Vetor autorregressivo (VAR): defasagens de todas as variáveis; estacionaridade exigida

A ideia que organiza o assunto

O modelo de equações simultâneas da macroeconomia tradicional obriga o pesquisador a decidir, antes de olhar os dados, quem causa quem: esta variável é exógena, aquela é endógena, este coeficiente é zero por hipótese teórica. Christopher Sims observou que essas restrições eram, na expressão que ficou, incríveis — não vinham da teoria com a força que se lhes atribuía, e delas dependiam todos os resultados.

A resposta foi virar o problema do avesso. O vetor autorregressivo parte da posição oposta: não existe variável exógena. Todas são endógenas, todas são explicadas, e cada uma é escrita como função linear das defasagens de todas as variáveis do sistema — inclusive das suas próprias. Um VAR(p) com três variáveis é um sistema de três equações, cada uma com 3p defasagens mais a constante, e as três compartilham exatamente o mesmo conjunto de regressores.

Essa simetria é a ideia que organiza o assunto, e dela decorre quase tudo o que se cobra:

como todas as equações têm os mesmos regressores, cada uma pode ser estimada isoladamente por MQO, sem perda de eficiência;
como ninguém foi declarado exógeno, o modelo não identifica relações contemporâneas sozinho — a identificação tem de ser imposta depois, e é aí que as hipóteses voltam pela porta dos fundos;
como os coeficientes individuais são muitos e quase ilegíveis, o VAR não se lê por coeficiente, e sim pelos três produtos que dele se extraem: resposta a impulso, decomposição da variância e causalidade de Granger.

E há uma condição prévia sem a qual nada disso vale: as séries precisam ser estacionárias. Um VAR é um sistema de autorregressões, e uma autorregressão sobre série integrada produz inferência inválida e regressão espúria. A maquinaria de raiz unitária e cointegração que sustenta esse requisito é assunto da ordem 12; aqui basta saber que o requisito existe, que ele não se dispensa, e o que se faz quando ele não é atendido — diferenciar, ou, havendo cointegração, trocar o VAR pelo modelo vetorial de correção de erros.

Por que se usa (e o que custa)

Ganha-se previsão e ganha-se um retrato honesto da dinâmica conjunta de um conjunto de séries sem comprometer-se, de saída, com um modelo estrutural. Para um banco central que acompanha juros, câmbio, inflação e produto, isso é exatamente o instrumento: as quatro se influenciam mutuamente com defasagem, e nenhuma teoria resolve de antemão a ordem das influências.

Paga-se em parâmetros. O número deles cresce com o quadrado do número de variáveis e linearmente com as defasagens: k variáveis e p defasagens dão pk² coeficientes de inclinação, e o k² é implacável — quatro variáveis com quatro defasagens já são 64 coeficientes, mais as constantes, estimados sobre séries macroeconômicas curtas. Daí a escolha de p por critérios de informação (Akaike, Schwarz, Hannan-Quinn) ser parte do procedimento e não um detalhe: defasagens de menos deixam autocorrelação no resíduo, defasagens demais consomem graus de liberdade e inflam a variância das previsões.

E paga-se em interpretação. O VAR na forma reduzida não diz nada sobre choques estruturais: os resíduos das equações são contemporaneamente correlacionados e não correspondem a nenhum choque econômico identificado. Para extrair sentido causal é preciso impor uma identificação, e a mais usada — a decomposição de Cholesky, que ordena as variáveis da mais para a menos exógena contemporaneamente — é uma hipótese do pesquisador, não um resultado dos dados. Trocar a ordem muda as funções de resposta a impulso. O modelo que nasceu para fugir das restrições incríveis acaba precisando de uma.

Como funciona

A forma. Em um VAR(p), o vetor de k variáveis no instante t é escrito como uma constante mais p matrizes de coeficientes multiplicando o próprio vetor defasado em 1, 2, …, p períodos, mais um vetor de erros. Cada equação, lida isoladamente, regride uma variável sobre p defasagens de todas as k variáveis — as suas e as dos demais. Nenhuma variável contemporânea aparece do lado direito na forma reduzida: é isso que torna os regressores predeterminados e legitima o MQO equação a equação.

Estabilidade e estacionariedade. O sistema é estável quando as raízes do polinômio característico estão fora do círculo unitário — equivalentemente, quando todos os autovalores da matriz companheira têm módulo menor que um. Um VAR estável com erros bem-comportados é estacionário, e só então os coeficientes têm distribuição assintótica usual e as previsões convergem para a média de longo prazo. Se alguma série tem raiz unitária, o sistema em nível não é estável e a inferência convencional deixa de valer.

O que fazer com séries integradas. Duas rotas, e a escolha depende de haver ou não cointegração. Sem cointegração, diferencie e estime o VAR nas diferenças. Com cointegração, diferenciar joga fora a relação de longo prazo: estima-se então um VECM, que é o VAR em diferenças acrescido do termo de correção de erro — o desequilíbrio defasado da relação cointegrante, que puxa o sistema de volta ao equilíbrio. Note a hierarquia: o VECM não substitui o requisito de estacionariedade, ele o atende por outro caminho.

Funções de resposta a impulso. Traçam o efeito, ao longo do tempo, de um choque de um desvio-padrão em uma variável sobre todas as demais. Em um sistema estacionário a resposta se dissipa; num sistema com raiz unitária o efeito é permanente, e é por isso que a estacionariedade não é formalidade. As respostas dependem da identificação escolhida.

Decomposição da variância do erro de previsão. Reparte, para cada horizonte, quanto da incerteza da previsão de uma variável se deve a choques em cada uma das variáveis do sistema. Responde “quem explica quem” em proporção, e não em sinal.

Causalidade de Granger. X causa Y no sentido de Granger quando as defasagens de X ajudam a prever Y além do que as defasagens do próprio Y já preveem. Testa-se por exclusão em bloco das defasagens de X na equação de Y — um teste F ou qui-quadrado de restrições conjuntas. O nome é infeliz e a prova vive disso: trata-se de precedência preditiva, não de causalidade. Duas variáveis podem exibir causalidade de Granger recíproca, nenhuma pode “causar” a outra de fato, e uma terceira variável omitida pode gerar a relação inteira. Uma variável que antecipa outra por expectativas — o mercado precificando hoje o que ocorrerá amanhã — produz o resultado com a causalidade econômica invertida.

O que decide os itens

Proposição	Verdade
há variáveis exógenas no VAR	não — todas são endógenas
cada equação usa as defasagens de todas as variáveis	sim, inclusive as próprias
os regressores diferem entre as equações	não — são os mesmos em todas
variáveis contemporâneas entram na forma reduzida	não — só defasagens
estimação exige método de sistema	não — MQO equação a equação basta
a estacionariedade é exigida	sim
a ordem p é escolhida por critério de informação	sim (AIC, Schwarz, Hannan-Quinn)
a forma reduzida identifica choques estruturais	não — a identificação é imposta
causalidade de Granger é causalidade	não — é precedência preditiva

Situação das séries	O que se estima
estacionárias em nível	VAR em nível
integradas, sem cointegração	VAR em diferenças
integradas e cointegradas	VECM (VAR em diferenças + termo de correção de erro)

Produto do VAR	O que responde
resposta a impulso	qual o efeito de um choque, e por quanto tempo
decomposição da variância	que fração da incerteza de previsão cabe a cada choque
causalidade de Granger	as defasagens de X ajudam a prever Y

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

São dois os itens que chegaram a este tópico, ambos da mesma prova do BACEN, e dois não sustentam frequência alguma — o número é piso, e baixo. Vale registrar o que eles são, porque o par é sugestivo: um cobra a definição do VAR(p) e é Certo; o outro nega o requisito de estacionariedade e é Errado. Somem-se a isso os itens desta disciplina que ficaram fora do acervo por notação estatística perdida na extração, e a leitura correta é que o tópico foi cobrado mais do que estes dois itens revelam.

O que segue é julgamento sobre como a banca costuma cobrar o assunto, ancorado nesses dois itens.

Dispensar uma condição. Foi exatamente a forma do Errado medido: “não é necessário que as séries incluídas sejam estacionárias”. Em séries temporais, item que libera uma exigência é quase sempre falso, porque a exigência raramente é dispensada — ela é contornada, por diferenciação ou por reespecificação em VECM, o que é coisa diferente de não existir. Ao ler não é necessário, dispensa- se, independe de, suspeite antes de analisar.

Reproduzir a definição corretamente. O Certo medido é a definição literal do VAR(p), sem nenhum ornamento. É o formato que a banca usa para o Certo neste tópico: a descrição limpa do mecanismo. Não procure pegadinha onde o item apenas enuncia o que o modelo é.

Declarar alguma variável exógena. A forma mais provável de Errado ainda não vista no acervo, porque desfaz o princípio fundador do modelo. Qualquer redação que separe “as endógenas” das “exógenas” dentro de um VAR está errada; se houvesse exógena, seria um VARX, e é outro nome.

Traduzir Granger por causa. O erro mais rentável do assunto inteiro, e ele se escreve sozinho: “o teste indicou que a taxa de câmbio causa a inflação”. O teste indica que as defasagens de uma ajudam a prever a outra. Espere também a versão elegante do mesmo erro — inferir de uma resposta a impulso o “efeito causal” de uma política sem menção à identificação adotada.

Confundir os três produtos. Resposta a impulso mede efeito ao longo do tempo; decomposição da variância reparte a incerteza da previsão; Granger testa ganho preditivo. Um item que dê a um deles o produto de outro — “a decomposição da variância mostra por quantos períodos o choque persiste” — é o erro canônico.

Misturar o VAR com o modelo de equações simultâneas. Ordem de identificação, condição de ordem e posto, variável instrumental: tudo isso pertence ao vizinho, e o VAR foi criado justamente para prescindir dele na forma reduzida. Mas cuidado com o excesso simétrico: dizer que o VAR nunca precisa de hipótese de identificação também é falso, porque a leitura estrutural exige uma.

Trocar o papel do VECM. Ele não é o modelo das séries não cointegradas nem uma alternativa livre ao VAR: é o que se usa quando as séries são integradas e cointegradas. Item que ofereça VECM para séries estacionárias, ou diferenciação para séries cointegradas, está trocando a linha da tabela.

Erros clássicos

Achar que o VAR dispensa estacionariedade porque “é só previsão”. A previsão é justamente o que se degrada: sem estabilidade, o sistema não converge para média alguma e os intervalos de previsão perdem sentido.

Confundir estacionariedade com estabilidade. São faces da mesma condição, e o candidato costuma saber uma e não reconhecer a outra: raízes do polinômio característico fora do círculo unitário, autovalores da matriz companheira dentro. A inversão dessas duas posições é armadilha pronta.

Diferenciar séries cointegradas. Tecnicamente produz um VAR estacionário, e por isso parece seguro; na prática descarta a relação de longo prazo que era o objeto do estudo. O instrumento certo é o VECM.

Supor que o VAR precisa de estimação por sistema. Como todas as equações têm os mesmos regressores, MQO equação a equação já é eficiente. A intuição vinda de SUR engana aqui.

Ignorar que a ordem das variáveis importa. Sob identificação recursiva de Cholesky, reordenar as variáveis muda as respostas a impulso. Uma resposta a impulso sem ordenação declarada não é um fato, é uma escolha.

Ler causalidade de Granger recíproca como contradição. Não é: duas séries podem perfeitamente ajudar a prever uma à outra, e isso apenas confirma que o teste não fala de causa.

Achar que mais defasagens é sempre mais seguro. Cada defasagem adicional custa k coeficientes por equação. Em série macroeconômica trimestral, é a diferença entre estimar e adivinhar.