Amostragem estratificada × conglomerados; alocação uniforme, proporcional e de Neyman

A ideia que organiza o assunto

Os dois desenhos começam igual: parte-se a população em grupos. É aí que param de se parecer, e a diferença inteira cabe em uma pergunta:

O que é sorteado — o elemento ou o grupo?

Na amostragem estratificada, o grupo é apenas um critério de divisão. Todos os estratos entram na amostra, e dentro de cada um se faz um sorteio de elementos. O estrato não é unidade amostral; a unidade continua sendo o elemento.

Na amostragem por conglomerados, o grupo é a própria unidade de sorteio. Sorteiam-se conglomerados, e os que não foram sorteados ficam integralmente de fora — nenhum dos seus elementos aparece. No conglomerado em um estágio, o contrário também vale: sorteado o conglomerado, todos os seus elementos entram com probabilidade 1.

Dessa diferença decorre tudo o mais, inclusive a inversão que a banca mais explora. Como você escolhe o critério de divisão, você escolhe também o que os grupos serão por dentro:

	o grupo é construído para ser	efeito sobre a variância
estrato	internamente homogêneo, e diferente dos demais	ganha precisão
conglomerado	internamente heterogêneo, uma miniatura da população	perde precisão

O raciocínio é direto. Se o estrato é homogêneo, poucos elementos dele já contam toda a sua história, e a variância dentro do estrato — que é a única que sobra para o estimador — é pequena. Se o conglomerado é heterogêneo e você só observa alguns conglomerados, a variação entre conglomerados não amostrados fica inteiramente por conta do acaso, e o erro cresce em relação a uma amostra aleatória simples do mesmo tamanho.

Então por que alguém usaria conglomerados? Porque o que se compra ali não é precisão, é custo. Isso está na seção seguinte, e a troca é o único motivo de o desenho existir.

Resolvido o desenho, sobra a segunda pergunta do tópico, que só faz sentido dentro da estratificada: dado o tamanho total n, quanto vai para cada estrato? São três respostas — uniforme, proporcional e de Neyman —, e elas se distinguem por quanta informação usam.

A fronteira com o básico. O básico compartilhado de Lógica e Estatística cobre população × amostra, censo × amostragem e amostragens probabilísticas e não probabilísticas: é lá que se aprende a nomear os desenhos e a separar probabilístico de não probabilístico — simples, sistemática, estratificada, conglomerados de um lado; conveniência, cotas, julgamento do outro. Aqui interessa o que vem depois do nome: a aritmética da alocação e a comparação de variância entre os desenhos. Na prática: reconhecer que um plano é estratificado é do básico; dizer quantos elementos cada estrato recebe sob Neyman, e por que isso minimiza a variância, é daqui.

Por que se usa (e o que custa)

A estratificada compra precisão. Ao garantir que todos os estratos estejam representados, ela elimina do erro amostral a variação entre estratos — sobra apenas a variação de dentro deles, que o desenho foi feito para manter pequena. Para o mesmo n, estratificar bem produz estimativa com variância menor que a da amostragem aleatória simples, e ainda entrega de brinde estimativas por estrato, úteis por si mesmas.

O preço é informação prévia e trabalho. É preciso ter um cadastro que diga a que estrato cada elemento pertence, escolher uma variável de estratificação que de fato se correlacione com a variável de interesse, e sortear em todos os estratos — o que, geograficamente, pode significar ir a toda parte. Estratificar por uma variável irrelevante não erra o resultado; apenas não ganha nada.

O conglomerado compra barateamento. Sorteados vinte bairros, o entrevistador visita vinte endereços e não mil espalhados pelo país; e basta um cadastro dos conglomerados, não de todos os elementos da população — o que muitas vezes é a única lista que existe.

O preço é precisão. Para o mesmo n, a amostra por conglomerados tem variância maior que a aleatória simples, tanto mais quanto mais parecidos forem os elementos de um mesmo conglomerado, que é justamente o que acontece quando o conglomerado é geográfico. É por isso que o desenho é usado quando o orçamento manda, não quando a precisão manda — e por isso compensa-se o desenho com um n maior.

As duas exigências são opostas, e é essa oposição que a banca inverte. O estrato ideal é homogêneo por dentro e distinto dos demais; o conglomerado ideal é heterogêneo por dentro e igual aos demais. Guarde os dois adjetivos colados ao seu desenho.

Como funciona

Notação. A população tem N elementos repartidos em L grupos; o grupo h tem N(h) elementos e desvio padrão σ(h) da variável de interesse; a amostra total é n e o grupo h recebe n(h).

Alocação uniforme (igual). Cada estrato recebe a mesma quantidade: n(h) = n/L. Não usa nem o tamanho nem a dispersão do estrato. É a mais simples, é a que mais super-representa estratos pequenos, e é adequada quando se quer estimativa de cada estrato com precisão parecida, não a média global com precisão máxima.

Alocação proporcional. Cada estrato recebe em proporção ao seu tamanho: n(h) = n × N(h)/N. Usa o tamanho e ignora a dispersão. Tem uma propriedade que cai: sob alocação proporcional, todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de seleção — o plano é autoponderado e a média amostral simples já estima a média populacional sem pesos.

Alocação ótima de Neyman. Cada estrato recebe em proporção ao produto do tamanho pela dispersão:

n(h) = n × [ N(h)·σ(h) ] / Σ N(k)·σ(k)

É a única das três que usa o desvio padrão, e é a que minimiza a variância do estimador da média para um n total fixo. Esse é o fato do tópico que mais vale carregar. A lógica é intuitiva: não adianta gastar amostra onde todos os elementos são parecidos — a informação está onde há variação. Consequência que parece erro e não é: um estrato pequeno, porém muito disperso, pode receber mais amostra que um estrato grande e homogêneo.

Quando todos os σ(h) são iguais, Neyman degenera em proporcional — a dispersão sai da conta por ser comum a todos. Proporcional, portanto, é caso particular de Neyman, e não um método rival.

Os três em uma frase. Uniforme ignora tudo; proporcional usa o tamanho; Neyman usa tamanho e dispersão.

O sorteio dentro do estrato. Fixado n(h), o que se faz dentro do estrato é uma amostragem aleatória simples, em geral sem reposição. Daí a combinatória que os itens cobram: a probabilidade de sair um conjunto específico de n(h) elementos entre os N(h) do estrato é 1 dividido pelo número de combinações de N(h) tomados n(h) a n(h).

A consequência que decide itens de probabilidade. Amostra estratificada não é amostra aleatória simples da população: as cotas por estrato são fixadas antes do sorteio. Logo, qualquer combinação que exija de um estrato mais elementos do que a sua cota tem probabilidade zero — não é improvável, é impossível. Antes de calcular qualquer coisa, verifique se a combinação pedida cabe nas cotas.

Conglomerados em um e em dois estágios. Em um estágio, sorteia-se o conglomerado e observam-se todos os seus elementos — é o censo dentro do grupo sorteado. Em dois estágios, sorteia-se o conglomerado e, dentro dele, sorteia-se uma subamostra de elementos. O segundo caso é o que mais se parece, por fora, com a estratificada — e continua sendo conglomerado, porque há grupos inteiros que não foram sorteados.

O que decide os itens

par	o que decide
estrato × conglomerado	o que é sorteado: elemento dentro de todos os grupos × o grupo inteiro
estrato × conglomerado (composição)	estrato homogêneo por dentro; conglomerado heterogêneo por dentro
estrato × conglomerado (variância)	estratificada reduz a variância; conglomerado a aumenta
estrato × conglomerado (motivo)	estratificada busca precisão; conglomerado busca custo
unidade amostral	na estratificada é o elemento; no conglomerado é o grupo
todos os grupos entram?	todos os estratos, sim; nem todos os conglomerados
uniforme × proporcional × Neyman	ignora tudo × usa N(h) × usa N(h) e σ(h)
quem minimiza a variância	Neyman, para n total fixo
quem é autoponderado	a proporcional: mesma probabilidade de seleção para todo elemento
Neyman × proporcional	coincidem quando todos os σ(h) são iguais
estrato pequeno recebe muito	não é erro sob Neyman — é o sinal de que σ(h) é alto
cota do estrato × probabilidade	combinação que excede a cota tem probabilidade zero
conjunto × elemento no sorteio	probabilidade de um conjunto sem ordem é 1/C(N(h), n(h))
tamanho do estrato × variabilidade	são propriedades independentes: estrato grande não implica mais disperso
um estágio × dois estágios	com todos os elementos do conglomerado × com subamostra dentro dele

Números que caem

quantidade	valor
alocação uniforme	n(h) = n/L
alocação proporcional	n(h) = n × N(h)/N
alocação de Neyman	n(h) = n × N(h)σ(h) / Σ N(k)σ(k)
quem minimiza a variância para n fixo	Neyman
Neyman = proporcional quando	todos os σ(h) são iguais
probabilidade de um conjunto específico no estrato	1 / C(N(h), n(h))
C(4, 2)	6 — logo, probabilidade 1/6 ≈ 0,167
exemplo ANTT: N(h)·σ(h)	6×5 = 30, 10×3 = 30, 4×10 = 40, soma 100
exemplo ANTT: Neyman com n = 10	3, 3 e 4 elementos
exemplo ANTT: proporcional com n = 5	1,5 · 2,5 · 1 — nunca 3 elementos do estrato A

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Dos 8 itens que chegaram a este tópico, 4 são Certos e 4 são Errados. As distorções não se repetem: uma troca de termo sobre a unidade amostral, um número errado, outra troca de termo sobre o que o tamanho da amostra conta e uma relação causal inventada entre tamanho e dispersão do estrato — nenhuma generalização, nenhuma exceção omitida. A repartição por formato divide o tópico ao meio: 4 dos 8 itens são de cálculo, pendurados em enunciados com tabela, e 4 são conceituais.

Esse 8 é piso, não medida. A banca nomeia o assunto no comando do grupo, e itens curtos carregam poucas palavras próprias para classificar — metade destes 8 só chegou ao tópico por reclassificação manual; nesta disciplina soma-se a isso o fato de que boa parte do que o acervo guarda sobre amostragem veio em fonte simbólica e não sobreviveu à extração. O que segue é a leitura desses 8.

Metade do tópico é conta. Os itens de cálculo se resolvem com a mesma tabela — tamanhos e desvios padrão por estrato — e diferem só na alocação invocada. A defesa é sempre a mesma e é mecânica: escreva as cotas n(h) antes de ler o resto do item. Com as cotas na mão, Neyman vira uma regra de três, a alocação proporcional descarta combinações impossíveis de imediato, e a uniforme reduz o problema a uma combinação simples dentro de um estrato.

O item conceitual mais direto é exatamente a inversão do título. “Na amostragem aleatória estratificada, cada estrato constitui uma unidade amostral” — Errado, porque isso é a definição de conglomerado. É a manobra a esperar, e a defesa é a pergunta da primeira seção: o que é sorteado, o elemento ou o grupo?

Não procure absoluto — e desconfie do reflexo de que absoluto indique Errado. As duas afirmações mais categóricas do lote são Certo: “a probabilidade … será igual a zero”, porque a impossibilidade é consequência aritmética das cotas, e “a probabilidade de seleção do elemento 9 é igual a 1”, porque o conglomerado sorteado entra inteiro. E o único item com quantificador universal, “cada estrato”, é Errado — mas por conteúdo, não por ênfase. O tell gramatical que funciona nos itens de TI não tem aqui o que prever: amostragem é feita de definições e de identidades, e definição é absoluta por natureza. A pergunta útil continua sendo de quem é o absoluto.

O que substitui: direção e endereço. Os Errados são exemplares disso. Um troca o endereço de uma definição — cola no estrato a propriedade do conglomerado. Outro inventa uma relação que os dados do próprio enunciado desmentem: estrato maior seria estrato mais disperso, quando o maior dos três tem o menor desvio padrão. Outro erra o número por confundir o sorteio de um par com o sorteio de um elemento: 0,25 é 1/4, a probabilidade de escolher um entre quatro, quando o que se pedia era um entre os seis pares possíveis. Em item de alocação, portanto: confira o que foi sorteado e quantos de cada vez.

A armadilha do estrato pequeno. Um dos Certos destina ao estrato menor da população a maior fatia da amostra — 4 de 10 para um estrato de apenas 4 elementos. Parece erro e não é: aquele estrato tem desvio padrão 10 contra 5 e 3 dos outros, e é isso que Neyman pondera. Item que aparenta desproporção entre tamanho do estrato e tamanho da subamostra costuma ser Neyman funcionando, não Neyman errado.

A outra metade do título apareceu, e pelo mesmo flanco. Dois dos 8 itens são de conglomerados, e ambos se decidem pela pergunta da primeira seção — o que é sorteado? Um afirma que uma amostra por conglomerados de tamanho 2 tem exatamente dois elementos: Errado, porque o 2 conta grupos, e o número de elementos observados varia com o tamanho dos grupos sorteados. O outro pergunta a probabilidade de um elemento estar na amostra sabendo-se que um vizinho de conglomerado está: Certo, é 1, porque o sorteio leva o grupo inteiro. Some ao item que confunde estrato com unidade amostral e o padrão do tópico fica: a unidade de sorteio decide quase tudo.

Erros clássicos

Inverter homogêneo e heterogêneo. É o erro número um do assunto. Estrato é homogêneo por dentro e distinto dos outros; conglomerado é heterogêneo por dentro e parecido com os outros. Amarre cada adjetivo ao seu desenho e a metade conceitual do tópico se resolve sozinha.

Achar que o estrato é a unidade amostral. Não é. Todos os estratos entram e o que se sorteia dentro deles é o elemento. Quem tem o grupo como unidade de sorteio é o conglomerado.

Achar que conglomerado é mais preciso porque também divide a população. Dividir não é o que gera precisão; o que gera precisão é a homogeneidade interna. Para o mesmo n, o conglomerado é menos preciso que a aleatória simples, e a estratificada é mais.

Usar Neyman achando que ele pondera só pelo tamanho. Quem pondera só pelo tamanho é a alocação proporcional. Neyman usa tamanho e desvio padrão, e essa é a única diferença entre os dois.

Estranhar que um estrato pequeno receba muita amostra. Sob Neyman isso é esperado e correto sempre que o estrato for o mais disperso. Amostra vai para onde há variação, não para onde há gente.

Supor que estrato maior é estrato mais variável. Tamanho e dispersão são propriedades independentes — é exatamente por isso que existem duas alocações diferentes, uma para cada uma delas.

Tratar amostra estratificada como amostra aleatória simples da população. As cotas por estrato são fixadas antes do sorteio. Qualquer combinação que peça de um estrato mais elementos do que a sua cota tem probabilidade zero, e não uma probabilidade pequena.

Calcular a probabilidade de um conjunto como se fosse a de um elemento. Sair o par {17, 18} entre quatro elementos é 1/C(4,2) = 1/6, não 1/4. Confira sempre quantos elementos o sorteio retira de uma vez.

Aplicar a alocação uniforme e esperar precisão máxima. A uniforme ignora tamanho e dispersão; ela serve para comparar estratos entre si, não para estimar a média geral com variância mínima.

Esquecer que proporcional é caso particular de Neyman. Quando todos os desvios padrão coincidem, as duas alocações dão exatamente os mesmos números — e um item que afirme isso está correto.