Probabilidade total e Teorema de Bayes

A ideia que organiza o assunto

Os dois teoremas são um só movimento, visto de dois lados.

Você tem uma população repartida em causas — tipos de cliente, tipos de plano, perfis de condutor — e, para cada causa, sabe a chance de um efeito B acontecer dentro dela. Probabilidade total desce a árvore: soma, sobre todos os ramos, a probabilidade do ramo vezes a probabilidade de B dentro dele. O resultado é P(B), a chance de B na população inteira.

Bayes sobe a mesma árvore. Dado que B aconteceu, qual ramo o produziu? A resposta é aquele ramo dividido pela soma de todos os ramos — isto é, dividido pelo P(B) que a probabilidade total acabou de calcular. Por isso a fórmula de Bayes tem a probabilidade total embutida no denominador, e por isso não existe Bayes sem antes fechar a partição.

Guarde o teste que identifica o tópico: sempre que o item disser “sabendo que ocorreu B, a probabilidade de A”, e A for uma das causas possíveis de B, a conta é um ramo sobre a soma dos ramos. O trabalho nunca está na fórmula — está em não perder nenhum ramo e em não contar nenhum duas vezes.

Este tópico é fino no corpus: 1 item, explicado. A mecânica geral de probabilidade está medida na nota de Probabilidade: união, complementar, condicional, regra do produto, que tem 52 itens explicados — e onde outros itens cobram probabilidade total e Bayes diretamente. Comece por ela.

Como funciona

A partição. Os ramos precisam ser mutuamente excludentes e cobrir tudo: A₁, A₂, …, Aₙ com interseções vazias e união igual ao espaço amostral. A partição mais comum é a de dois ramos, A e Ā.

Probabilidade total.

P(B) = P(B|A₁)·P(A₁) + P(B|A₂)·P(A₂) + … + P(B|Aₙ)·P(Aₙ)

Com dois ramos, P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Ā)·P(Ā). Um caso que a prova gosta: se P(B|Ā) = 0, todo o B mora dentro de A, e daí saem de uma vez P(A ∩ B) = P(B) e P(A ∪ B) = P(A).

Bayes.

P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)

com o P(B) do passo anterior. A leitura correta é essa: numerador é o ramo pedido; denominador é a soma de todos os ramos que chegam a B.

Ramos com mais de um andar. Um ramo pode se subdividir antes de alcançar B, e aí o peso do ramo é o produto de todos os andares. Um candidato que cola só pode ser aprovado se não for pego e passar: o ramo vale 0,10 × 0,10 × 0,95 = 0,0095, não 0,10 × 0,95. Esquecer um andar muda o denominador e derruba o item.

Vocabulário que sinaliza a inversão. Sabendo que, dado que, tendo ocorrido, sabe-se que o teste deu positivo: o condicionamento já aconteceu, e o item quase sempre dá P(B|A) para cobrar P(A|B).

Ordem de trabalho. Identifique a partição; escreva o peso de cada ramo; multiplique cada peso pela condicional de B naquele ramo; some para obter P(B); divida o ramo pedido por P(B).

O que decide os itens

o item diz	o que ele quer	a conta
a probabilidade de B (sem condição)	probabilidade total	soma dos ramos
sabendo que B ocorreu, a chance de ser A	Bayes	ramo A ÷ soma dos ramos
a chance de A e B juntos	regra do produto	P(A) · P(B dado A)
a chance de B dentro de A	condicional simples	já é um dado do enunciado

P(A dado B) × P(B dado A). É a distinção que define o tópico. São números diferentes, e o enunciado fornece um exatamente para cobrar o outro. A ponte é Bayes.

A partição está completa? Some os pesos dos ramos: tem que dar 1. Se não dá, falta ramo — e um denominador incompleto produz um resultado plausível e errado.

Os ramos se sobrepõem? Se duas causas podem ocorrer juntas, não são uma partição e a soma conta a interseção duas vezes.

O denominador é P(B), não P(A). O erro mais barato de cometer é dividir pelo peso do ramo em vez de dividir pela soma.

Distratores no enunciado. Itens deste formato costumam trazer dados que não entram na conta — uma variável a mais, um percentual de outro eixo. Depois de identificar qual condicional foi dada e qual foi pedida, verifique se a marginal do denominador está no enunciado; quando está, os demais números costumam existir só para ocupar tempo.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

A base é de um único item, e ele está explicado. Um item não é frequência: não há percentual a citar, não há distorção dominante e nenhuma frase desta seção deve ser lida como “a banca costuma”. O primeiro parágrafo é o que o corpus mostra; os dois seguintes são inferências marcadas, apoiadas no tópico vizinho de probabilidade e não nesta base.

O item explicado é um número trocado, e o número está a meio ponto do certo. Sabendo que um candidato foi aprovado, a probabilidade de ser um que não estuda com afinco e não cola na prova é superior a 17,5% — o trecho falso é é superior a 17,5%. A partição tem três ramos: 20% estudam e não colam, aprovando 0,20 × 0,80 = 0,16; 70% não estudam nem colam, aprovando 0,70 × 0,05 = 0,035; 10% colam, e desses só os 10% não pegos podem passar, aprovando 0,10 × 0,10 × 0,95 = 0,0095. Soma: 0,2045. O ramo pedido dá 0,035 / 0,2045 ≈ 17,1%, que não supera 17,5%. Um andar esquecido no ramo de quem cola já levaria o denominador para outro valor e o gabarito junto.

A defesa, portanto, é aritmética e não é leitura — sustentado pelo tópico vizinho, não por esta base. Lá, sobre 29 itens errados, 93% são um valor numérico trocado. Com um item aqui isso é hipótese, não frequência — mas é a hipótese que vale levar: o enunciado é honesto, a árvore é montável, e o que está em julgamento é o número final. Refaça a conta; não julgue pela plausibilidade do percentual.

Espere também o limite colado no resultado — um caso, não um padrão. 17,1% contra 17,5% é uma margem de quatro décimos. Arredondar no meio do caminho — ou parar em “mais ou menos 17%” — perde o item. Some os ramos com os valores exatos e só divida no fim.

Erros clássicos

Inverter o condicionamento sem Bayes. Tratar P(B|A) como se fosse P(A|B) é o erro que o tópico inteiro existe para cobrar.

Dividir pelo ramo em vez de dividir pela soma. O denominador de Bayes é sempre P(B), a probabilidade total.

Perder um andar do ramo. Quando uma causa passa por duas etapas antes de chegar a B, o peso é o produto das duas. É onde mora a maior parte dos erros de denominador.

Usar uma partição incompleta. Se os pesos dos ramos não somam 1, a conta está errada antes de começar.

Confundir P(B) com a condicional de um ramo. P(B|A) = 0,4 não quer dizer que P(B) = 0,4; com P(A) = 0,2 e P(B|Ā) = 0, P(B) é 0,08.

Achar que o enunciado dá só o necessário. Dá mais. Escolha os números pela estrutura da árvore, não pela ordem em que aparecem no texto.