Funções de utilidade e aversão ao risco; equivalente de certeza e prêmio pelo risco

A ideia que organiza o assunto

Os dois tópicos anteriores descreveram carteiras por dois números: retorno esperado e risco. Falta dizer como o investidor escolhe entre elas — e a resposta não está no valor esperado do dinheiro.

Ofereça a alguém R$ 1.000 certos ou uma aposta com 50% de chance de R$ 2.000 e 50% de nada. As duas têm o mesmo valor esperado, e quase todo mundo pega os R$ 1.000. Se a escolha fosse pelo valor esperado, as duas seriam indiferentes. Logo, não é o dinheiro que se maximiza: é a utilidade esperada do dinheiro.

O agente escolhe a alternativa de maior E[u(W)], não a de maior E(W).

E aí toda a atitude ante o risco se concentra num único objeto: o formato da função u.

u côncava (u” < 0) = avesso · u linear (u” = 0) = neutro · u convexa (u” > 0) = propenso

A intuição da concavidade é a utilidade marginal decrescente da riqueza: os R$ 1.000 que você perderia doem mais do que os R$ 1.000 que você ganharia agradam. Como a aposta tem os dois lados, ela perde para a certeza. Formalmente, é a desigualdade de Jensen: para u côncava, E[u(W)] < u(E[W]) — a utilidade da aposta é menor que a utilidade do seu valor esperado.

Fixado isso, todo o resto do tópico é consequência mecânica, e vale começar afastando a confusão que mais custa ponto: ser avesso ao risco não é recusar risco. É exigir compensação para corrê-lo. O investidor avesso compra ações; ele só não as compra pelo mesmo preço de um título público.

Como funciona

Equivalente de certeza (EC). É o valor certo que deixa o agente indiferente à loteria. Define-se pela igualdade das utilidades:

u(EC) = E[u(W)]

Prêmio pelo risco (π). É o que o agente abre mão, em valor esperado, para trocar a loteria pela certeza:

π = E(W) − EC

Daí sai a tabela inteira do tópico, sem nada para decorar:

Avesso: u côncava → E[u(W)] < u(E[W]) → EC < E(W) → π > 0.
Neutro: u linear → E[u(W)] = u(E[W]) → EC = E(W) → π = 0.
Propenso: u convexa → E[u(W)] > u(E[W]) → EC > E(W) → π < 0.

O prêmio positivo tem leitura econômica direta: é o máximo que o avesso pagaria acima do valor atuarialmente justo para se livrar do risco. É por isso que seguro existe, e é por isso que a seguradora pode cobrar mais que a perda esperada e ainda assim fazer negócio com um cliente racional.

Medindo a intensidade da aversão. O sinal de u” diz a direção; a magnitude vem dos coeficientes de Arrow-Pratt, que dividem u” por u’ justamente para ficarem imunes a mudanças de escala da função utilidade:

Aversão absoluta: A(w) = − u”(w) ÷ u’(w)

Aversão relativa: R(w) = − w · u”(w) ÷ u’(w) = w · A(w)

E a aproximação que conecta as duas metades do tópico, para riscos pequenos:

π ≈ ½ · A(w) · σ²

O prêmio pelo risco cresce com a aversão e com a variância — o que explica por que a variância, e não outra medida, é a régua de risco que este arcabouço usa.

As funções que a prova usa.

u(w) = ln w — u’ = 1/w > 0, u” = −1/w² < 0: côncava, logo avesso. Tem aversão relativa constante igual a 1 e aversão absoluta decrescente.
u(w) = w^(1−γ)/(1−γ) — aversão relativa constante igual a γ (família CRRA). O logaritmo é o caso γ = 1.
u(w) = −e^(−a·w) — aversão absoluta constante igual a a (família CARA).
u(w) = a + b·w — linear: neutro ao risco. Decide tudo por valor esperado.
u(w) = w − b·w² (quadrática) — côncava no trecho relevante, e é a hipótese que justifica exatamente a análise média-variância; seu defeito conhecido é ter aversão absoluta crescente com a riqueza, o contrário do que se observa.

Aversão absoluta × relativa, que é onde se erra. Absoluta trata do valor em reais posto em risco; relativa, da fração da riqueza. A hipótese usual é aversão absoluta decrescente (DARA) — quem enriquece aplica mais dinheiro em ativos arriscados — com aversão relativa aproximadamente constante — a proporção da riqueza em risco pouco muda.

Da utilidade para o gráfico da carteira. Escrita sobre média e variância, a mesma preferência vira a função de utilidade que os manuais usam para carteiras:

U = E(r) − ½ · A · σ²

com A o coeficiente de aversão ao risco. Note que U é o próprio equivalente de certeza da carteira, em unidade de retorno. Dela saem as curvas de indiferença no plano (σ, E(r)), e a inclinação delas é a leitura mais cobrada do tópico:

avesso (A > 0): curvas crescentes e convexas — mais risco só é aceito com mais retorno esperado; quanto maior A, mais inclinadas;
neutro (A = 0): curvas horizontais — o risco não entra na conta, só o retorno esperado;
propenso (A < 0): curvas decrescentes — aceita-se retorno esperado menor em troca de mais risco.

Curvas mais altas são preferidas em todos os três casos. E é aqui que este tópico entrega o próximo: a fronteira eficiente dirá quais carteiras estão disponíveis, e a curva de indiferença dirá em que ponto dessa fronteira este investidor específico para — que quase nunca é o de mínima variância, porque sair dele custa pouco risco e traz muito retorno.

O que decide os itens

A tabela central — três perfis, cinco leituras:

	avesso	neutro	propenso
formato de u(w)	côncava	linear	convexa
sinal de u”	negativo	zero	positivo
utilidade marginal	decrescente	constante	crescente
equivalente de certeza	menor que E(W)	igual a E(W)	maior que E(W)
prêmio pelo risco	positivo	zero	negativo
curva de indiferença em (σ, E(r))	crescente	horizontal	decrescente
aposta justa (valor esperado zero)	recusa	indiferente	aceita

Reconhecendo a função na hora:

u(w)	perfil	detalhe que a banca pede
ln w	avesso	aversão relativa constante = 1
raiz de w, w^0,5	avesso	caso CRRA com γ = 0,5
−e^(−aw)	avesso	aversão absoluta constante = a
a + b·w	neutro	decide por valor esperado
w²	propenso	utilidade marginal crescente

Os dois “prêmios de risco”, que têm o mesmo nome e não são a mesma coisa:

	prêmio pelo risco (utilidade)	prêmio de risco (ativo)
definição	E(W) − EC	E(r) − r_f
natureza	quanto o agente paga para evitar o risco	quanto o mercado paga para que se corra risco
depende de	aversão do agente e variância da loteria	risco sistemático do ativo
onde cai	equivalente de certeza, seguro	CAPM, fronteira eficiente

Números que caem

grandeza	valor ou forma
equivalente de certeza	u(EC) = E[u(W)]
prêmio pelo risco	π = E(W) − EC
aversão absoluta (Arrow-Pratt)	A(w) = −u”/u’
aversão relativa	R(w) = −w·u”/u’
prêmio aproximado, risco pequeno	π ≈ ½·A(w)·σ²
aversão relativa de u = ln w	1
aversão absoluta de u = −e^(−aw)	a
utilidade média-variância	U = E(r) − ½·A·σ²
A do investidor neutro	zero

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Dos itens que chegaram a este tópico no acervo, um pede o perfil a partir da função — u(w) = ln w, e a resposta é avesso, Certo — e o outro exibe um gráfico de curvas de indiferença horizontais no plano risco-retorno e o rotula de investidor propenso ao risco, gabarito Errado: retas horizontais são o investidor neutro. Um terceiro item, da FUNPRESP, entra por uma porta que esta seção não previa: os axiomas. Ele monta o paradoxo de Allais com tratamentos médicos — certeza contra quase-certeza no primeiro par, duas apostas de baixa probabilidade no segundo — e pergunta se as escolhas observadas violam as propriedades da utilidade esperada. Violam, e o item é Certo. São três itens; isso é anedota, não frequência. Mas os caminhos já são três, e vale escrever as três defesas.

Pela função: derive duas vezes e leia o sinal. Não confie na aparência da fórmula, e não decore listas. ln w, raiz de w e qualquer potência com expoente entre 0 e 1 são côncavas; a linear é neutra; w² e exponenciais crescentes são convexas. É a única leitura que não falha quando a banca inventa uma função nova.

Pelo gráfico: leia a inclinação, não o desenho. No plano (σ, E(r)), crescente é avesso, horizontal é neutro, decrescente é propenso. O caso neutro é o mais usado nas distorções justamente por ser o menos estudado: quem só decorou “curva crescente = avesso” fica sem resposta diante de três retas horizontais e aceita o rótulo que o item oferecer. Cuidado também com a troca de eixos — se o risco estiver na vertical, toda a leitura se inverte.

Pelos axiomas: procure a consequência comum. Quando dois pares de loterias diferem apenas por uma parcela de mesma probabilidade, substituída do mesmo jeito nas duas alternativas, o axioma da independência exige que a preferência não mude de lado. Se o enunciado descreve um experimento em que ela muda, o que se cobra é a violação — e a resposta é que a utilidade esperada foi contrariada, não que o indivíduo errou. Reconheça o desenho de Allais e o item se resolve sem conta.

Trocar o sentido do equivalente de certeza. Dizer que, para o avesso, o EC é maior que o valor esperado, ou que o prêmio pelo risco é negativo. É a inversão mais econômica de escrever e a mais fácil de aceitar em leitura rápida. Ancore no caso concreto: quem prefere R$ 1.000 certos a uma aposta de mesmo valor esperado aceita menos para ter certeza.

Confundir os dois prêmios. Definir o prêmio pelo risco do problema de utilidade como E(r) − r_f, ou tratar o prêmio exigido pelo mercado como função da aversão de um investidor individual. Nomes iguais, objetos diferentes.

Trocar aversão absoluta por relativa. Atribuir ao logaritmo aversão absoluta constante (é relativa; a absoluta é decrescente) ou dizer que a CARA mantém constante a fração da riqueza em risco. O advérbio que resolve é o do denominador: relativa multiplica por w.

Dizer que o avesso não investe em ativo arriscado. Confusão de aversão com recusa. O avesso aceita risco desde que o retorno esperado pague — e o preço desse “pagar” é a inclinação da sua curva de indiferença.

Estender a utilidade esperada para além do que ela promete. Afirmar que ela descreve o comportamento observado dos investidores sempre e em qualquer contexto. É um modelo normativo de escolha racional; a literatura de finanças comportamentais existe porque há desvios sistemáticos.

Erros clássicos

Achar que utilidade maior significa dinheiro maior. A função utilidade é ordinal no que interessa aqui: transformações lineares positivas não mudam escolha nenhuma. O número de “utils” não tem significado próprio — por isso os coeficientes de Arrow-Pratt dividem u” por u’.

Comparar E[u(W)] com E(W). São grandezas de unidades diferentes. A comparação que decide é E[u(W)] contra u(E[W]).

Esquecer que a análise média-variância precisa de uma hipótese. Ela só é equivalente à maximização da utilidade esperada se a utilidade for quadrática ou se os retornos forem normais. Fora disso, média e variância não resumem a distribuição — e é por isso que assimetria e curtose aparecem na crítica ao modelo.

Tratar o neutro como um caso irrelevante. É o caso que decide itens, por ser o menos estudado, e é também a hipótese usada em várias avaliações de apreçamento neutro ao risco. Guarde: curva horizontal, prêmio zero, decide por valor esperado.

Parar antes de usar a utilidade. A aversão não serve para classificar investidores; serve para dizer onde eles param na fronteira eficiente — que é o tópico seguinte.