Probabilidade: união, complementar, condicional, regra do produto

A ideia que organiza o assunto

Este tópico não se parece com nenhum outro da prova. Em Crase, em Redes, em Controle Externo, o item mente sobre um conceito e a defesa é ler com cuidado. Aqui não há o que ler com cuidado: o enunciado é verdadeiro, a situação é verdadeira, e o que está em julgamento é apenas o número que a última oração afirma.

A medição não deixa dúvida. Dos 29 itens errados já explicados, 27 — 93% — são simplesmente um valor numérico trocado. Em 28 dos 29, o trecho marcado como falso é o resultado afirmado, quase sempre na última oração: é igual a 3/8, é superior a 70%, será inferior a 15%, possui 20 elementos. Não existe pegadinha de vocabulário esperando por você no meio do período. Existe uma conta, e ela tem que ser feita.

Feita como? Há uma única pergunta que organiza tudo o que vem a seguir: qual é o espaço amostral? Quase todo erro deste tópico é um denominador errado — o baralho inteiro quando já saíram dez cartas, os 15 procedimentos quando só 5 podem vir primeiro, 2⁵ cartões quando o branco é uma terceira opção, 10 pagantes quando o total é 16. Fixe o denominador antes de contar qualquer caso favorável. Com o denominador certo, o numerador quase sempre é uma combinação simples; com o denominador errado, nenhuma habilidade posterior salva o item.

E não conte com o item estar errado por ser difícil: entre os 52 itens explicados, 23 são Certo. A banca acerta a conta com a mesma frequência com que a erra. Não há atalho: calcule.

Como funciona

A definição clássica. Em espaço equiprovável, a probabilidade é o número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis. A palavra que sustenta a fórmula é equiprovável: quando o sorteio é entre pessoas e elas chegaram em veículos de tamanhos diferentes, o peso de cada veículo é o número de lugares que ele transportou, não o número de veículos.

Contar o denominador. Se a ordem importa, é arranjo; se não importa, é combinação. Escolher 2 entre 5 em sequência dá 5 × 4 = 20; escolher um conjunto de 5 entre 9 dá C(9,5) = 126. Escolha simultânea nunca tem ordem — o denominador é C(n,k) e o numerador não pode ser multiplicado por k!. Quando cada unidade escolhe livremente entre m opções, o espaço é o produto cartesiano: mⁿ.

Complementar. P(Ā) = 1 − P(A). Essa identidade não é um detalhe teórico: é a única forma prática de responder pelo menos um. “Pelo menos um antigo” é 1 menos “os dois serem novos”; “pelo menos dois repetidos” é 1 menos “todos distintos”. Vale também para negações compostas, por De Morgan: ser reincidente ou não ter bons antecedentes é o complementar de não ser reincidente e ter bons antecedentes, o que troca uma soma de interseções por uma subtração.

União. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Quando os eventos não podem ocorrer juntos — duas linhas diferentes da mesma tabela, por exemplo — a interseção é zero e a soma é direta. Com três conjuntos, a inclusão-exclusão soma os três, subtrai as três interseções duplas e devolve a tripla.

Condicional. P(A dado B) = P(A ∩ B) / P(B). Conceitualmente, condicionar é encolher o espaço amostral ao que sobrou: se o evento condicionante elimina uma das três classes equiprováveis, as duas restantes passam de 1/3 para 1/2. O denominador é o condicionante, nunca o total.

Regra do produto. Dela sai a interseção: P(A ∩ B) = P(B) × P(A dado B). Um percentual solto do enunciado quase nunca é a resposta — falta multiplicá-lo pela condicional seguinte. Quando os eventos são independentes, a condicional é a própria probabilidade e o produto fica simples; repetições independentes viram potência, e o expoente é o número de repetições.

Sem reposição. Cada retirada altera numerador e denominador. Depois de dez cartas retiradas, o baralho tem 42. Quando a retirada é simultânea e conta-se quantos elementos marcados saíram, o molde é hipergeométrico: C(marcados,k)·C(resto,n−k) / C(total,n).

Probabilidade total e Bayes. Partição completa, cada ramo pesado pela sua probabilidade; Bayes é um ramo dividido pela soma de todos. Estão detalhados na nota de Probabilidade total e Teorema de Bayes — e três itens deste tópico já os cobram diretamente.

Frequência e determinismo, as duas pontas. Repetido um grande número de vezes, a frequência relativa converge para a probabilidade: é a lei dos grandes números, e o item que a menciona costuma não pedir conta nenhuma. No extremo oposto, quando o enunciado determina inteiramente a sequência — uma regra de sucessão fixa, um ciclo — não há aleatoriedade e a resposta só pode ser 0 ou 1.

O que decide os itens

Os moldes. Reconhecido o molde, o item vira aritmética:

o item pede	a conta	o que costuma faltar
pelo menos um	1 − P(nenhum)	responder com a proporção da categoria
pelo menos k repetidos	1 − (todos distintos)	tentar contar os casos favoráveis
um conjunto determinado entre n	1 / C(n,k)	usar arranjo onde não há ordem
justamente esses dois entre n	1 / C(n,2)	—
contém X e não contém Y	C(n−2, k−1) / C(n,k)	esquecer de retirar Y do conjunto
fixa dois elementos escolhidos	C(n−2, k−2) / C(n,k)	—
um de cada grupo	produto dos tamanhos / C(total,k)	multiplicar só um lado por k!
exatamente k marcados na amostra	C(mar.,k)·C(resto,n−k) / C(tot.,n)	confundir com a proporção da população
exatamente k sucessos em n ensaios	C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ	esquecer o coeficiente C(n,k)
n repetições independentes	pⁿ	somar os percentuais
menor n que garante x%	resolver 1 − pⁿ ≥ x	testar valores e parar no primeiro que passa

Ordem × não ordem. É a primeira coisa a decidir, porque muda o denominador. Sorteio simultâneo, comissão, conjunto, equipe: combinação. Sequência, classificação, posições, cargos preenchidos um a um: arranjo. Atenção ao caso em que os cargos são distintos mas o grupo inteiro é sorteado — a ordem se cancela entre numerador e denominador e a conta volta a ser por combinação.

Até n × exatamente n. Uma definição com até n, no máximo n ou pelo menos n é acumulada. O valor exato é sempre a diferença entre dois acumulados consecutivos, nunca o acumulado em si.

Parte-parte × parte-todo. A cada 10 que pagam, outros 6 furtam não dá 60%: o total é 16 e a fração é 6/16 = 37,5%. Toda razão apresentada como “a cada A, outros B” tem total A + B.

Condicional × global. Três por cento dentro de um terço da população valem um por cento no todo. E P(A dado B) não é P(B dado A): o enunciado dá um para cobrar o outro.

Excludente × independente. São opostos, não sinônimos — ver a nota de Independência × eventos mutuamente excludentes.

Tabela de dupla entrada. Não usa X é o total da linha menos a célula. Eventos vindos de linhas diferentes são disjuntos e somam direto. E o denominador é o que o item disser: entre os 1.400 jovens fixa 1.400, não os 640 rapazes.

O zero conta. Mão fechada é uma possibilidade, deixar a questão em branco é uma terceira opção, nenhum item acertado é um resultado possível. Espaços amostrais deste tópico são subestimados mais por esquecer o zero do que por qualquer outro motivo.

Antes de calcular, teste se o evento cabe. Se a exigência consome mais unidades de um tipo do que existem no total, a probabilidade é 0 e não há conta.

Números que caem

Não há constantes a decorar neste tópico, mas há valores de contagem que aparecem em 14 dos 52 itens explicados e que, sabidos de cor, economizam minutos de prova.

C(n,2) = n(n−1)/2	4→6 · 5→10 · 6→15 · 8→28 · 10→45 · 12→66 · 16→120
C(n,3) = n(n−1)(n−2)/6	5→10 · 6→20 · 7→35 · 8→56 · 10→120 · 12→220
simetria	C(n,k) = C(n, n−k) — C(10,6) = C(10,4) = 210
combinações grandes vistas no corpus	C(9,5) = 126 · C(12,4) = 495 · C(12,5) = 792 · C(21,3) = 1.330 · C(28,3) = 3.276
potências de 2	2³ = 8 · 2⁵ = 32 · 2¹⁰ = 1.024
potências de 3	3³ = 27 · 3⁵ = 243
(1/2)ⁿ	n=4 → 0,0625 · n=5 → 0,03125 (o primeiro que passa de 95%)
frações unitárias	quanto maior o denominador, menor a probabilidade: 1/126 > 1/180

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Medido sobre os 29 itens errados já explicados. A distribuição é a mais concentrada de todo o corpus: 93% são um número trocado, e sobram um item de inversão e um de troca de termo. Isso muda o que significa “se defender” aqui — não há sinal de superfície para procurar, há uma conta para refazer. O que varia é de onde o número falso veio, e são quatro procedências.

O número afirmado é um número que já estava no enunciado. É a procedência mais frequente e a mais barata de escrever: a banca devolve uma proporção do texto como se fosse a probabilidade pedida. é igual a 3/8 — 6 novos em 16 servidores, quando a pergunta era “pelo menos um antigo” e a resposta é 7/8. é igual a 0,25 — a proporção de processos no lote, quando a pergunta era a probabilidade de exatamente 5 na amostra (0,192). é de 10% — a probabilidade de colar, sem multiplicar pela condicional de ser pego (9%). 60% dos clientes furtam energia — a razão 6 para 10 lida como parte-todo, quando o total é 16 e a fração é 37,5%. Defesa: se o valor afirmado é um número redondo que você já leu no enunciado, ele é suspeito por definição. Pergunte o que aquele número mede e se é isso que o item pediu.

O limite encosta no resultado. Em pelo menos quatro itens, a conta chega exatamente na fronteira e a desigualdade estrita decide sozinha. é superior a 70% quando o cálculo dá exatamente 70% — e exatamente 70% não é superior a 70%. é inferior a 15% quando dá 5/33 = 15,15%. é maior que a probabilidade de ela não ter bom nível de volatilidade quando são 130 de 260, metade exata, e as duas valem 0,5. ambos possuirão a mesma probabilidade de serem vencedores quando a regra diz “soma inferior a 10 vence A, caso contrário vence B” — o caso contrário engloba a igualdade, e o placar é 55 × 66. Defesa: não arredonde antes de simplificar, e leia superior a, inferior a e maior que como estritos.

O denominador é o errado. possui 20 elementos, dito do espaço amostral de duas mãos que expõem de 0 a 10 dedos — são 11 × 11 = 121, e o 20 sai de somar 10 + 10. é igual a, seguido de um valor calculado sobre o baralho cheio quando dez cartas já saíram e restam 42. é igual a, seguido de um valor sobre 2⁵ = 32 cartões quando o branco é uma terceira opção e há 3⁵ = 243. Defesa: escreva o denominador antes de qualquer outra coisa e confira se ele já incorpora as restrições do enunciado e o zero.

Falta o complementar. é inferior a 0,50 para “pelo menos um processo de prestação de contas”, quando a chance de nenhum é 0,0066 e a resposta é 0,993. será superior a 0,3 quando o evento pedido é o oposto do que o diagrama define e a conta pede o total pela inclusão-exclusão primeiro. será superior a 1% quando três atrasos independentes valem 0,2³ = 0,8%. Defesa: sublinhe pelo menos, nenhum, no mínimo e ao menos. Nenhum deles se responde por contagem direta.

Os dois itens restantes. Um inverte quantificadores em simbolização — ∀x ∃y (D(x) ˄ J(y) → V(x,y)) para “há pelo menos um desembargador mais velho que todos os juízes”, que é ∃x ∀y; a ordem dos quantificadores na frase é a ordem na fórmula. O outro troca acumulado por exato: é dada por #(D8)/#(D) quando Dn foi definido como “até n analistas” e o valor exato é a diferença de dois acumulados. São dois itens em 29 — reconheça-os, mas não organize seu estudo em torno deles.

E um sinal que não é sinal. Vinte e quatro itens do tópico afirmam um limite (superior a / inferior a) em vez de um valor exato, e o formato não diz nada sobre o gabarito: 10 são Certo e 14 são Errado. Alguns candidatos leem “superior a” como aviso de armadilha. Não é. É só a forma que a banca usa para não ter que escrever a fração exata.

Erros clássicos

Responder “pelo menos um” com uma proporção. É o erro mais explorado do tópico. Pelo menos um é sempre 1 − P(nenhum), e P(nenhum) quase sempre é uma razão de combinações.

Multiplicar por k! só de um lado. Se o denominador é C(n,k) — escolha simultânea —, o numerador também é sem ordem. Incluir a ordem apenas no numerador multiplica a resposta por k! e derruba o item.

Esquecer o coeficiente binomial. “Duas monofásicas e uma trifásica” em três residências não acontece de uma maneira: acontece de C(3,1) = 3. Sem o coeficiente sai 1/8 em vez de 3/8.

Somar percentuais de eventos independentes. Três dias com 20% de atraso cada não dão 60%. Dão 0,2³ = 0,8%.

Manter o total no denominador de uma condicional. Condicionar é encolher o espaço amostral: 450/480, nunca 450/1.000.

Confundir P(A dado B) com P(B dado A). São números diferentes, e o enunciado costuma fornecer um exatamente para cobrar o outro.

Esquecer o zero e a categoria neutra. A mão fechada, a questão em branco, os indiferentes e os não sabem existem. Não se pode empilhar a categoria neutra no evento afirmado, nem excluí-la do espaço amostral.

Montar o diagrama inteiro sem precisar. Quando a interseção tripla já vem dada no enunciado, basta dividir pelo total. Inclusão-exclusão é para fechar o denominador, não para exibir trabalho.

Achar que processo determinístico tem probabilidade intermediária. Regra de sucessão fixa não gera aleatoriedade: a resposta é 0 ou 1, e o percentual que o item oferece é cenário.

Nota sobre a cobertura. Dos 57 itens marcados neste tópico, 52 estão explicados. Os 5 restantes chegaram do PDF com a notação matemática destruída — símbolos de probabilidade substituídos por caracteres ilegíveis — e não puderam ser julgados. Nenhuma frequência acima os inclui.