Risco e retorno: retorno esperado, variância, covariância e correlação entre ativos

A ideia que organiza o assunto

Junte dois ativos numa carteira e duas coisas acontecem, e elas não são simétricas.

O retorno esperado se comporta como você imagina: é a média ponderada dos retornos esperados dos ativos, pelos pesos investidos. Sempre. Não há truque, não há ganho nem perda na junção.

E(R_p) = w₁·E(R₁) + w₂·E(R₂) + … + wₙ·E(Rₙ)

O risco, não. O desvio padrão da carteira quase nunca é a média ponderada dos desvios padrão dos ativos — é menor. E é menor por um motivo único, que é o assunto inteiro deste tópico: quando você soma variáveis aleatórias, aparece um termo que não pertence a nenhum dos ativos isoladamente.

Var(R_p) = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·σ₁₂

Esse terceiro termo — a covariância — é o único da fórmula que não é propriedade de um ativo, e sim da relação entre dois. É ele que faz a carteira arriscar menos que a média de suas partes, e é só por causa dele que a diversificação existe.

Guarde a assimetria na forma mais curta possível:

Retorno agrega por média. Risco agrega por covariância.

Metade dos itens deste tópico se resolve com essa frase, porque a banca cobra exatamente a tentação de aplicar a média nos dois lugares.

Como funciona

Retorno esperado de um ativo. Com cenários e probabilidades, é a média ponderada pelas probabilidades: E(R) = Σ pₛ·Rₛ. Com série histórica, é a média aritmética dos retornos observados, usada como estimativa do valor esperado.

Variância e desvio padrão. A variância é o valor esperado do quadrado do desvio em relação à média: σ² = Σ pₛ·[Rₛ − E(R)]². O desvio padrão é a raiz, e existe por uma razão prática: volta à unidade do retorno (pontos percentuais), enquanto a variância está em unidade ao quadrado. As duas ordenam o risco exatamente da mesma forma — quem tem maior variância tem maior desvio padrão.

Covariância. Mede se os dois ativos desviam da própria média no mesmo sentido:

σ₁₂ = Cov(R₁, R₂) = E{[R₁ − E(R₁)]·[R₂ − E(R₂)]}

Positiva, os ativos tendem a subir e cair juntos; negativa, um compensa o outro; zero, não há relação linear. Dois fatos que a prova explora: a covariância de um ativo com ele mesmo é a própria variância — Cov(R, R) = σ² — e a covariância não tem limite superior nem inferior, além de vir em unidade ao quadrado. Por isso ela diz o sinal com clareza e a intensidade com nenhuma: não dá para comparar a covariância de dois pares de ativos diferentes.

Correlação. É a covariância padronizada, e existe justamente para resolver esse problema:

ρ₁₂ = σ₁₂ ÷ (σ₁ · σ₂), com −1 ≤ ρ₁₂ ≤ +1

Adimensional, limitada e comparável. Tem o mesmo sinal da covariância — sempre, porque σ₁ e σ₂ são positivos — e por isso as duas nunca discordam quanto à direção. Invertendo a definição, σ₁₂ = ρ₁₂·σ₁·σ₂, que é a forma como a covariância costuma entrar nas contas de prova.

A carteira de dois ativos, que é o caso testável. Substituindo a covariância pela correlação:

σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂

Leia essa fórmula como uma função de ρ, com os pesos e os desvios fixos: tudo, menos o último termo, é constante. Então o risco da carteira é crescente em ρ, e os extremos são os dois casos que a banca adora.

• ρ = +1 (correlação perfeita positiva): a expressão vira um quadrado perfeito e σ_p = w₁σ₁ + w₂σ₂. Este é o único caso em que o risco da carteira é a média ponderada dos riscos — e é exatamente o caso em que diversificar não produz nada.
• ρ = −1 (correlação perfeita negativa): σ_p = |w₁σ₁ − w₂σ₂|, e existe uma combinação que zera o risco, com w₁ = σ₂ ÷ (σ₁ + σ₂). É o caso degenerado, o hedge perfeito, e praticamente não existe entre ativos de mercado.
• Qualquer ρ < 1 já produz redução de risco. Não é preciso correlação negativa; basta que ela não seja perfeita e positiva.

Esse último ponto é o mais mal decorado do tópico e o mais cobrado. O motor da diversificação não é o sinal de ρ — é o fato de ρ ser menor que 1.

De dois para n ativos. A variância da carteira é a soma dupla Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ, que contém n variâncias e n·(n−1) termos de covariância (ou n·(n−1)/2 pares distintos). Conte: com 50 ativos são 50 variâncias contra 1.225 covariâncias. Quando n cresce, a variância da carteira é dominada pelas covariâncias, não pelos riscos individuais — e é essa contagem que, no próximo tópico, vira o limite da diversificação.

O que decide os itens

O par que decide mais itens do que qualquer outro:

grandeza	agrega como	vale sempre?
retorno esperado da carteira	média ponderada dos retornos esperados	sim, sem exceção
desvio padrão da carteira	não é média ponderada dos desvios	só se ρ = +1

Covariância × correlação:

	covariância	correlação
o que mede	codirecionamento de dois retornos	o mesmo, padronizado
limites	nenhum	de −1 a +1
unidade	do retorno ao quadrado	adimensional
comparável entre pares	não	sim
sinal	igual ao da correlação	igual ao da covariância
com o próprio ativo	Cov(R,R) = σ²	ρ(R,R) = +1

O que cada valor de ρ faz com a carteira:

ρ	efeito sobre σ_p	leitura
+1	σ_p = média ponderada dos σ	nenhum ganho; o teto do risco
entre 0 e 1	σ_p abaixo da média ponderada	caso normal entre ações do mesmo mercado
0	redução relevante	sem relação linear — não é independência
entre −1 e 0	redução forte	um ativo compensa o outro
−1	σ_p pode ser zero com os pesos certos	hedge perfeito; caso degenerado

Três afirmações verdadeiras que parecem armadilhas e não são: o retorno esperado da carteira pode ser calculado sem nenhuma informação sobre correlação; a covariância de um ativo consigo mesmo é a variância; e duas carteiras com o mesmo retorno esperado podem ter riscos muito diferentes.

Números que caem

grandeza	valor ou forma
limites da correlação	−1 ≤ ρ ≤ +1
limites da covariância	nenhum
ρ que anula o ganho da diversificação	+1
ρ que permite risco zero	−1, com w₁ = σ₂/(σ₁+σ₂)
ρ se o ativo for comparado a si mesmo	+1
variância de dois ativos	w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρσ₁σ₂
covariância a partir da correlação	σ₁₂ = ρ₁₂·σ₁·σ₂
termos de covariância distintos em n ativos	n·(n−1)/2
desvio padrão do ativo livre de risco	zero, e covariância zero com qualquer ativo

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Uma observação honesta sobre o acervo antes do julgamento. Por muito tempo o único item encaminhado para cá era, na verdade, um item de APT, explicado no tópico de arbitragem; os cadernos da FUNPRESP trouxeram itens próprios, e o primeiro deles é Errado pela inversão exata que esta nota anuncia: “o risco de um portfólio composto por dois ativos reduz-se à medida que o coeficiente de correlação entre esses ativos aumenta.” A base continua pequena demais para sustentar frequência — o que vem abaixo é leitura do assunto e do modo como a banca o formula, não contagem.

A média aplicada ao lugar errado. É a construção natural do tópico: o item afirma que o risco (ou o desvio padrão, ou a volatilidade) da carteira é a média ponderada dos riscos dos ativos. É falso, salvo ρ = +1, e a versão correta da mesma frase troca risco por retorno esperado. Ao ler qualquer item com “média ponderada”, localize primeiro o substantivo que vem depois.

A exigência de correlação negativa. O item condiciona o benefício da diversificação a ativos negativamente correlacionados. A correlação negativa amplia o ganho; ela não é requisito. Basta ρ < 1.

A promessa de risco zero. Espelho do anterior: o item estende o caso ρ = −1 para além dele, prometendo eliminação total do risco por combinação de ativos. Só existe no caso degenerado, e ainda assim com pesos específicos.

A troca entre covariância e correlação. Atribuir à covariância os limites de −1 e +1 é o caso mais limpo, porque é uma troca de termo que sobrevive à primeira leitura. A recíproca também aparece: dizer que a correlação está em unidade ao quadrado, ou que covariância maior significa correlação maior entre pares diferentes de ativos.

Correlação zero lida como independência. ρ = 0 diz que não há relação linear; duas variáveis podem ser fortemente dependentes de forma não linear e ainda assim ter correlação nula. A implicação só vale num sentido: independência implica ρ = 0, nunca o contrário.

Sinal invertido na leitura econômica. Covariância positiva não significa retornos altos, nem ativos bons; significa desvios no mesmo sentido — inclusive para baixo, juntos, que é precisamente o que a diversificação quer evitar.

Erros clássicos

Confundir a grandeza que se soma com a que se combina. Retorno esperado se soma ponderadamente; risco se combina por covariância. Nenhuma pergunta sobre retorno esperado de carteira exige matriz de correlação, e nenhuma pergunta sobre risco de carteira se resolve sem ela.

Achar que ρ = 0 é o melhor caso. Não é: é o caso intermediário. Todo ρ abaixo de zero reduz mais.

Tratar variância e desvio padrão como medidas diferentes de risco. São a mesma ordenação; mudam a unidade e o tamanho do número, nunca o ranking.

Comparar covariâncias de pares diferentes. Sem padronizar, o número não diz nada sobre intensidade. Para comparar, converta em correlação.

Esquecer que tudo aqui pressupõe distribuição simétrica. Variância pune desvio para cima e para baixo do mesmo jeito. O candidato que sabe disso reconhece por que o modelo precisa de retornos normais ou de utilidade quadrática — assunto do tópico de utilidade — e por que existem medidas de risco de cauda, como o VaR, para o que a variância não captura.

Parar aqui. Este tópico não termina em si: a covariância que acabou de aparecer é a razão de existir da diversificação, e o limite dela é o que sobra para ser precificado depois.