Estacionaridade; processo AR/ARMA; raiz unitária, regressão espúria e cointegração

A ideia que organiza o assunto

Em corte transversal, as observações são intercambiáveis e a inferência clássica funciona sozinha. Em série temporal, não: as observações vêm em ordem, cada uma carrega a anterior, e a pergunta que antecede qualquer estimação é se o mecanismo gerador é o mesmo ao longo do tempo. Esse é o conteúdo de estacionaridade, e é o eixo do tópico:

Antes de estimar qualquer coisa em série temporal, pergunte se a série é estacionária. Se não for, pergunte se o problema se resolve diferenciando ou se há uma relação de longo prazo a preservar.

As cinco palavras do título são as cinco etapas dessa mesma pergunta, e nessa ordem:

1. Estacionaridade é a condição. Média e variância constantes, autocovariância dependendo só da distância entre os instantes.
2. AR e ARMA são os modelos que só fazem sentido sob ela — e a condição aparece neles como uma restrição sobre a raiz do polinômio autorregressivo.
3. Raiz unitária é o modo característico pelo qual a condição falha: o coeficiente autorregressivo chega a 1 e a série vira passeio aleatório.
4. Regressão espúria é o estrago que isso faz quando se ignora o problema e se estima em nível: R² alto, t significante, relação inexistente.
5. Cointegração é a exceção que resgata a regressão em nível — quando existe combinação linear estacionária entre séries integradas, a relação é real, e o modelo de correção de erro é a forma de escrevê-la.

A leitura que organiza tudo é sobre o que acontece com um choque. Em série estacionária o choque se dissipa e a série volta à sua média; em série com raiz unitária o choque entra no nível e fica para sempre. Persistência permanente contra reversão à média: é dessa única diferença que saem a variância crescente, o correlograma arrastado, a invalidade das distribuições t e F, e a necessidade de diferenciar.

A fronteira com o básico, porque ela é fina aqui. Lógica e Estatística, a disciplina comum, cobre média, variância, covariância e correlação de variáveis aleatórias. Um item sobre o coeficiente de correlação entre duas variáveis é daquele tópico. O que é seu começa quando o índice é o tempo e a mesma variável é comparada consigo mesma em instantes diferentes: autocovariância, autocorrelação, ordem de integração e a validade da inferência sob dependência serial. E a fronteira com a ordem 13 é igualmente nítida: o VAR toma a estacionaridade como dada; a maquinaria que decide se ela existe, e o que fazer quando não existe, é este tópico.

Como funciona

Estacionaridade fraca. Também chamada de segunda ordem, ou de covariância. Três exigências, e as três caem:

• E(Xₜ) = μ para todo t — média constante, sem tendência;
• Var(Xₜ) = σ² finita e constante — dispersão que não muda com o tempo;
• Cov(Xₜ, Xₜ₊ₖ) = γₖ — a autocovariância depende apenas da defasagem k, e não do instante t.

Estacionaridade estrita. Exige que a distribuição conjunta de qualquer bloco de observações seja invariante a translações no tempo — condição muito mais forte, e que só coincide com a fraca no caso gaussiano. Estrita com segundo momento finito implica fraca; a recíproca só vale sob normalidade. Na econometria aplicada, “estacionária” sem qualificação significa fraca.

Ruído branco. Média zero, variância constante, autocorrelação nula em toda defasagem. É estacionário por construção e é a peça com que os demais processos são montados. Note: não correlacionado não é o mesmo que independente, salvo sob normalidade.

AR(1). Xₜ = c + φXₜ₋₁ + εₜ. É estacionário se e somente se |φ| < 1 — equivalentemente, a raiz de 1 − φz = 0, que é z = 1/φ, está fora do círculo unitário. Sob essa condição:

• E(Xₜ) = c/(1 − φ);
• Var(Xₜ) = σ²/(1 − φ²);
• ρₖ = φᵏ — a autocorrelação decai geometricamente e nunca se anula.

Para φ = 1 o denominador 1 − φ estoura: não há média de longo prazo, e a série é o passeio aleatório da ordem 11. Para |φ| > 1 o processo é explosivo.

AR(p). Estacionário quando todas as raízes do polinômio 1 − φ₁z − … − φₚzᵖ = 0 estão fora do círculo unitário. Uma raiz igual a 1 é exatamente a raiz unitária que dá nome ao assunto. Guarde a formulação equivalente, que a banca alterna: raízes do polinômio característico fora do círculo, autovalores da matriz companheira dentro.

MA(q). Xₜ = εₜ + θ₁εₜ₋₁ + … + θqεₜ₋q. É sempre estacionário, por ser soma finita de ruído branco: não há condição a verificar. O que se exige do MA é invertibilidade — raízes do polinômio de médias móveis fora do círculo unitário —, e ela não serve para estacionaridade, e sim para que exista representação autorregressiva e o modelo seja identificado.

ARMA(p, q). Junta os dois: a parte AR responde pela estacionaridade, a parte MA pela invertibilidade. Se a série precisa ser diferenciada d vezes antes, escreve- se ARIMA(p, d, q), e d é a ordem de integração.

Identificação pelos correlogramas. A FAC (função de autocorrelação) corta depois da defasagem q em um MA(q); a FACP (parcial) corta depois de p em um AR(p); em um ARMA as duas decaem sem corte. Decaimento lentíssimo da FAC é sinal de raiz unitária, não de ARMA de ordem alta.

Fator comum. Se os polinômios AR e MA compartilham uma raiz, ela se cancela e o modelo está superparametrizado — um ARMA(1,1) com coeficientes AR e MA iguais é, na verdade, ruído branco. É uma armadilha de cálculo excelente, e o corpus mostra que a banca a usou.

Raiz unitária e o teste de Dickey-Fuller. Parte-se de Xₜ = φXₜ₋₁ + εₜ e subtrai-se Xₜ₋₁:

ΔXₜ = (φ − 1)Xₜ₋₁ + εₜ = γXₜ₋₁ + εₜ.

Testar φ = 1 vira testar γ = 0. E aqui está o fato mais invertível do tópico:

A hipótese nula é a existência da raiz unitária (γ = 0, série não estacionária). A alternativa é γ < 0, isto é, série estacionária.

O teste é unicaudal à esquerda: rejeita-se quando a estatística é suficientemente negativa. E a estatística, ainda que calculada como uma razão t, não segue a distribuição t nem mesmo assintoticamente sob a nula — usam- se as tabelas de Dickey-Fuller e MacKinnon, cujos valores críticos são bem mais negativos que os usuais.

Variantes: ADF acrescenta defasagens de ΔXₜ para limpar autocorrelação nos resíduos; Phillips-Perron faz a mesma correção por via não paramétrica; KPSS inverte a nula (H₀: série estacionária), e é por isso que os dois costumam ser usados em conjunto.

Rejeitar e não rejeitar não são simétricos. Não rejeitar a nula do Dickey-Fuller não prova estacionaridade: prova apenas que os dados não foram suficientes para descartar a raiz unitária — e o teste é notoriamente de baixo poder quando φ é próximo de 1 mas menor que 1.

Regressão espúria. Granger e Newbold mostraram por simulação que regredir um passeio aleatório sobre outro, independentes, produz coeficiente “significante” na maioria das vezes, com R² alto e nenhuma relação real. A causa é que, sob raiz unitária, as distribuições convencionais de t e F deixam de valer e os desvios padrão estimados são grosseiramente subestimados. O sintoma clássico é o par R² alto com Durbin-Watson muito baixo — na regra de bolso, R² maior que o DW —, e o diagnóstico definitivo é que o resíduo da regressão é ele próprio integrado.

Cointegração. Duas séries Xₜ e Yₜ, ambas I(1), são cointegradas quando existe β tal que Yₜ − βXₜ é I(0), isto é, estacionária. Elas se movem juntas: os desvios entre elas não crescem sem limite, ainda que cada uma passeie individualmente. Nesse caso a regressão em nível não é espúria — é a relação de longo prazo, e o estimador de MQO é até superconsistente, convergindo a uma taxa mais rápida que a usual. Exige-se que as séries tenham a mesma ordem de integração; combinar uma I(1) com uma I(0) não produz cointegração.

Como se testa. Engle-Granger, em dois passos: primeiro confirma-se que cada série é I(1); depois estima-se a regressão de cointegração por MQO e testa-se raiz unitária nos resíduos — com valores críticos próprios, porque os resíduos foram estimados e não observados. Johansen trata o sistema todo por máxima verossimilhança e testa o posto da matriz de longo prazo, permitindo mais de um vetor cointegrante: com k variáveis, pode haver até k − 1.

Correção de erro. Pelo teorema da representação de Granger, cointegração e existência de um modelo de correção de erro são equivalentes. A forma é

ΔYₜ = α(Yₜ₋₁ − βXₜ₋₁) + (defasagens de ΔY e ΔX) + εₜ,

em que o termo entre parênteses é o desequilíbrio do período anterior e α é a velocidade de ajuste. O sinal de α tem de ser negativo: se o Y de ontem estava acima da relação de longo prazo, o Y de hoje cai. O modelo reúne, em uma equação só, a dinâmica de curto prazo (nas diferenças) e o equilíbrio de longo prazo (no termo de correção). A versão multivariada é o VECM, e ela é o assunto da ordem 13.

O que decide os itens

Proposição	Verdade
estacionaridade fraca pede média e variância constantes	sim
estacionaridade fraca pede autocovariância dependendo só da defasagem	sim
estacionaridade fraca pede a distribuição conjunta invariante	não — isso é a estrita
a estrita implica a fraca	sim, havendo segundo momento finito; a recíproca só sob normalidade
o AR(1) é estacionário quando φ é menor que 1 em módulo	sim
o AR(1) é estacionário se a raiz está dentro do círculo unitário	não — tem de estar fora
o MA(q) precisa de condição para ser estacionário	não — é sempre estacionário
invertibilidade do MA é condição de estacionaridade	não — é para haver representação AR
a média de um ARMA sem intercepto é zero	sim
a FAC corta em q no MA(q) e a FACP corta em p no AR(p)	sim
a hipótese nula do Dickey-Fuller é a estacionaridade	não — a nula é a raiz unitária
não rejeitar o Dickey-Fuller prova que a série é estacionária	não — só não descarta a raiz
a estatística do Dickey-Fuller segue a distribuição t	não — tabelas próprias, valores mais negativos
o teste é unicaudal à esquerda	sim
o ADF acrescenta defasagens da variável em diferença	sim — para limpar autocorrelação
a nula do KPSS é a estacionaridade	sim — é o teste de nula invertida
raiz unitária em nível produz regressão espúria	sim
R² alto garante relação econômica	não — é o sintoma da espúria, não a prova
R² alto com Durbin-Watson baixo sugere espúria	sim
cointegração exige séries da mesma ordem de integração	sim
cointegração é combinação linear estacionária entre séries integradas	sim
havendo cointegração, a regressão em nível é espúria	não — é a relação de longo prazo
cointegração equivale a existir modelo de correção de erro	sim (representação de Granger)
o coeficiente de ajuste do MCE é negativo	sim — ele corrige o desvio
diferenciar séries cointegradas é a solução correta	não — descarta a relação de longo prazo

Teste	Hipótese nula	O que significa rejeitar
Dickey-Fuller / ADF	há raiz unitária	a série é estacionária
Phillips-Perron	há raiz unitária	a série é estacionária
KPSS	a série é estacionária	há raiz unitária
Engle-Granger (resíduos)	resíduo com raiz unitária	há cointegração
Johansen	posto de cointegração igual a r	há mais vetores cointegrantes

Situação das séries	O que se estima
estacionária em nível	modelo em nível
integrada, sem cointegração	modelo em primeira diferença
integradas e cointegradas	correção de erro (MCE; no sistema, VECM)
estacionária em torno de tendência determinística	destendenciar, não diferenciar

Números que caem

Valor	O que é
φ menor que 1 em módulo	condição de estacionaridade do AR(1)
φ = 1	raiz unitária — passeio aleatório, série I(1)
c/(1 − φ)	média do AR(1) estacionário com intercepto c
σ²/(1 − φ²)	variância do AR(1) estacionário
ρₖ = φᵏ	autocorrelação do AR(1); decai, nunca corta
I(1)	série que se torna estacionária com uma diferença
≈ −2,86	valor crítico de Dickey-Fuller a 5%, com intercepto e sem tendência (amostras grandes)
≈ −3,41	valor crítico a 5% com intercepto e tendência
−1,96	valor crítico normal — não é o do Dickey-Fuller, e a diferença é o item
até k − 1	número máximo de vetores cointegrantes entre k variáveis

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Três itens puderam ser lidos e explicados, todos de um mesmo caderno, e três não sustentam frequência alguma. A contagem é piso por dois motivos somados: a banca nomeia o assunto no comando do grupo, o que faz o classificador perder itens curtos; e vários itens deste tópico vieram de cadernos em que a notação matemática não sobreviveu à extração e chegaram ilegíveis ao acervo — entre eles um que enuncia a definição de cointegração e outro sobre estacionaridade de um AR de ordem 2. O assunto foi cobrado mais do que estes três itens revelam.

Ainda assim, o que se pôde ler diz duas coisas úteis sobre o formato.

Um item é conceitual e é Certo, com a redação limpa do resultado: na presença de raiz unitária, regressão com as variáveis em nível dá regressão espúria. É o padrão já visto em toda a trilha de Economia — o Certo é a proposição do manual enunciada sem ornamento. Não procure pegadinha onde o item apenas afirma o que o teorema diz.

Os outros dois são conta, e vêm em grupo com o processo escrito na página. O grupo dá um ARMA(1,1) estacionário com coeficiente autorregressivo 0,45 e coeficiente de médias móveis −0,45 e faz perguntas sobre média, variância, autocorrelação e previsão. A chave do grupo inteiro é uma só observação, e quem não a faz erra tudo: os dois coeficientes são iguais, o fator (1 − 0,45B) aparece dos dois lados e se cancela — o processo é ruído branco. Daí saem todas as respostas de uma vez: a média é zero, a variância é a do ruído, a autocorrelação de qualquer defasagem é zero e a previsão é zero, não importa quais valores tenham sido observados. O item que oferece 0,1 como previsão é Errado, e o que afirma média zero é Certo. Antes de calcular, compare o coeficiente AR com o MA.

O que segue é conhecimento do assunto e vem marcado como não medido neste corpus.

Inverter a nula do Dickey-Fuller. É o erro mais rentável do tópico inteiro, porque a intuição do candidato empurra para o lado errado: espera-se que a nula seja a hipótese “boa”. Não é — a nula é a raiz unitária. As duas variantes valem por si: “rejeitada a nula, conclui-se pela presença de raiz unitária” (Errado, é o contrário) e “não rejeitada a nula, conclui-se que a série é estacionária” (Errado, não rejeitar não prova nada).

Vestir a estatística de t. Afirmar que se compara o resultado do ADF com −1,96, ou que a estatística segue distribuição t de Student, ou normal. A razão tem forma de t e distribuição própria; é justamente o que torna o teste um teste especial e não um teste de coeficiente qualquer.

Trocar o lado da condição de estacionaridade. Dizer que a raiz do polinômio autorregressivo deve estar dentro do círculo unitário. O par certo, e a banca alterna entre as duas formulações: raízes do polinômio fora, autovalores da companheira dentro. Aqui não adianta perguntar se a frase tem absoluto — é um teorema, e teorema é absoluto. O que se pergunta é para que lado ela aponta.

Exigir do MA o que é do AR. “O processo de médias móveis é estacionário desde que seus coeficientes sejam menores que 1 em módulo” soa plausível e é falso: o MA é sempre estacionário. A condição existe, mas é de invertibilidade, e serve a outra finalidade.

Apresentar R² alto como prova. É a assinatura da regressão espúria: o item descreve uma regressão entre séries integradas, reporta R² alto e t significante e conclui que existe relação. Confira a ordem de integração antes do ajuste; e se o enunciado der o Durbin-Watson, compare-o com o R².

Oferecer o remédio trocado. Diferenciar série cointegrada, destendenciar série com raiz unitária, diferenciar série estacionária em torno de tendência. As três linhas da tabela de situações existem exatamente para isso, e cada troca entre elas é um item pronto.

Cointegração entre ordens diferentes. Afirmar que uma I(1) e uma I(0) podem ser cointegradas, ou omitir a exigência de mesma ordem de integração. É o requisito que mais se perde na redação.

Inverter o sinal do ajuste no MCE. Coeficiente de correção positivo afastaria a série do equilíbrio em vez de trazê-la de volta. Sinal errado em termo de correção de erro é o formato mais fino de item do tópico — e a trilha inteira mostra que o que decide os itens de economia é direção e endereço, não intensidade da frase.

Diluir cointegração em correlação. Duas séries podem ser altamente correlacionadas sem serem cointegradas (é a própria espúria) e cointegradas sem serem especialmente correlacionadas em diferença. São conceitos distintos, e o item que os iguala é Errado.

Erros clássicos

Achar que a nula de um teste é sempre o que se quer provar. No Dickey-Fuller a nula é o problema, e o pesquisador torce para rejeitá-la. Esse desalinhamento é a fonte de metade dos erros do assunto.

Ler “não rejeitou” como “provou”. Vale em toda a inferência e dói mais aqui, porque o teste tem baixo poder justamente na região que interessa, com φ perto de 1.

Confundir tendência determinística com tendência estocástica. No gráfico são parecidas; no tratamento são opostas. Série estacionária em torno de tendência pede regressão contra t; série com raiz unitária pede diferença. Aplicar o remédio errado ou deixa raiz unitária no resíduo ou cria autocorrelação artificial.

Diferenciar demais. Diferenciar uma série já estacionária introduz um termo de médias móveis não invertível e aumenta a variância. Diferença é remédio para integração, não higiene geral.

Tratar estacionaridade como propriedade da amostra. É propriedade do processo gerador. Um trecho de série pode parecer estável e a série ser I(1).

Supor que cointegração implica causalidade. Ela implica relação de equilíbrio de longo prazo, e um mecanismo de correção. Quem causa quem é outra pergunta — e a resposta econométrica que existe para ela, a causalidade de Granger, também não é causalidade.

Esquecer que o AR(1) com φ próximo de 1 é estacionário. A fronteira é estrita: 0,99 é estacionário, com reversão lentíssima, e 1,00 não é. Quase tudo o que se observa em macroeconomia vive nessa vizinhança, e é por isso que os testes decidem pouco.

Ler decaimento lento da FAC como ARMA de ordem alta. É o sinal visual da raiz unitária. Antes de escolher p e q, teste integração.

Confundir não correlacionado com independente no ruído branco. A definição é de ausência de autocorrelação; independência é mais forte e só decorre sob normalidade.