B é não-A.

Quando o consequente é composto, a contrapositiva passa pelas leis de De Morgan: se ser promotor exige ser bacharel e ter sido aprovado no concurso específico daquele cargo, então quem não é promotor ou não é bacharel ou não foi aprovado — a negação de uma conjunção é a disjunção das negações.

O que decide os itens

o item diz	o que decide
“A negação de ‘Nenhum…’ é…”	negação de universal é particular: “algum”, jamais “todos”
“Há mais X do que Y”	calcule os dois números das regiões exclusivas e compare
“É possível concluir que…”	precisa valer em todo diagrama compatível
“o diagrama pode não mostrar…”	basta um diagrama compatível
“alguns A são B” no enunciado	garante interseção não vazia — e só isso
“é logicamente equivalente a…”	a recíproca não é equivalente; a contrapositiva é
“maioria”/“minoria” definidas em %	os dois blocos são complementares
conclusão em forma “ou não… ou não…”	é De Morgan sobre uma conjunção de requisitos

Distinções que sozinhas decidem item:

Algum × todo. “Alguns P são I” nunca autoriza “I implica P” nem “P implica I”. Um particular afirmativo não vira inclusão.
Recíproca × contrapositiva. Inverter é errado; contrapor é o único movimento seguro.
Interseção de dois × interseção dos três. Saber que P ∩ I ≠ ∅ não diz nada sobre T ∩ P ∩ I.
Região exclusiva × conjunto inteiro. “Apenas de boa liquidez” é 85, não 120.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 9 itens: 4 Certos e 5 Errados. Entre os 5 errados, só duas formas aparecem.

A comparação invertida — 3 de 5 (60%), e é a assinatura do tópico. Todos os itens que comparam duas regiões de um diagrama estão errados, e em todos a desigualdade está ao contrário:

“Há mais ações consideradas apenas como de boa liquidez” do que apenas de boa volatilidade — são 85 contra 95, ou seja, o oposto.

“Há mais profissionais que não gostam de atuar em nenhuma das três áreas” do que os que gostam das três — são 15 contra 20, também o oposto.

“logicamente equivalente à proposição ‘Todo profissional que tem criatividade e sensibilidade social é competente’” — é a recíproca de P1, com o “ou” trocado por “e” de quebra.

A defesa é mecânica e não admite atalho: termine a contagem das duas regiões antes de ler o resto da frase. Comparar sem calcular os dois valores é o que a banca está cobrando.

O particular esticado a universal — 2 de 5 (40%). A banca oferece o quantificador forte no lugar do fraco:

“‘Todos os procedimentos de 1 a 5 foram realizados’” apresentado como negação de “Nenhum dos procedimentos de 1 a 5 foi realizado” — a negação correta é “pelo menos um foi realizado”.

“É possível concluir que I implica P” a partir de “alguns P também participam de I” — de “alguns” não sai inclusão.

A defesa: sempre que o item oferecer “todo”, “nenhum” ou uma implicação entre conjuntos, pergunte de qual premissa aquilo sairia. Se a premissa disponível começa com “alguns” ou “há”, a resposta é que não sai.

O que não cai. Nenhum dos 9 itens pede a negação de “todo” nem a negação de “algum” isoladamente; o único item de negação de quantificador parte de “nenhum”. E nenhum item usa símbolos de quantificação (∀, ∃) — a cobrança é toda em português corrente.

Erros clássicos

Negar “nenhum” com “todos”. As duas são universais e por isso parecem simétricas; não são. “Nenhum A é B” e “todo A é B” podem ser ambas falsas — basta que alguns A sejam B e outros não. Duas proposições que podem ser falsas ao mesmo tempo não são uma a negação da outra. A negação de “nenhum” é “algum”.

Comparar conjuntos em vez de regiões. 120 contra 130 responde outra pergunta. O item quase sempre fala de “apenas”, e “apenas” é o conjunto menos a interseção.

Esquecer de descontar o centro nos pares. |C∩D| = 60 inclui os 20 que estão nos três. Quem soma 60 + 40 + 40 sem descontar sai da inclusão–exclusão com o total errado e erra os dois itens do grupo.

Inverter “todo A é B”. A recíproca é outra proposição. Se você precisa mexer, mexa para a contrapositiva.

Ler “alguns P são I” como “I está dentro de P”. O enunciado descreve uma sobreposição, não uma inclusão, e não diz nada sobre o que existe fora dela.

Deixar a negação dupla de pé. “Não acredita que seu líder não mente” tem duas negações em níveis diferentes: uma é do verbo de crença, a outra é do conteúdo da crença. Identifique o predicado inteiro antes de aplicar o quantificador.

Exigir interseção tripla. Que dois conjuntos se cruzem não obriga o terceiro a entrar no cruzamento. “Pode não mostrar interseção entre os três” é Certo justamente por isso.