Medidas de volatilidade: desvio-padrão, volatilidade histórica × implícita; EWMA e GARCH

A ideia que organiza o assunto

Preço se observa. Retorno se calcula. Volatilidade não se observa nunca — ela é o desvio-padrão de uma distribuição que jamais aparece por inteiro, e tudo o que existe são estimativas dela. Esse é o tópico inteiro: não “o que é volatilidade”, mas como se estima uma coisa invisível a partir de um punhado de retornos passados.

E aí a família se organiza por uma única pergunta:

Quais retornos entram na conta, e com que peso?

O desvio-padrão amostral responde: todos os da amostra, com o mesmo peso. A volatilidade histórica em janela móvel responde: os últimos N, com o mesmo peso, e os anteriores com peso zero. O EWMA responde: todos, com pesos que decaem geometricamente à medida que envelhecem. O GARCH responde o mesmo que o EWMA e acrescenta uma âncora — além de decair, a estimativa é puxada de volta para uma variância de longo prazo. Postas em fila, as três são a mesma família com memórias diferentes.

A volatilidade implícita não pertence a essa família, e é aí que está a segunda metade da ideia. Ela não olha para retorno nenhum: pega o preço de mercado de uma opção, inverte a fórmula de apreçamento e pergunta qual volatilidade o mercado precisa estar supondo para pagar aquele preço. Não é estimativa do passado — é expectativa sobre o futuro, extraída de quem está apostando dinheiro nele.

Guarde o eixo nessa forma, porque é o que separa as duas metades do tópico:

Histórica, EWMA e GARCH olham para trás. Implícita olha para frente.

Por que se usa (e o que custa)

O que se ganha ao complicar. A justificativa de toda a família ponderada é um fato empírico e não uma preferência estatística: os retornos financeiros exibem agrupamento de volatilidade. Dia turbulento vem seguido de dia turbulento; período calmo vem seguido de período calmo. Se a volatilidade de amanhã se parece mais com a de ontem do que com a de um ano atrás, dar o mesmo peso às duas é jogar informação fora. EWMA e GARCH existem para não jogar.

O que se paga. Modelos que reagem depressa também reagem a ruído. A estimativa passa a oscilar, o limite de risco que ela alimenta oscila junto, e a mesa é obrigada a desmontar posição por causa de um único dia atípico. Há um dilema permanente entre responsividade e estabilidade, e ele não tem solução ótima — tem calibragem.

O que a implícita compra e cobra. Compra o único olhar prospectivo do tópico, disponível em tempo real, sem esperar a série acumular. Cobra três coisas. Primeiro, depende do modelo: a implícita é a volatilidade que faz o modelo reproduzir o preço, de modo que modelo errado produz número errado — e sabe-se que o modelo é errado, porque volatilidades implícitas de opções sobre o mesmo ativo, com o mesmo vencimento e exercícios diferentes, não coincidem. Segundo, é extraída sob medida neutra ao risco e por isso embute um prêmio: não é a expectativa física de volatilidade, é ela mais o preço que o mercado cobra para carregar esse risco. Terceiro, só existe onde há mercado líquido de opções — o que exclui a maior parte dos ativos de um balanço bancário.

Como funciona

A matéria-prima. Retornos, quase sempre logarítmicos, porque somam ao longo do tempo e permitem anualizar. Em horizonte diário é praxe supor média zero: o retorno esperado de um dia é desprezível diante do desvio-padrão, e estimá-lo introduz mais erro do que corrige.

Desvio-padrão amostral. A raiz da média dos desvios ao quadrado, com divisor n − 1 quando a média é estimada da própria amostra e n quando é imposta como zero. Peso idêntico para toda observação — e é justamente esse peso idêntico que todo o resto do tópico ataca.

Anualização e a raiz do tempo. Volatilidade escala com a raiz do horizonte, não com o horizonte:

σ anual = σ diária × √252

Esta é a fórmula mais cobrada do tópico e a que carrega a premissa mais frágil: ela só vale se os retornos forem independentes e identicamente distribuídos. Havendo autocorrelação, ou justamente o agrupamento de volatilidade que motiva o resto da nota, a raiz do tempo subestima ou superestima o risco no horizonte longo.

Volatilidade histórica em janela móvel. Escolhe-se uma janela — 21, 63, 252 dias — e calcula-se o desvio-padrão dentro dela. Simples, transparente, replicável, e com dois defeitos que a prova conhece pelo nome:

efeito fantasma: um retorno extremo entra na janela e eleva a estimativa de uma vez; passados N dias ele sai da janela e a estimativa despenca, sem que nada tenha acontecido no mercado naquele dia. O salto é artefato da janela, não informação;
dilema do tamanho: janela curta reage rápido e é instável; janela longa é estável e chega atrasada.

EWMA — média móvel exponencialmente ponderada.

σ²ₜ = λ σ²ₜ₋₁ + (1 − λ) r²ₜ₋₁

Um parâmetro só. O λ, entre zero e um, é a memória: quanto maior, mais peso no passado e mais suave a série; quanto menor, mais reativa. A recursão é elegante porque guarda a série inteira em dois números — a estimativa de ontem e o retorno de ontem — e os pesos, vistos por extenso, decaem em progressão geométrica e somam um. O padrão consagrado do RiskMetrics é λ = 0,94 para dados diários. O que o EWMA não tem é âncora: não existe nele uma volatilidade de longo prazo para a qual a estimativa retorne, e por isso um choque desloca a previsão para sempre.

ARCH(q) — o modelo de Engle, que a nota precisa nomear. O EWMA é uma regra de ponderação; o ARCH é o modelo econométrico de onde vem toda a família, proposto por Engle em 1982 — autoregressive conditional heteroskedasticity, a heteroscedasticidade condicional autorregressiva. A ideia é que a variância não é constante, e sim condicional à informação passada:

σ²ₜ = ω + α₁ r²ₜ₋₁ + α₂ r²ₜ₋₂ + … + α_q r²ₜ₋q

Isto é: a variância condicional é uma função linear dos quadrados dos resíduos defasados — e essa frase, exatamente nessa forma, é a definição do modelo. Dela saem as duas coisas que se cobram.

A primeira é a simetria. O choque entra ao quadrado, e o quadrado apaga o sinal: queda e alta de mesma magnitude elevam igualmente a variância prevista. O ARCH é, por construção, cego ao efeito alavancagem.

A segunda é a limitação clássica do ARCH puro: para reproduzir a persistência que se observa nas séries — volatilidade alta que dura semanas — ele precisa de muitas defasagens, isto é, de um q grande. Isso multiplica parâmetros, consome graus de liberdade na estimação e obriga a impor não negatividade a cada αᵢ para que a variância prevista não saia negativa. Um modelo parcimonioso ele não é. É essa limitação que motiva o GARCH: Bollerslev (1986) troca a soma longa de defasagens por um único termo β σ²ₜ₋₁, que equivale a um ARCH de ordem infinita com pesos decaindo geometricamente — mesma persistência, três parâmetros.

GARCH(1,1). Resolve de uma vez os dois defeitos apontados acima — a falta de parcimônia do ARCH e a falta de âncora do EWMA:

σ²ₜ = ω + α r²ₜ₋₁ + β σ²ₜ₋₁

Três parcelas com três papéis distintos: ω é a constante que ancora, α mede a reação ao choque mais recente, β mede a persistência da estimativa anterior. Delas saem os resultados que se cobram:

estacionariedade exige α + β < 1;
a variância de longo prazo é V = ω / (1 − α − β);
α + β é a persistência: quanto mais perto de um, mais devagar a previsão volta a V;
a previsão para horizontes cada vez maiores converge para V — o GARCH tem reversão à média, e essa é a sua diferença essencial para o EWMA.

E a relação entre os dois se escreve numa linha: o EWMA é o caso particular do GARCH(1,1) com ω = 0 e α + β = 1, isto é, um IGARCH. Sem constante, não há para onde reverter.

A assimetria que o GARCH simétrico não vê. Nos mercados acionários, queda eleva a volatilidade mais do que alta de mesma magnitude — o efeito alavancagem. O GARCH(1,1) não pode captá-lo, e a razão é aritmética: o choque entra ao quadrado, e o quadrado apaga o sinal. Corrigir isso exige especificações assimétricas, o EGARCH e o GJR-GARCH, que separam o tratamento do choque negativo.

Os fatos estilizados que justificam tudo isso. Valem como bloco, porque a banca costuma testá-los diretamente: retornos com caudas pesadas e leptocurtose, ou seja, eventos extremos mais frequentes do que a normal prevê; retornos sem autocorrelação relevante, mas retornos ao quadrado fortemente autocorrelacionados — que é a assinatura estatística do agrupamento de volatilidade; reversão à média da volatilidade no longo prazo; e a assimetria já descrita.

Volatilidade implícita. Observa-se o prêmio da opção no mercado e resolve-se a fórmula de Black-Scholes-Merton de trás para frente, buscando a volatilidade que reproduz aquele preço. Não há solução fechada: obtém-se por método numérico. O achado clássico é que, ao repetir o procedimento para vários preços de exercício, as implícitas não formam uma reta — desenham o sorriso de volatilidade, e nos mercados acionários um sorriso torto, com implícitas maiores nas opções de venda fora do dinheiro. Isso é evidência contra a premissa de volatilidade constante do próprio modelo que se usou para extrair o número, e é o que se descreve como superfície de volatilidade quando se acrescenta a dimensão do prazo. O VIX é a expressão institucional da ideia: uma volatilidade implícita de trinta dias, calculada a partir de uma carteira de opções sobre índice, tratada pelo mercado como termômetro de tensão.

Volatilidade realizada. Vale mencionar porque o edital moderno a cobra junto: somando quadrados de retornos intradiários de alta frequência, obtém-se uma medida quase observável da volatilidade do dia. É a ponte entre a estimativa e o dado.

O que decide os itens

Histórica × implícita — o eixo principal:

	histórica (inclui EWMA e GARCH)	implícita
fonte	série de retornos passados	preço de mercado da opção
direção	retrospectiva	prospectiva
depende de modelo de apreçamento	não	sim
medida	física	neutra ao risco (embute prêmio de risco)
disponibilidade	qualquer ativo com série	só onde há opção líquida

EWMA × GARCH — a distinção mais cobrada dentro da família:

	EWMA	GARCH(1,1)
parâmetros	um (λ)	três (ω, α, β)
constante	não tem	tem (ω)
reversão à média	não	sim, para V = ω/(1 − α − β)
efeito de um choque	permanente	dissipa-se
relação	é o GARCH com ω = 0 e α + β = 1	caso geral

Janela móvel × ponderação exponencial — pesos iguais dentro da janela e zero fora, contra pesos que decaem sem corte. O efeito fantasma é defeito da janela móvel e não do EWMA; atribuí-lo ao EWMA é troca de termo.

ARCH × GARCH — o ARCH(q) faz a variância condicional depender só dos quadrados dos resíduos defasados; o GARCH acrescenta a variância defasada (β σ²ₜ₋₁) e com ela a parcimônia. Item que cobre a limitação do ARCH puro está cobrando isto: muitas defasagens para reproduzir a persistência — e é o motivo histórico do GARCH. Ambos são simétricos.

Variância × volatilidade — os modelos são escritos em variância: EWMA, ARCH e GARCH recursam σ², não σ. Onde há fórmula, expressão ou conta, a distinção decide: expressão que devolva σ onde o modelo entrega σ² está errada, e é um erro fácil de esconder no meio de uma linha correta. Na prosa, não decide. O único item deste tópico no acervo afirma que “a volatilidade condicional é uma função linear dos quadrados dos resíduos” — em rigor é a variância condicional que é linear nos resíduos ao quadrado — e o gabarito é Certo. A CEBRASPE trata os dois termos como intercambiáveis quando descreve um modelo, e cobrar ali a diferença seria cobrar vocabulário, não conceito. Regra prática: exija σ² onde houver sinal de igual; não o exija onde houver descrição.

Escala com o tempo — variância é proporcional ao horizonte; volatilidade, à raiz dele. Todo item que faça a volatilidade crescer linearmente com o prazo está errado.

Simétrico × assimétrico — GARCH e EWMA tratam igualmente choque positivo e negativo; EGARCH e GJR-GARCH não. Item que atribua captura do efeito alavancagem ao GARCH(1,1) padrão erra a atribuição.

Sorriso de volatilidade — é evidência de que a premissa de volatilidade constante não se sustenta, não de que o mercado esteja ineficiente nem de que a fórmula esteja mal aplicada.

Números que caem


anualização	σ anual = σ diária × √252
escala da variância × da volatilidade	linear no tempo × raiz do tempo
EWMA	σ²ₜ = λ σ²ₜ₋₁ + (1 − λ) r²ₜ₋₁
λ consagrado (RiskMetrics, diário)	0,94
ARCH(q), de Engle (1982)	σ²ₜ = ω + α₁ r²ₜ₋₁ + … + α_q r²ₜ₋q
GARCH(1,1), de Bollerslev (1986)	σ²ₜ = ω + α r²ₜ₋₁ + β σ²ₜ₋₁
condição de estacionariedade	α + β < 1
variância de longo prazo	V = ω / (1 − α − β)
persistência	α + β
EWMA como caso particular	GARCH(1,1) com ω = 0 e α + β = 1 (IGARCH)
horizonte do VIX	30 dias
divisor do desvio-padrão amostral	n − 1 (n quando a média é imposta como zero)

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

O acervo já tem item aqui, e ele aponta numa direção que vale registrar antes do julgamento: “De acordo com o modelo ARCH, a volatilidade condicional é uma função linear dos quadrados dos resíduos, o que representa uma limitação desse modelo” — Certo. Duas lições. A primeira é que a banca cobra o ARCH pelo nome e pela forma funcional, e cobra a limitação junto com a definição. A segunda é que ela usou volatilidade onde o modelo escreve variância num item que é Certo: na prosa os dois termos passam; a distinção só decide dentro de uma fórmula. O resto desta seção é julgamento.

Dar reversão à média ao EWMA. O formato mais provável de todos, porque a frase fica bonita: “o EWMA incorpora a reversão da volatilidade à sua média de longo prazo, atribuindo pesos decrescentes às observações mais antigas”. A segunda metade está correta e a primeira é exatamente o que o EWMA não faz. Defesa: sem ω não há para onde reverter. Reversão à média é a assinatura do GARCH.

Inverter a condição de estacionariedade. “α + β > 1”, ou “α + β = 1 garante a estacionariedade”. A soma tem de ser menor que um; igual a um é precisamente o caso não estacionário que se chama IGARCH e que coincide com o EWMA.

Fazer a volatilidade escalar linearmente com o tempo. “A volatilidade anual é obtida multiplicando-se a diária pelo número de dias úteis do ano.” É a variância que escala assim. Defesa: quem escala linearmente é o quadrado.

Apresentar a implícita como previsão objetiva do futuro. “A volatilidade implícita corresponde à expectativa do mercado quanto à volatilidade futura do ativo.” Soa irrepreensível, e o que falta é que ela é extraída sob medida neutra ao risco, embutindo prêmio. Defesa: implícita é expectativa mais prêmio, e depende do modelo usado para extraí-la.

Trocar o sentido da extração. Descrever a implícita como insumo do modelo de apreçamento em vez de resultado da inversão dele. No uso normal, a volatilidade entra e o preço sai; na implícita, o preço entra e a volatilidade sai.

Atribuir o efeito fantasma ao modelo errado. É defeito da janela móvel com pesos iguais. Colá-lo no EWMA ou no GARCH é troca de termo, e o item costuma descrever o fenômeno com perfeição antes de errar o dono.

Dar ao GARCH(1,1) a captura da assimetria. O choque entra ao quadrado; o sinal se perde. Quem capta assimetria é EGARCH ou GJR-GARCH.

Explicar o sorriso de volatilidade pela causa errada. Ele não decorre de erro de cálculo, de iliquidez pontual nem de ineficiência do mercado: decorre de a distribuição real ter caudas mais pesadas do que a normal suposta pelo modelo.

Absolutos sobre qual medida é superior. “A volatilidade implícita é sempre superior à histórica como estimador.” Superior para quê, em que ativo, com que liquidez? Defesa: pergunte de quem é o absoluto — nenhum livro do tópico afirma isso sem condição.

Confundir o papel do λ. Item que diga que λ maior torna a estimativa mais reativa inverteu: λ maior é mais memória, mais suavidade, menos reação.

Erros clássicos

Tratar volatilidade como algo que se mede. Ela se estima, e cada método é uma hipótese diferente sobre o que conta como informação. Quem entende isso nunca descreve um resultado de EWMA ou GARCH como “a volatilidade do ativo”.

Confundir volatilidade com risco, e risco com perda. Volatilidade é dispersão, e trata desvios para cima e para baixo com o mesmo peso. Medidas de risco de perda — VaR, perda esperada na cauda — são outra coisa, e a volatilidade é insumo delas, não substituta.

Esquecer que os modelos são escritos em variância. Somar, ponderar e prever se faz com σ²; só no fim se extrai a raiz. Ponderar volatilidades diretamente é erro de construção — numa conta ou numa fórmula. O rigor não se transporta para a prosa: dizer que a volatilidade condicional é função linear dos quadrados dos resíduos é descrição aceita do ARCH, e o acervo tem esse item como Certo. Marque o deslize onde ele muda um resultado, não onde ele é sinônimo de uso corrente.

Achar que o ARCH e o GARCH diferem na assimetria. Não diferem: os dois tratam choque positivo e negativo do mesmo jeito, porque nos dois o resíduo entra ao quadrado. A diferença entre eles é parcimônia e persistência — o ARCH puro precisa de muitas defasagens para reproduzir a persistência que o GARCH obtém com um único β. Quem separa choque negativo de positivo é o EGARCH ou o GJR-GARCH.

Achar que janela longa é sempre melhor. Janela longa é mais estável e mais atrasada. Em regime de mudança rápida, ela é pior, não melhor — e o tamanho certo depende do uso, não de uma regra universal.

Ler o agrupamento de volatilidade como autocorrelação dos retornos. Os retornos são praticamente não correlacionados; quem é fortemente correlacionado no tempo é o quadrado deles. Trocar os dois é o erro técnico mais comum do tópico.

Supor normalidade porque o modelo estimou um desvio-padrão. Retornos têm caudas pesadas. Estimar bem a volatilidade não transforma a distribuição em normal, e é dessa confusão que nasce metade dos problemas do tópico seguinte.