Jogos: estratégia dominante; equilíbrio de Nash em estratégias puras × mistas

A ideia que organiza o assunto

Em concorrência perfeita ninguém precisa pensar no outro: o preço é dado e a firma só resolve um problema de cálculo. Teoria dos jogos começa exatamente onde isso deixa de valer — quando o meu melhor movimento depende do seu, e o seu do meu. A dificuldade é que não existe “a melhor estratégia” isolada; existe a melhor resposta a alguma coisa. Toda a matéria se organiza em torno de qual é essa alguma coisa.

Há só duas respostas possíveis, e elas são os dois conceitos de solução do tópico:

Estratégia dominante — é melhor resposta a tudo o que o rival possa fazer. Equilíbrio de Nash — cada estratégia é melhor resposta àquilo que o rival está efetivamente fazendo no equilíbrio.

A diferença é de quantificador: para toda ação do outro, contra dada a ação do outro. Dela decorre imediatamente a relação entre os dois, que a banca cobra de forma quase literal: todo equilíbrio em estratégias dominantes é um equilíbrio de Nash, e a recíproca é falsa. Se a minha estratégia é melhor contra tudo, em particular é melhor contra o que você escolheu; mas eu posso estar perfeitamente satisfeito com a minha escolha dado o que você fez sem que ela fosse boa contra qualquer outra coisa. Um jogo pode ter dois equilíbrios de Nash e nenhuma estratégia dominante — e é o caso mais comum nas provas.

A segunda ideia que organiza o tópico é uma advertência, e vale a pena carregá-la pronta: equilíbrio não é eficiência. No dilema dos prisioneiros, o único equilíbrio de Nash é em estratégias dominantes — confessar é melhor contra qualquer coisa — e mesmo assim os dois jogadores sairiam melhor no resultado em que ambos calam. Não há paradoxo: o equilíbrio só exige que ninguém queira mudar sozinho, e a melhoria exigiria mudar junto. É a mesma lição que o tópico de falhas de mercado dá em outro vocabulário, o de externalidades: decisão individualmente racional, resultado coletivamente inferior.

Por que se usa (e o que custa)

O modelo compra uma coisa que nenhum outro instrumento da microeconomia entrega: previsão sobre decisões interdependentes. Oligopólio, guerra de preços, entrada de concorrente, negociação salarial, corrida bancária, política monetária sob expectativas — tudo isso é gente decidindo em função do que espera dos outros, e sem conceito de equilíbrio não há o que dizer.

O preço tem três parcelas, e conhecê-las é o que separa o candidato que decorou do que entendeu. Primeira: o modelo supõe racionalidade de conhecimento comum — eu sou racional, você é, eu sei que você é, você sabe que eu sei, sem fim. Segunda: supõe que os pay-offs são conhecidos por todos, o que quase nunca é verdade e obriga a versão com informação incompleta. Terceira, e a mais séria para a prova: o equilíbrio pode não ser único. Quando há dois ou mais, a teoria diz quais resultados são estáveis e não diz qual vai ocorrer — e é justamente por isso que um item pode afirmar que certo par é equilíbrio de Nash sem que isso torne falso outro par também sê-lo.

Como funciona

A forma normal. Um jogo estático se representa por uma matriz: linhas são as estratégias de um jogador, colunas as do outro, e cada célula traz o par de pay-offs, o da linha à esquerda e o da coluna à direita. Simultâneo, aqui, não quer dizer no mesmo instante do relógio: quer dizer que cada um decide sem observar a decisão do outro.

Dominância. Compare os ganhos de um mesmo jogador, mantendo fixa a ação do rival. A estratégia é estritamente dominante se dá ganho maior contra toda ação possível do adversário, e fracamente dominante se dá ganho pelo menos igual, com vantagem estrita em ao menos um caso. Se ambos os jogadores têm estratégia dominante, o cruzamento delas é o equilíbrio em estratégias dominantes. Uma estratégia dominada pode ser eliminada, e a eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas às vezes resolve o jogo sozinha.

Equilíbrio de Nash em estratégias puras. O teste é mecânico e é o único que decide: fixe a estratégia do adversário e pergunte se o jogador melhora desviando sozinho. Se nenhum dos dois melhora, a célula é equilíbrio. Tome o jogo que já caiu, com os ganhos de X à esquerda:

	Y1	Y2
X1	4 ; 8	0 ; 0
X2	2 ; 4	12 ; 6

Nenhum dos dois tem estratégia dominante: X prefere X1 contra Y1 e X2 contra Y2; Y prefere Y1 contra X1 e Y2 contra X2. Ainda assim há dois equilíbrios de Nash puros. Em (X1;Y1), X cairia de 4 para 2 e Y cairia de 8 para 0 se desviassem sozinhos; em (X2;Y2), X cairia de 12 para 0 e Y de 6 para 4. É um jogo de coordenação, e ele exibe as duas afirmações do tópico ao mesmo tempo: não há equilíbrio dominante e há equilíbrio de Nash.

Estratégias mistas. Misturar é escolher uma distribuição de probabilidade sobre as próprias ações. A chave inteira está numa frase: um jogador só mistura quando está indiferente, porque, se uma das ações fosse estritamente melhor, ele a jogaria com probabilidade 1. Daí vem a condição que encontra as probabilidades, e ela é contraintuitiva: a probabilidade de um jogador é determinada pelos pay-offs do outro, pois é ela que precisa tornar o outro indiferente.

O jogo das duas carreiras em negociação salarial mostra a conta. Aceitar a proposta dá 5% a cada uma; rejeitar sozinha dá 10% a quem rejeita e 5% a quem aceitou; rejeitarem as duas, com greve, dá 0%. Chame de p a probabilidade de a carreira A aceitar. A carreira B ganha 5 aceitando, qualquer que seja p, e ganha 10p rejeitando. Indiferença: 10p = 5, portanto p = 0,5. Por simetria a carreira B também aceita com 50%.

O teorema de Nash. Todo jogo finito — número finito de jogadores e de estratégias — tem pelo menos um equilíbrio em estratégias mistas. E como uma estratégia pura é uma mista degenerada, com probabilidade 1 numa ação, um jogo que tem equilíbrio puro também tem equilíbrio misto. Por isso a afirmação “existe equilíbrio de Nash em estratégias mistas” é verdadeira em qualquer jogo finito, sem conta nenhuma.

O que decide os itens

Os dois conceitos, lado a lado:

	exige que a estratégia seja	como se testa	existe sempre?
Estratégia dominante	melhor contra toda ação do rival	linha contra linha, para cada coluna	não
Equilíbrio de Nash puro	melhor dada a ação do rival	desvio unilateral em cada célula	não
Equilíbrio de Nash misto	idem, sobre distribuições	condição de indiferença do adversário	sim, em jogo finito

As implicações que a banca cobra:

afirmação	vale?
equilíbrio dominante ⇒ equilíbrio de Nash	sim, sempre
equilíbrio de Nash ⇒ equilíbrio dominante	não
jogo finito ⇒ existe equilíbrio em estratégias mistas	sim (teorema de Nash)
jogo finito ⇒ existe equilíbrio em estratégias puras	não
equilíbrio de Nash ⇒ resultado eficiente (Pareto)	não (dilema dos prisioneiros)
equilíbrio de Nash é único	não, a multiplicidade é comum
jogador mistura porque está indiferente	sim, é a condição que resolve

O procedimento, na ordem em que poupa tempo:

Procure dominância para cada jogador, comparando as linhas dele coluna a coluna. Achou nos dois? O cruzamento é equilíbrio dominante e também de Nash.
Não achou? Marque, em cada coluna, a melhor resposta do jogador da linha, e em cada linha a do jogador da coluna. Célula com as duas marcas é Nash puro. Pode haver nenhuma, uma ou várias.
Só então parta para o misto, e use sempre os pay-offs do adversário para achar a probabilidade de cada jogador.

Vocabulário que decide leitura de item: jogo estático é decisão sem observar a do outro (forma normal, matriz); jogo sequencial é decisão com observação (forma extensiva, árvore, e é do tópico vizinho); estratégia é o plano completo, não a jogada isolada; pay-off é o ganho já avaliado pelo jogador, não a receita contábil.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Dos seis itens que chegaram a este tópico — número que é piso, porque item curto, cujo assunto só aparece no comando do grupo, escapa do classificador —, cinco são Certos e um é Errado, e o desenho dos cinco diz mais do que a proporção. Todos os cinco são proposições limpas da teoria, sem adjetivo e sem exagero: existe equilíbrio de Nash em estratégias mistas, reduzir é estratégia dominante para B2, o jogo não possui equilíbrio em estratégias dominantes, o par (X1;Y1) é equilíbrio de Nash em estratégias puras, há 50% de probabilidade de a carreira A aceitar. Nenhum deles se resolve pela forma da frase; todos se resolvem fazendo a conta ou aplicando a definição.

O item pede que você leia o gráfico ou a matriz, e é aí que se perde tempo. Cinco dos seis vêm acompanhados de uma tabela de pay-offs ou de uma árvore, e o enunciado costuma explicar em texto corrido qual coordenada é de quem. Leia essa frase antes de olhar os números: trocar a ordem das coordenadas erra todos os itens do grupo de uma vez.

O erro mora no endereço, não na intensidade. O único item Errado dos seis afirma que a combinação em que as duas carreiras aceitam a oferta é equilíbrio de Nash em estratégias puras. A propriedade existe no jogo — há dois equilíbrios puros —, mas está pendurada na célula errada: quem aceita sozinho ganha 5% e, rejeitando sozinho, ganharia 10%, logo há desvio lucrativo e aquela célula não é equilíbrio. Espere esse movimento com frequência: afirmação verdadeira sobre o jogo, aplicada ao par de estratégias errado.

A célula simpática não é o equilíbrio. A combinação escolhida pelo item errado é justamente a que parece boa — as duas aceitam, ninguém entra em greve, ninguém fica para trás. É o reflexo que o dilema dos prisioneiros existe para quebrar. Simetria, cooperação e eficiência não são critérios de equilíbrio; o critério é um só, o desvio unilateral.

Afirmações de existência costumam ser Certas, e por teorema. Dois dos seis itens afirmam existência ou negam existência: existe equilíbrio misto (Certo, pelo teorema de Nash) e não possui equilíbrio em estratégias dominantes (Certo, verificável em quatro comparações). Note que o segundo é uma negação categórica e ainda assim é Certo — o hábito de desconfiar de frases absolutas, útil em outras disciplinas, não funciona aqui. Numa matéria feita de definições e teoremas, o absoluto costuma ser da teoria, e não do examinador.

A confusão que o tópico foi desenhado para testar. Um item nega equilíbrio dominante e outro afirma equilíbrio de Nash sobre o mesmo jogo, e os dois são Certos. Quem não separou os quantificadores lê contradição onde não há, e erra um dos dois por coerência aparente.

Erros clássicos

Achar que negar o equilíbrio dominante nega o de Nash. É o erro mais caro do tópico, e o jogo da Petrobras o testa diretamente. Não há estratégia melhor contra tudo, e há duas células estáveis. As duas afirmações convivem.

Procurar dominância na célula em vez de na linha. Dominância é comparação dos ganhos de um jogador entre as próprias estratégias, com a do rival fixa. Olhar a célula de maior soma e chamá-la de dominante é o erro de leitura mais frequente em matriz.

Calcular a probabilidade do jogador com os pay-offs dele. No equilíbrio misto, a probabilidade de A sai da indiferença de B. Quem usa os próprios ganhos inverte a condição e acerta apenas por acaso, em jogos simétricos.

Confundir estratégia com jogada. Estratégia é o plano completo, que diz o que fazer em cada situação possível. Em jogo sequencial isso fica evidente, mas o vocabulário já vale aqui — e é o que permite dizer que um jogo com árvore também tem forma normal.

Tratar equilíbrio de Nash como recomendação. Ele descreve estabilidade, não conselho. No dilema dos prisioneiros, seguir o equilíbrio é o que produz o pior resultado conjunto; é a estrutura do jogo, e não a irracionalidade dos jogadores, que responde por isso.

Supor unicidade. Nada impede dois, três ou infinitos equilíbrios. Item que afirme que certo par é equilíbrio não fica errado por existir outro par que também é.

Exigir estratégia mista onde há pura. Estratégia pura é caso particular de mista. Afirmar que um jogo com equilíbrio puro não tem equilíbrio misto é falso, e é a armadilha natural do enunciado do teorema de Nash.