Dados em painel: efeito fixo × efeito aleatório; teste de Hausman; painel balanceado

A ideia que organiza o assunto

Um painel observa as mesmas unidades — municípios, empresas, países, bancos — em vários períodos. Isso não é apenas mais dados: é uma segunda dimensão de variação, e é ela que resolve o problema central da econometria aplicada.

O problema é o seguinte. Cada unidade carrega características que o pesquisador não observa e que não mudam no tempo: a qualidade da gestão de uma empresa, a vocação econômica de um município, a cultura institucional de um país. Se essas características afetam a variável dependente e se correlacionam com os regressores, o corte transversal produz viés de variável omitida e não há o que fazer — a variável simplesmente não está na base. O painel oferece uma saída que dispensa observar o que não se observa: como o atributo é o mesmo em todos os períodos daquela unidade, ele pode ser eliminado por diferença em vez de controlado por inclusão.

Escreva o modelo com o erro partido em duas parcelas:

y(i,t) = β·x(i,t) + α(i) + u(i,t)

O efeito individual α(i) varia entre unidades e é constante no tempo. O erro idiossincrático u(i,t) varia nas duas dimensões. Guardar essa separação é metade do tópico: quase todo item de painel fala de uma das duas parcelas, e trocar uma pela outra já basta para errar.

A outra metade é uma única pergunta, e ela organiza tudo o que vem a seguir: α(i) é correlacionado com os regressores?

• Se pode ser — use efeito fixo, que o elimina e por isso não precisa saber.
• Se não é — use efeito aleatório, que o mantém no erro, é mais eficiente e ainda estima variáveis constantes no tempo.

E como a pergunta não se responde por inspeção, existe um teste para ela: o teste de Hausman. É só isso. Diante de qualquer item do tópico, localize de qual das duas parcelas do erro a frase fala e o que ela afirma sobre a correlação.

Uma delimitação útil: a inferência básica — o que é um estimador, o que é consistência, como se lê um qui-quadrado — pertence ao básico de Lógica e Estatística. Aqui interessa o que é específico do painel: qual estimador sobrevive a qual hipótese, e por quê.

Por que se usa (e o que custa)

Ganha-se o controle da heterogeneidade não observada constante no tempo, que é a razão de existir da técnica. Ganha-se também variabilidade, graus de liberdade e alguma folga contra multicolinearidade, porque a amostra passa a ter N×T observações em vez de N.

Paga-se caro, e o preço é a fonte de metade dos itens.

O efeito fixo não estima o que não varia. Sexo, raça, distância entre duas cidades, data de fundação da empresa, regime jurídico do país: tudo isso é constante no tempo e desaparece junto com α(i) na transformação. Se a pergunta de pesquisa é justamente o efeito de uma dessas variáveis, o efeito fixo é inutilizável — é o único caso em que a consistência não basta.

O efeito fixo usa apenas a variação interna. Unidades que não mudam ao longo do período não contribuem para a estimação, e séries com pouca variação temporal produzem coeficientes imprecisos. A robustez tem custo em eficiência.

O painel exige acompanhar as mesmas unidades, o que é caro, e abre a porta para a atrição — unidades que somem da amostra. Se somem por motivo relacionado ao que se estuda, o painel desbalanceado traz viés de seleção, e aí a estrutura dos dados deixou de ser um detalhe operacional.

Como funciona

MQO agrupado (pooled OLS). Empilha tudo e ignora a estrutura de painel: α(i) vai inteiro para dentro do erro. Só é consistente se α(i) for ortogonal aos regressores, e mesmo então os erros-padrão convencionais estão errados, porque as observações de uma mesma unidade têm erro correlacionado ao longo do tempo. É o ponto de partida contra o qual os outros dois se justificam.

Efeito fixo — a transformação within. Calcule a média de cada variável dentro de cada unidade e subtraia-a de cada observação. Como α(i) é constante no tempo, sua média é ele mesmo e a subtração o aniquila. O que resta é uma regressão sobre desvios, estimável por MQO e consistente esteja α(i) correlacionado ou não — é essa indiferença que faz do efeito fixo o estimador seguro.

Efeito fixo — a versão LSDV. O mesmo resultado se obtém incluindo uma variável binária por unidade. Com intercepto na equação, uma das binárias tem de ficar de fora, sob pena de multicolinearidade perfeita com ele: a soma das n binárias é exatamente a constante. A unidade omitida não sai do modelo — vira categoria de referência, absorvida pelo intercepto, e as demais binárias medem diferenças em relação a ela. Daí a proposição que a banca gosta de inverter: no efeito fixo o intercepto não é único, há um por unidade.

Primeiras diferenças. Subtrair a observação anterior também mata α(i). Com T=2 é idêntico ao within; com T maior, os dois diferem e a escolha depende da correlação serial de u(i,t).

Efeito aleatório — MQG factível. Aqui α(i) permanece no erro composto v(i,t) = α(i) + u(i,t), e assume-se E[α(i) | x(i,t)] = 0: o efeito é um sorteio independente dos regressores. Essa estrutura induz correlação constante entre os erros de uma mesma unidade, e o estimador a corrige por quase-desvio de médias: subtrai-se não a média inteira, mas uma fração θ dela. Os dois extremos revelam o que o θ significa — com θ = 0 recai-se no MQO agrupado; com θ = 1, no efeito fixo. Por incorporar a covariância correta, o efeito aleatório é mais eficiente que o agrupado quando suas hipóteses valem; e por não eliminar α(i), é o único dos dois que estima coeficientes de variáveis constantes no tempo.

Teste de Hausman. Compara os dois vetores de coeficientes. Sob a hipótese nula de ausência de correlação entre α(i) e os regressores, ambos são consistentes e devem diferir apenas por erro amostral, sendo o aleatório o mais eficiente; sob a alternativa, só o fixo é consistente e a diferença cresce sistematicamente. A estatística é uma forma quadrática nessa diferença, com distribuição qui-quadrado cujos graus de liberdade correspondem ao número de regressores que variam no tempo — só esses são comparáveis, já que os demais nem existem na estimação por efeito fixo. Rejeitar a nula condena o efeito aleatório e conduz ao efeito fixo.

Painel balanceado e não balanceado. É uma questão de formato, e só disso: no balanceado, toda unidade é observada em todos os períodos; no não balanceado, faltam observações para ao menos uma unidade em ao menos um período. Os estimadores funcionam nos dois casos. O desbalanceamento custa eficiência, e apenas quando a ausência de dados se relaciona ao fenômeno estudado é que introduz viés de seleção.

Efeitos fixos de duas vias. Nada impede incluir também binárias de tempo, controlando choques comuns a todas as unidades em cada período. É essa especificação que sustenta o estimador de diferenças em diferenças, assunto da ordem 15.

O que decide os itens

	Efeito fixo	Efeito aleatório
hipótese sobre α(i)	pode ser correlacionado com x	não correlacionado com x
o que faz com α(i)	elimina (within ou binárias)	mantém no erro composto
consistência	sempre, sob as duas hipóteses	só se a ortogonalidade valer
eficiência	menor	maior, quando a hipótese vale
variáveis constantes no tempo	não estima	estima
intercepto	um por unidade	único, com desvio aleatório
estimação	MQO sobre desvios / LSDV	MQG factível (quase-desvio)

Resultado do Hausman	Leitura	Decisão
rejeita a nula	há correlação; o aleatório é inconsistente	efeito fixo
não rejeita	ambos consistentes; o aleatório é eficiente	efeito aleatório

Termo	O que é	Com o que a banca o confunde
efeito individual α(i)	constante no tempo, varia entre unidades	erro idiossincrático
erro idiossincrático u(i,t)	varia no tempo e entre unidades	efeito individual
painel balanceado	toda unidade em todo período	igualdade de coeficientes, tamanho de amostra
MQO agrupado	ignora a estrutura de painel	efeito aleatório
categoria de referência (LSDV)	unidade absorvida pelo intercepto	unidade excluída da amostra

Três consequências que decidem item sozinhas:

• O efeito fixo é consistente nos dois mundos; o aleatório, em um só. Qualquer item que apresente o aleatório como a escolha segura está errado.
• Quem controla o não observado constante no tempo é o efeito fixo. O aleatório não controla: ele supõe que não há o que controlar.
• Eficiência não é consistência. O MQO agrupado perde eficiência diante de efeito aleatório e perde consistência diante de efeito correlacionado. São falhas de gravidade diferente.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Chegaram a este tópico nove itens, vindos de três provas — BACEN, ANATEL e INFRASA —, dos quais quatro são Certos e cinco, Errados. O número é piso, não frequência: a banca nomeia o assunto no comando do grupo, e itens curtos que não repetem o termo escapam do classificador. Some-se a isso que, nesta disciplina, cerca de quarenta por cento do acervo ficou de fora por notação estatística que não sobreviveu à extração dos cadernos. O que se mede aqui é o que chegou, e é menos do que a banca cobrou.

O eixo do tópico responde por quatro dos nove. Dois deles, do BACEN, são o par definidor — um enuncia a ortogonalidade do efeito aleatório, o outro a correlação admitida pelo efeito fixo, e ambos são Certos. Os outros dois são o teste de Hausman e sua aplicação. Os cinco restantes cobram a maquinaria em volta: armadilha da variável binária, eficiência do MQO agrupado, painel balanceado, unicidade do intercepto e a própria razão de ser do painel. Quem decorar apenas o quadro fixo × aleatório acerta menos da metade.

A direção do Hausman é o item mais caro do tópico, e a banca o escreveu na forma correta. “Constatada a correlação, o efeito aleatório é inconsistente e deve ser utilizado o modelo de efeitos fixos” — Certo. Espere ver a mesma frase com os estimadores trocados, que é a forma mais barata de produzir um Errado aqui.

Pendurar no estimador errado a propriedade do outro. É o Errado do INFRASA: descreve com exatidão “controla características não observadas constantes ao longo do tempo” e atribui a capacidade ao efeito randômico. A frase é verdadeira sobre o efeito fixo e falsa sobre aquele a que foi colada. Leia o nome do estimador e a propriedade como duas informações separadas e confira o par.

Errar na justificativa e não no procedimento. Um dos Errados da ANATEL enuncia corretamente a regra das binárias — retirar uma quando há intercepto — e erra no porquê, alegando que uma das unidades é excluída por construção. Nenhuma unidade é excluída; retira-se a binária para evitar multicolinearidade perfeita. Em econometria, oração iniciada por porque costuma carregar o gabarito.

Substituir uma definição por uma proposição alheia que soa técnica. Dois Errados da ANATEL seguem esse molde: o painel balanceado definido pela igualdade do impacto dos regressores, e a vantagem do painel definida pela obtenção de valores críticos na normal padrão. Nos dois casos a estrutura da frase está impecável e o conteúdo não tem relação com o termo. Defesa: quando o item abre com a diferença entre X e Y consiste em ou a principal vantagem é, recite a definição de memória antes de ler o predicado oferecido.

Não procure absolutos: eles não decidem nada aqui. Em todos os nove itens há um único advérbio absoluto — o sempre de “uma das entidades é sempre excluída” —, e ele está dentro da justificativa falsa de um Errado. Nenhum Certo traz absoluto. Na direção contrária, a frase mais impositiva do conjunto, “deve ser utilizado o modelo de efeitos fixos”, é Certo; um Certo é uma negação (“não são correlacionadas”) e outro vem hedgeado com “geralmente”. A gramática não separa os dois gabaritos neste tópico. O que separa é endereço e direção: dos cinco Errados, três atribuem uma propriedade ao objeto errado — outro estimador, outro intercepto, outra causa — e dois trocam uma definição inteira. Nenhum erra por exagerar a força da afirmação.

Nenhum item do tópico erra por número. Não há percentual, prazo ou limite em jogo: os erros são todos de conteúdo conceitual. Não perca tempo conferindo dígitos aqui.

Erros clássicos

Achar que o efeito aleatório controla a heterogeneidade não observada. Ele não controla — supõe que ela é inofensiva. Quem controla, eliminando, é o efeito fixo. Esta é a confusão mais produtiva do tópico e a origem direta de um dos Errados medidos.

Inverter a conclusão do Hausman. Rejeitou a nula, vá para o fixo. O truque de memória: a nula é a hipótese generosa, a que permite usar o modelo mais eficiente; rejeitá-la é perder a generosidade e ficar com o modelo que sobrevive sem ela.

Ler a hipótese nula do Hausman como “os modelos são iguais”. A nula é sobre a ortogonalidade de α(i); a igualdade dos coeficientes é apenas a consequência observável que o teste usa.

Trocar efeito individual por erro idiossincrático. Idiossincrático é o que varia dentro da unidade ao longo do tempo. O efeito individual é o que não varia. Um item que atribua ao idiossincrático a constância no tempo já se decidiu.

Dizer que o efeito fixo tem intercepto único. Tem um por unidade — é isso que ele é. Intercepto único é do MQO agrupado.

Esperar que o efeito fixo estime o coeficiente de uma variável constante no tempo. Ela desaparece na transformação. Se o item apresenta o efeito fixo estimando o efeito do regime jurídico, do sexo ou da distância, está errado por construção — e é aí, e não na consistência, que o efeito aleatório tem vantagem real.

Definir painel balanceado por qualquer coisa que não seja o formato dos dados. Toda unidade em todo período. Não é sobre coeficientes, não é sobre tamanho de amostra, não é sobre qualidade do ajuste.

Confundir a entidade omitida no LSDV com entidade excluída da amostra. Ela continua lá, como categoria de referência dentro do intercepto.

Tratar o MQO agrupado como inofensivo. Sob efeito aleatório ele é consistente e apenas ineficiente, com erros-padrão inválidos; sob efeito correlacionado, é viesado. A gravidade muda conforme a hipótese, e a banca explora exatamente essa gradação.