Seleção média-variância: fronteira eficiente, ativo livre de risco e custos de transação

O acervo deste projeto guarda 2 itens deste tópico, do mesmo grupo de uma prova da FUNPRESP. A nota foi escrita a partir do edital e da bibliografia — não do corpus — e não traz frequências medidas.

A ideia que organiza o assunto

Os três tópicos anteriores entregaram as peças. A covariância diz como os riscos se combinam; a diversificação diz até onde o risco cai; a utilidade diz o que o investidor quer. Falta juntá-las numa decisão, e a resposta de Markowitz é a de um problema de otimização:

Entre todas as carteiras com o mesmo retorno esperado, escolha a de menor variância. Entre todas as de mesma variância, escolha a de maior retorno esperado.

Rode isso para cada nível de retorno esperado e o resultado é uma curva no plano (σ, E(r)) — a fronteira de mínima variância. Seu ponto mais à esquerda é a carteira de mínima variância global (PMV), a de menor risco possível com os ativos disponíveis. O ramo da curva acima do PMV é a fronteira eficiente; o ramo abaixo é descartado, porque cada carteira dele é dominada por outra, no ramo de cima, com o mesmo risco e retorno esperado maior.

E então entra o segundo movimento, que é o que dá nome ao tópico junto com o primeiro. Acrescente ao conjunto um ativo livre de risco, com σ = 0 e, portanto, covariância zero com qualquer outro ativo. Combinar um ativo de risco zero com uma carteira arriscada produz relação linear entre risco e retorno esperado: a fronteira deixa de ser uma curva e vira uma reta saindo de r_f. Entre todas as retas possíveis, a melhor é a de maior inclinação — a que tangencia a fronteira eficiente num único ponto.

Daí sai o resultado que organiza o assunto inteiro, o teorema da separação de Tobin:

A escolha da carteira arriscada não depende das preferências. Todo investidor com as mesmas estimativas escolhe a mesma carteira tangente. A aversão ao risco decide apenas quanto da riqueza vai para ela e quanto fica no ativo livre de risco.

Duas decisões, e só a segunda é pessoal. Guardado isso, a maior parte dos itens do tópico se responde sem conta.

Por que se usa (e o que custa)

O modelo de média-variância comprou clareza a um preço alto, e conhecer o preço é o que separa a leitura de manual da leitura de prova.

Ganha-se um critério objetivo de escolha — dominância —, uma definição operacional de “carteira ótima” e a separação entre a parte técnica da decisão (estimar médias, variâncias e correlações) e a parte subjetiva (quanto risco tomar).

Paga-se em hipóteses. Média e variância só resumem a distribuição se os retornos forem normais ou se a utilidade for quadrática; assimetria e risco de cauda ficam de fora por construção. O modelo é de um período só, e trata as estimativas como se fossem conhecidas.

Paga-se em fragilidade das estimativas. A otimização é notoriamente sensível aos insumos, sobretudo aos retornos esperados: pequenas mudanças nas estimativas produzem carteiras radicalmente diferentes, e a otimização tende a concentrar posição justamente nos ativos cujo retorno esperado foi superestimado. A literatura chama isso de maximização de erro, e é a razão de existirem as técnicas de encolhimento de estimativas e de restrição de pesos.

Paga-se em atrito. É o terceiro elemento do título deste tópico e o mais esquecido: a fronteira bonita é a do mundo sem custo de transação.

Como funciona

O conjunto viável e a fronteira. Com dois ativos de risco, todas as combinações formam uma curva que se encurva para a esquerda quanto menor for a correlação — é a mesma fórmula do tópico de risco e retorno, lida agora como lugar geométrico. Com muitos ativos, o conjunto viável vira uma região, e a fronteira é a sua borda esquerda-superior. Quanto menores as correlações, mais para a esquerda a fronteira se desloca: diversificação e fronteira eficiente são o mesmo fenômeno visto de dois ângulos.

Dominância. A carteira A domina B se tem retorno esperado maior ou igual e risco menor ou igual, com pelo menos uma desigualdade estrita. A fronteira eficiente é exatamente o conjunto das carteiras não dominadas. Por isso nenhuma carteira abaixo ou à direita da fronteira é candidata, e por isso o ramo inferior da fronteira de mínima variância não é eficiente, apesar de pertencer à fronteira.

A linha do mercado de capitais e o índice de Sharpe. Com o ativo livre de risco, a reta que vai de r_f até uma carteira arriscada P é a linha de alocação de capital (CAL), e sua inclinação é

Índice de Sharpe = [E(r_P) − r_f] ÷ σ_P

isto é, prêmio de risco por unidade de risco total. Maximizar a inclinação é o mesmo que escolher a carteira de maior Sharpe: a carteira tangente. Quando todos os investidores enxergam a mesma fronteira, essa melhor CAL recebe o nome de linha do mercado de capitais (CML).

Andar sobre a reta. Um ponto entre r_f e a carteira tangente é uma posição em que parte da riqueza está aplicada no livre de risco — o investidor empresta à taxa r_f. Um ponto além da tangente exige tomar emprestado a r_f e aplicar mais do que a riqueza própria na carteira arriscada: é alavancagem, com risco e retorno esperado maiores. A posição escolhida é o ponto em que a curva de indiferença mais alta do investidor toca a reta — mais avesso, mais perto de r_f; menos avesso, mais longe. É a peça que o tópico de utilidade deixou pendente.

Quando a teoria encontra a mesa de operações. Três atritos deformam o desenho, e é neles que a prova de nível alto costuma morar.

Taxas de captação e de aplicação diferentes. Na prática toma-se emprestado a uma taxa maior do que a que se recebe. A CAL deixa de ser uma reta única e ganha um cotovelo: um trecho mais inclinado até a carteira tangente da taxa de aplicação, outro menos inclinado a partir da tangente da taxa de captação, e um trecho da fronteira curva entre as duas. Deixa de valer a separação estrita: investidores com aversões muito diferentes passam a escolher carteiras arriscadas diferentes.
Restrição de venda a descoberto. Proibir pesos negativos retira soluções do conjunto viável, e a fronteira resultante fica dentro (para a direita) da fronteira sem restrição — nunca fora. Toda restrição adicional só pode piorar ou igualar o ótimo.
Custos de transação. Corretagem, emolumentos, custódia, tributos e o spread de compra e venda, somados ao impacto de mercado das ordens grandes, descolam o retorno bruto do líquido. Três consequências que cabem em item: a fronteira líquida de custos fica abaixo da fronteira teórica; o rebalanceamento contínuo que o modelo sugere deixa de ser ótimo, porque cada ajuste consome retorno, e o ótimo passa a ser uma região de não negociação — só se rebalanceia quando o desvio compensa o custo; e a carteira ótima depende da carteira que já se tem, porque o custo é de mudar, não de ter. Ativos ilíquidos, de spread largo, perdem atratividade mesmo com bons números de média e variância.

Para onde isto vai. Se todos os investidores têm as mesmas estimativas e todos compram a mesma carteira tangente, ela precisa conter todos os ativos negociados, em proporção ao valor de mercado de cada um — do contrário haveria ativo sem comprador. A carteira tangente passa a ser a carteira de mercado, e a partir daí se pergunta qual prêmio cada ativo individual deve oferecer por sua contribuição ao risco dessa carteira. Essa pergunta já não é deste tópico: é a do CAPM, com um único fator, e a da APT, com vários. Esta nota entrega a fronteira e a reta; o preço do risco sistemático está lá.

O que decide os itens

Os quatro objetos do gráfico, que a banca embaralha:

objeto	o que é	erro típico
conjunto viável	todas as carteiras possíveis	tratar qualquer ponto dele como eficiente
fronteira de mínima variância	menor risco para cada retorno esperado	confundir com a eficiente
fronteira eficiente	o ramo acima do PMV	incluir o ramo inferior
PMV	menor risco de todos	apresentá-lo como a carteira ótima de todo investidor

Sem × com ativo livre de risco:

	só ativos de risco	com ativo livre de risco
formato da fronteira	curva (hipérbole)	reta a partir de r_f
carteira ótima de risco	depende da aversão	a mesma para todos (tangente)
papel da aversão	escolhe o ponto na curva	escolhe o ponto na reta
critério de escolha	tangência com a curva de indiferença	maior índice de Sharpe

O que sempre é verdade no gráfico: a fronteira eficiente é crescente — mais retorno esperado só com mais risco — e côncava; nenhuma carteira eficiente fica à direita da fronteira; o PMV é o extremo esquerdo; e a CAL ótima toca a fronteira em um ponto só.

O efeito de cada atrito:

atrito	efeito sobre a fronteira	efeito sobre a separação
venda a descoberto proibida	desloca para dentro	mantém, mas reduz o conjunto
captação mais cara que aplicação	reta com cotovelo	quebra a separação estrita
custos de transação	fronteira líquida abaixo da bruta	cria região de não negociação
erro de estimativa	fronteira estimada otimista demais	concentra pesos indevidamente

Números que caem

grandeza	valor ou forma
índice de Sharpe	[E(r_P) − r_f] ÷ σ_P
desvio padrão do ativo livre de risco	zero
covariância do livre de risco com qualquer ativo	zero
carteira com peso w em P e (1 − w) em r_f	E(r) = r_f + w·[E(r_P) − r_f]; σ = w·σ_P
peso na carteira de risco maior que 1	posição alavancada
pesos que somam	um (restrição orçamentária)
número de pontos de tangência da CAL ótima	um
peso de mínima variância com dois ativos	(σ₂² − ρσ₁σ₂) ÷ (σ₁² + σ₂² − 2ρσ₁σ₂)
utilidade a maximizar sobre a fronteira	U = E(r) − ½·A·σ²

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Os 2 itens do acervo caíram no mesmo grupo de uma prova da FUNPRESP e são um par limpo. O Certo define a fronteira eficiente com as duas metades no lugar — “carteiras cuja rentabilidade não pode ser ampliada sem que se aumente o risco” —, o que confirma, pelo lado positivo, a entrada abaixo sobre enunciados amputados. O Errado é a troca de nome prevista na nota do CAPM: descreve corretamente o conjunto eficiente formado pelo ativo livre de risco e pelos ativos com risco, e o batiza de linha de mercado de títulos, quando isso é a linha de mercado de capitais. Dois itens são anedota, não frequência.

Promover o PMV a carteira ótima. A carteira de mínima variância global é a de menor risco, e não a melhor para ninguém em particular — nem para o mais avesso, se houver ativo livre de risco, porque aí a reta domina a curva. O investidor avesso não busca risco mínimo; busca a melhor troca entre risco e retorno esperado segundo a sua curva de indiferença.

Chamar de eficiente a fronteira inteira. O ramo abaixo do PMV pertence à fronteira de mínima variância e é dominado ponto a ponto. Nomear os dois com a mesma palavra é a distorção mais barata do tópico.

Inverter o teorema da separação. Dizer que a carteira arriscada depende da aversão do investidor e que a proporção aplicada no livre de risco é a mesma para todos — exatamente o contrário. A frase de defesa: a tangente é de todos; a proporção é sua.

Dizer que a fronteira eficiente é o conjunto das carteiras de maior retorno. Falta metade do enunciado. É maior retorno esperado para cada nível de risco — ou menor risco para cada nível de retorno esperado. Item que oferece só uma das duas otimizações, sem o “dado”, costuma estar amputado de propósito.

Fazer o ativo livre de risco correlacionar com algo. Se o desvio padrão é zero, a covariância com qualquer ativo é zero, necessariamente. Item que atribui correlação positiva ao livre de risco cai por aritmética, não por teoria.

Atribuir aos custos de transação o efeito errado. Os dois desvios prováveis são simétricos: dizer que os custos deslocam a fronteira para cima, ou que não afetam a composição ótima, apenas o retorno final. Afetam a composição — porque mudam o retorno líquido relativo de cada ativo e porque penalizam giro — e o sentido do deslocamento é sempre desfavorável.

Tratar rebalanceamento contínuo como recomendação do modelo. No mundo sem atrito seria indiferente; com custos, é destruição de valor. A prescrição realista é a faixa de tolerância.

Pedir a conclusão do CAPM neste tópico. A identificação da carteira tangente com a carteira de mercado exige hipóteses adicionais — expectativas homogêneas, mesmo horizonte, ausência de atritos. Itens que apresentam essa identificação como consequência automática da fronteira estão pulando uma etapa; a etapa tem nome e é o tópico seguinte.

Erros clássicos

Confundir a CAL com a fronteira eficiente. A CAL é reta e existe porque há ativo livre de risco; a fronteira é curva e existe só com ativos arriscados. A melhor CAL é tangente à fronteira: elas se tocam, não se confundem.

Achar que a fronteira é fixa. Ela é função das estimativas. Muda a matriz de correlações, muda a fronteira — e é assim que a diversificação internacional ou a entrada de uma nova classe de ativos “empurra” a fronteira para a esquerda.

Ignorar que restrição nunca melhora. Qualquer limite adicional — proibir descoberto, fixar teto por emissor, exigir liquidez mínima — só pode manter ou piorar o ótimo irrestrito. Item que afirme melhora está errado por argumento de conjunto, sem precisar de finanças.

Ler o índice de Sharpe como medida de retorno. É retorno excedente por unidade de risco. Uma carteira de retorno esperado maior pode ter Sharpe menor, e é o Sharpe que escolhe a tangente.

Esquecer o denominador certo. Sharpe divide pelo risco total (desvio padrão), o que faz sentido para quem escolhe uma carteira inteira. A medida que divide pelo risco sistemático é outra, serve para avaliar um ativo dentro de uma carteira já diversificada, e pertence ao tópico do CAPM.