Axiomas das preferências e utilidade ordinal; substitutos, complementares e quase-lineares

A ideia que organiza o assunto

A teoria do consumidor não começa com utilidade. Começa com uma relação de preferência: dadas duas cestas de bens, o consumidor sabe dizer qual prefere, ou que lhe são indiferentes. A função utilidade aparece só depois, e aparece como conveniência matemática — um número colado em cada cesta, de tal modo que cestas preferidas recebam números maiores. Nada além disso.

Daí sai a frase que organiza o assunto inteiro, e que vale a pena carregar para a prova em uma linha só:

A utilidade é ordinal. Qualquer transformação estritamente crescente de uma função utilidade representa exatamente as mesmas preferências.

Se u representa uma preferência e f é estritamente crescente, então f(u) representa a mesma preferência: as mesmas curvas de indiferença, a mesma taxa marginal de substituição, a mesma demanda, as mesmas escolhas ótimas em todo preço e toda renda. u = xy, u = x²y², u = ln x + ln y e u = xy − 1000 são a mesma preferência escrita de quatro maneiras. Não há experimento, nem observação de escolha, que distinga uma da outra.

A consequência é a parte que decide itens: o número que a função devolve não significa nada. Utilidade 100 não é o dobro de utilidade 50. A diferença entre duas utilidades não mede satisfação nenhuma. A utilidade de uma pessoa não se compara nem se soma à de outra. O que tem conteúdo é só a ordem — e, derivada dela, a razão entre utilidades marginais, que sobrevive porque a transformação multiplica as duas pelo mesmo fator e o fator se cancela.

Isso não é filosofia de rodapé: é o método de resolver o tópico. Diante de qualquer afirmação sobre utilidade, aplique mentalmente uma transformação estritamente crescente — eleve ao quadrado, tome o logaritmo, some uma constante. Se a afirmação deixar de valer, ela dependia do número e não da ordem, e o item está errado. Dos 10 itens que chegaram a este tópico, esse único cheque resolve sozinho os dois que a banca escreveu sobre a natureza da utilidade, e ilumina metade dos demais.

Por que se usa (e o que custa)

A ordinalidade não é uma modéstia retórica: é uma escolha metodológica com preço.

Ganha-se poder dedutivo a partir de hipóteses fracas. Hicks e Allen mostraram que tudo o que a teoria da demanda precisa — curvas de procura negativamente inclinadas para bens normais, homogeneidade de grau zero em preços e renda, exaustão do orçamento, decomposição do efeito-preço em substituição e renda — sai de uma simples ordenação de cestas. Não é preciso medir felicidade, nem supor que exista uma unidade de satisfação. Basta supor que o consumidor escolhe de maneira consistente, que é uma hipótese sobre comportamento observável.

Paga-se em comparação. Sem cardinalidade não se diz que alguém está duas vezes mais satisfeito, não se somam utilidades entre pessoas e desaparece o argumento utilitarista clássico de que transferir renda do rico para o pobre aumenta o bem-estar agregado porque a utilidade marginal da renda é decrescente. A economia do bem-estar teve de ser refundada sobre o critério de Pareto, que não exige comparação interpessoal — e que, em troca, é uma ordem incompleta: ele nada diz sobre a imensa maioria dos pares de alocações.

A cardinalidade volta em um lugar só, e limitada. A utilidade esperada de von Neumann-Morgenstern, usada em escolha sob incerteza, é cardinal apenas até transformação afim positiva — a·u + b, com a positivo. É o que permite falar em aversão ao risco pela concavidade de u. Fora desse contexto, a concavidade da função utilidade não é propriedade das preferências: some com uma transformação crescente.

Como funciona

Os axiomas, pelo que quebra quando faltam

Completude. Para quaisquer duas cestas A e B, vale A ≽ B, ou B ≽ A, ou ambas. Sem ela existem pares que o consumidor não sabe comparar, o ótimo pode não existir e nenhuma função utilidade pode ser construída, porque não há ordem total a representar.

Transitividade. Se A ≽ B e B ≽ C, então A ≽ C. Sem ela surgem ciclos de preferência, e com eles a bomba de dinheiro: o consumidor paga indefinidamente para trocar em círculo. É também a transitividade que impede curvas de indiferença de se cruzarem — a demonstração é o único argumento gráfico do tópico que cai literalmente na prova, e está abaixo.

Reflexividade. Toda cesta é pelo menos tão boa quanto ela mesma. Tecnicamente necessária, nunca controversa.

Completude e transitividade, juntas, são tudo o que a palavra racional significa aqui. Não há hipótese de egoísmo, de cálculo, de informação perfeita nem de bom gosto embutida no termo.

Continuidade. Pequenas mudanças na cesta não produzem saltos na ordenação; os conjuntos de cestas pelo menos tão boas, e no máximo tão boas, quanto uma cesta dada são fechados. É a hipótese que fecha o teorema da representação: preferências completas, transitivas e contínuas admitem representação por uma função utilidade contínua. O contraexemplo que vale memorizar é a preferência lexicográfica — comparar primeiro o bem 1 e só desempatar pelo bem 2 —, que é completa e transitiva e não admite função utilidade alguma. Continuidade é, portanto, hipótese de conveniência técnica, não de racionalidade.

Monotonicidade (mais é melhor). Dá às curvas de indiferença a inclinação negativa e impede regiões de espessura. Na versão estrita, aumentar a quantidade de qualquer bem já melhora a cesta; na versão fraca, aumentar todos os bens melhora.

Convexidade. Médias são pelo menos tão boas quanto extremos: se A ~ B, então qualquer combinação convexa de A e B é pelo menos tão boa quanto elas. Gera curvas convexas em relação à origem e taxa marginal de substituição decrescente. É a hipótese que garante que a tangência seja máximo, e não mínimo, e que a demanda varie suavemente. Sem convexidade, o ótimo tende ao canto.

O mapa de indiferença, propriedade por axioma

propriedade	axioma que a sustenta
curvas mais afastadas da origem são melhores	monotonicidade
as curvas não se cruzam	transitividade
por cada cesta passa uma curva	completude e continuidade
curvas negativamente inclinadas	monotonicidade
curvas convexas em relação à origem	convexidade

Por que não se cruzam. Suponha que duas curvas se toquem na cesta A. Tome B na primeira curva e C na segunda. Por construção A ~ B e A ~ C, logo, por transitividade, B ~ C. Mas B e C estão em curvas diferentes, isto é, em níveis de satisfação distintos pela monotonicidade — contradição. O cruzamento é a violação da transitividade tornada visível.

Taxa marginal de substituição

Ao longo de uma curva de indiferença a utilidade não muda, de modo que UMg_x · dx + UMg_y · dy = 0, e portanto

TMS = − dy/dx = UMg_x / UMg_y

É quanto de Y o consumidor aceita abrir mão para ganhar uma unidade a mais de X permanecendo igualmente satisfeito. É o conceito central porque é ordinal: uma transformação estritamente crescente multiplica as duas utilidades marginais pelo mesmo fator, e a razão não se altera.

Utilidade marginal decrescente não é a mesma coisa que TMS decrescente, e a distinção é exatamente o assunto do tópico. A primeira é cardinal e não é hipótese da teoria ordinal: existe transformação crescente que a torna crescente sem mexer em preferência nenhuma. A segunda é a convexidade, é ordinal e é a que a teoria usa.

As quatro famílias de preferências

Substitutos perfeitos. u = ax + by. O consumidor troca um bem pelo outro sempre à mesma razão. Curvas de indiferença retas, TMS constante igual a a/b.

Complementares perfeitos. u = min{ax, by}. Os bens só servem juntos, em proporção rígida. Curvas em L, com vértice sobre a reta ax = by. Não há substituição possível, e é por isso que o efeito-substituição é nulo nessa família.

Cobb-Douglas. u = x^a · y^b. O caso de manual, e o mais bem comportado: cada bem recebe uma parcela fixa da renda, independentemente dos preços.

Quase-lineares. u = v(x) + y, com v côncava — o bem y entra de forma linear. A TMS depende apenas de x, de modo que as curvas de indiferença são translações verticais umas das outras. A consequência que a banca cobra: o bem não linear tem efeito-renda nulo, e todo aumento de renda é absorvido pelo bem linear. É também a família em que o excedente do consumidor mede exatamente a variação de bem-estar, o que a liga diretamente ao tópico de dualidade.

O que decide os itens

As quatro famílias, lado a lado

família	forma	curvas de indiferença	TMS	consequência de demanda
Substitutos perfeitos	ax + by	retas de inclinação a/b	constante a/b	solução de canto, salvo se a/b = p_x/p_y, quando toda a reta orçamentária é ótima
Complementares perfeitos	min{ax, by}	em L, vértice em ax = by	indefinida no vértice; zero e infinito nos braços	consumo em proporção fixa; efeito-substituição nulo
Cobb-Douglas	x^a · y^b	convexas, assintóticas aos eixos	(a/b)·(y/x)	parcela fixa do gasto: p_x·x = [a/(a+b)]·R; elasticidade-renda 1, elasticidade-preço própria −1, cruzada 0
Quase-lineares	v(x) + y	translações verticais entre si	função só de x	efeito-renda nulo no bem não linear; toda a renda extra vai para o bem linear

Ordinal × cardinal: o que sobrevive à transformação

sobrevive a qualquer transformação estritamente crescente	não sobrevive
a ordenação das cestas	o valor numérico da utilidade
o mapa de curvas de indiferença	diferenças entre utilidades
a taxa marginal de substituição	a utilidade marginal de cada bem
as funções de demanda e a cesta ótima	a utilidade marginal ser decrescente
a convexidade das preferências	a concavidade da função utilidade
a classificação do bem em normal ou inferior	comparações entre pessoas

Axioma → o que se perde sem ele

axioma	o que quebra
completude	pares incomparáveis; não existe representação por utilidade
transitividade	ciclos de preferência; curvas de indiferença podem se cruzar
continuidade	não há função utilidade contínua — caso lexicográfico
monotonicidade	curvas podem ter inclinação positiva ou trechos espessos
convexidade	a tangência deixa de garantir máximo; ótimo tende ao canto

Sinais que classificam os bens

medida	positivo	negativo	zero
elasticidade-preço cruzada	substitutos	complementares	independentes — caso Cobb-Douglas
elasticidade-renda	bem normal (acima de 1, superior ou de luxo; entre 0 e 1, necessidade)	bem inferior	—

Condição de ótimo, e quando ela falha

O equilíbrio interior é TMS = p_x / p_y: a razão a que o consumidor aceita trocar iguala a razão a que o mercado permite trocar. Ela não vale em três situações que a banca explora: no vértice dos complementares perfeitos, onde não há TMS definida; nas soluções de canto dos substitutos perfeitos, onde a desigualdade nunca se fecha; e sempre que a convexidade falha, quando a tangência identifica um mínimo.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

A medição é dos 10 itens que chegaram a este tópico — 4 Certos e 6 Errados. Esse número é um piso, não um retrato: a banca nomeia o assunto no comando do grupo e itens curtos carregam poucos termos próprios, de modo que a classificação deixa itens de fora sistematicamente. Nenhuma frase abaixo deve ser lida como percentual de prova.

Primeiro, e o mais importante para quem vem de outras disciplinas: a modalidade do verbo não serve de nada aqui. Zero dos 10 itens contêm “sempre”, “nunca”, “todo”, “qualquer”, “apenas” ou “somente.” Não é que o sinal se inverta — é que não há sinal. Este tópico é feito de definições e formas funcionais, e uma definição é absoluta por natureza, de modo que não sobra hedge para a banca retirar. Quem chega à prova procurando absolutos não encontra o que grifar.

O que funciona no lugar é direção e endereço: os 6 itens errados erram, sem exceção, a direção de uma relação ou o objeto a que uma propriedade se prende. O sinal da elasticidade cruzada trocado; a violação da transitividade negada em vez de afirmada; a suficiência da abordagem ordinal invertida; a família de preferências trocada na leitura de uma forma funcional; a natureza da representação trocada de ordinal para cardinal; o canto apresentado como obrigatório onde há um caso de empate. Pergunte para que lado vai, e a que se prende — nunca com que força está dito.

Segundo: a banca entrega uma forma funcional e cobra uma propriedade. Metade dos itens do tópico parte de uma especificação concreta — x + ln y, 3x + 2y, x1 + 4x2 — ou nomeia a família em palavras e pede a consequência. A tabela das quatro famílias, acima, é literalmente a ferramenta de resolução: ler a forma, identificar a família, ler a consequência. Soma é substituto, mínimo é complementar, produto de potências é Cobb-Douglas, parcela linear somada a côncava é quase-linear. Os coeficientes mudam a razão de troca ou a proporção, nunca a família.

Terceiro: metade dos itens errados é inversão pura. Trocar dois sinais de lugar, negar o que a teoria afirma, afirmar o que ela nega. O restante troca um termo por seu vizinho — complementar por substituto, cardinal por ordinal — ou apaga o caso de exceção. São três operações, e todas as três se detectam relendo o item de trás para frente, do resultado para a hipótese.

Quarto, e contraintuitivo: os dois itens que carregam uma ressalva explícita são ambos Certos. “É possível que…”, “desde que estas existam” — a qualificação pertence à teoria, não ao redator do item: a primeira distingue possibilidade de necessidade, a segunda exige diferenciabilidade. A pergunta que sobrevive de tudo isso é de quem é a ressalva — quando ela vem da teoria, costuma sinalizar um item cuidadoso e correto, não uma armadilha.

Quinto: o tópico está vivo. A maioria dos itens medidos vem de 2023 em diante, inclusive do próprio caderno do BACEN, e o item do BACEN é sobre preferências quase-lineares — a família menos estudada das quatro e a que mais rende, porque sua propriedade decisiva, o efeito-renda nulo, é exatamente o tipo de direção que a banca gosta de inverter.

Erros clássicos

Tratar a utilidade como número. “A cesta A dá o dobro da satisfação da cesta B”, “a soma das utilidades dos consumidores aumentou”, “a função utilidade mede a intensidade da preferência”. Todas erradas pela mesma razão. Defesa: transforme a função e veja a afirmação evaporar.

Confundir utilidade marginal decrescente com convexidade. A teoria ordinal não supõe utilidade marginal decrescente — ela supõe TMS decrescente. Item que apresenta a primeira como axioma do consumidor está errado.

Inverter o sinal da elasticidade cruzada. Substitutos dão cruzada positiva, complementares dão negativa. Ancore em um par concreto: encarecido o café, sobe a demanda de chá; encarecida a gasolina, cai a de automóveis.

Ler o coeficiente em vez da operação. Em x1 + 4x2, o 4 é a razão de troca, e os bens são substitutos perfeitos. Só o mínimo produz complementares — a soma nunca produz.

Negar que curvas cruzadas violem a transitividade. O cruzamento é a violação. Esse é o único ponto do tópico em que um desenho é uma demonstração.

Tratar o canto como resultado obrigatório em substitutos perfeitos. São três desfechos, não um: canto em X, canto em Y e o empate com infinitas soluções quando a razão de preços iguala a TMS.

Atribuir o efeito-renda ao bem errado na quase-linear. Em u = x + ln y, quem absorve a renda é x, o bem linear; y fica preso pela razão de preços. Itens que mandam a renda adicional para o bem dentro do logaritmo estão errados.

Achar que a ordinalidade limita a teoria da demanda. Ela não limita: foi justamente a abordagem ordinal que fundamentou as propriedades gerais da curva de procura. O que se perdeu foi a comparação interpessoal, não a demanda.

Confundir racionalidade com egoísmo ou cálculo. Racional, aqui, quer dizer apenas completo e transitivo. Preferências altruístas, viciadas ou excêntricas são perfeitamente racionais no sentido do tópico.