Jogos sequenciais e leilões: indução retroativa; primeiro × segundo preço; maldição do vencedor

A ideia que organiza o assunto

Quando as decisões são tomadas em sequência, cada jogador escolhe sabendo o que já foi feito — e, mais importante, sabendo que o que ele fizer será observado. Isso muda o objeto da análise. A pergunta deixa de ser “o que é melhor agora” e passa a ser “o que continuará valendo a pena depois que eu já tiver agido”. É daí que sai a única ideia que este tópico precisa:

Só conta o que é crível depois do fato consumado.

Uma ameaça que o adversário sabe que não será executada não altera o comportamento dele, por mais enfática que seja. E uma decisão que não pode ser desfeita vale mais do que uma promessa que pode — por isso, em jogo sequencial, compromisso é mais valioso que flexibilidade, resultado que contraria a intuição gerencial e que a banca gosta de testar exatamente por isso.

A ferramenta que operacionaliza a ideia é a indução retroativa: resolve-se a árvore de trás para a frente, e o que sobra é o equilíbrio perfeito em subjogos, isto é, o equilíbrio que continua sendo equilíbrio em cada pedaço do jogo, inclusive naqueles que o próprio equilíbrio prevê que não serão alcançados. Ele é um refinamento do equilíbrio de Nash: todo equilíbrio perfeito em subjogos é de Nash, e o que ele elimina são justamente os equilíbrios de Nash sustentados por ameaças não críveis.

Leilões entram no mesmo tópico porque são a outra face da mesma moeda. Um leilão é um jogo cujas regras foram escolhidas por alguém, e a escolha das regras decide se revelar a verdade é ou não a melhor estratégia de quem dá o lance. No leilão de segundo preço a resposta é sim, e é sim de forma dominante — o que dispensa o participante de adivinhar o que os outros farão. Nada no tópico é mais cobrado do que essa propriedade.

Por que se usa (e o que custa)

Quem vende decide o formato, e o formato tem consequência. O segundo preço selado compra simplicidade estratégica: cada um escreve sua avaliação e pronto, sem precisar estimar concorrentes, e a alocação sai eficiente, com o bem indo a quem mais o valoriza. Paga-se em duas moedas. A primeira é política: o vendedor recebe menos do que o maior lance escrito, e explicar isso a um conselho ou a um tribunal de contas é desconfortável. A segunda é real: formatos de segundo preço e leilões ingleses são mais vulneráveis a conluio, porque o acordo entre participantes é fácil de sustentar — quem trai o cartel não ganha muito — e porque o vendedor tem incentivo a inflar o preço com lance fantasma.

O primeiro preço selado faz o oposto: obriga cada participante a rebaixar o próprio lance e, com isso, transfere o problema estratégico para dentro da cabeça dele. É mais robusto a conluio e mais opaco quanto às avaliações dos concorrentes, mas pode alocar o bem a quem não o valoriza mais — basta que o de maior valor tenha rebaixado demais.

A lição para a prova é que não há formato universalmente melhor: há um teorema dizendo que, sob hipóteses fortes, todos rendem o mesmo, e a graça está em saber quais hipóteses o caso concreto viola.

Como funciona

Forma extensiva. O jogo sequencial se representa por uma árvore: nós de decisão indicam quem joga, ramos indicam as ações e as folhas trazem os pay-offs na ordem dos jogadores. Subjogo é qualquer parte da árvore que comece num nó e contenha tudo o que dele decorre. Estratégia, aqui, é o plano completo — o que fazer em cada nó em que o jogador pode ser chamado, inclusive nos que ele espera nunca alcançar.

Indução retroativa. Comece pelas últimas decisões, escolha a melhor ação em cada nó final, substitua o nó pelos pay-offs dessa ação e volte um passo. Em jogo finito de informação perfeita o procedimento sempre termina e sempre entrega um equilíbrio perfeito em subjogos em estratégias puras. O exemplo que já caiu: dois bancos, um líder e um seguidor, decidindo se reduzem juros. O seguidor ganha mais reduzindo nos dois ramos, isto é, reduzir é dominante para ele; o líder, antecipando isso, compara o que recebe em cada ramo já resolvido e reduz também. A árvore inteira se fecha em duas comparações.

Ameaça não crível. O caso clássico é a entrada num mercado. A estabelecida anuncia guerra de preços se alguém entrar; a entrante calcula que, uma vez ocorrida a entrada, guerrear dá prejuízo à estabelecida, que preferirá acomodar. A ameaça não sobrevive à indução retroativa e a entrada ocorre. O par “não entrar / guerrear se entrar” é um equilíbrio de Nash, e é precisamente o que a perfeição em subjogos descarta. Para a ameaça funcionar é preciso torná-la irreversível de antemão: capacidade instalada ociosa, contrato de fornecimento com multa, cláusula de igualar preço do concorrente.

Stackelberg e a vantagem de mover primeiro. Em duopólio com decisão de quantidade, o líder escolhe sabendo como a seguidora reagirá e, por isso, seleciona o ponto que prefere sobre a curva de reação dela. Produz mais e lucra mais do que produziria no jogo simultâneo; a seguidora produz e lucra menos. A vantagem não vem de jogar antes no relógio, e sim de poder se comprometer — e não é universal: sob incerteza tecnológica ou de demanda, observar primeiro o erro alheio pode valer mais, e aí existe vantagem do segundo a mover.

Os quatro formatos clássicos de leilão.

formato	como funciona	estratégia de quem dá lance
Inglês (ascendente, aberto)	preço sobe até restar um	permanecer até o preço atingir a própria avaliação
Holandês (descendente, aberto)	preço cai até alguém aceitar	aceitar abaixo da avaliação; equivale ao primeiro preço
Primeiro preço selado	maior lance vence e paga o próprio lance	rebaixar o lance abaixo da avaliação
Segundo preço selado (Vickrey)	maior lance vence e paga o segundo maior	oferecer a própria avaliação — dominante

Por que a verdade é dominante no segundo preço. Porque o seu lance decide se você ganha, e nunca quanto você paga: o preço é o lance do segundo colocado. Se você inflar o lance, só pode passar a ganhar em situações em que o preço a pagar supera a sua avaliação, e aí você ganha com prejuízo. Se rebaixá-lo, só pode passar a perder leilões que você teria ganho com lucro. Nos demais casos nada muda. Como o raciocínio vale contra qualquer conjunto de lances dos concorrentes, trata-se de estratégia dominante — fracamente dominante, na formulação rigorosa — e é isso que torna o formato estrategicamente simples. No primeiro preço nada disso vale: oferecer a avaliação garante lucro zero mesmo vencendo, então o lance é sempre rebaixado, tanto mais quanto menos concorrentes houver. No caso simétrico com avaliações uniformes, o lance de equilíbrio é (n − 1)/n da avaliação, o que mostra a direção: mais concorrentes, menos rebaixamento.

Equivalência de receitas. Sob hipóteses precisas — valores privados e independentes, participantes neutros ao risco, simétricos, com avaliações tiradas da mesma distribuição, e o bem indo a quem der o maior lance — os quatro formatos geram a mesma receita esperada para o vendedor. O teorema é interessante pelo que ele proíbe: não adianta procurar o formato “mais rentável” sem antes quebrar uma hipótese.

Onde a equivalência falha, que é o que a prova cobra: participantes avessos ao risco rebaixam menos no primeiro preço, e o primeiro preço passa a render mais; com valores comuns ou correlacionados, formatos abertos revelam informação e o leilão inglês rende mais; com participantes assimétricos ou com restrição orçamentária, a simetria se perde; e o conluio, que os formatos abertos e de segundo preço facilitam, derruba a receita de todos. Some-se que preço de reserva aumenta a receita esperada em qualquer formato.

Maldição do vencedor. Só existe em leilão de valor comum — o bem vale o mesmo para todos, mas ninguém sabe quanto. Cada um dá lance segundo sua estimativa, e vence quem mais superestimou; vencer é, portanto, má notícia sobre a própria estimativa. O participante racional antecipa isso e rebaixa ainda mais o lance. Em leilão de valores privados — cada um sabe quanto o bem vale para si — a maldição não se aplica.

O que decide os itens

A hierarquia dos conceitos de solução:

	o que é	relação
Equilíbrio de Nash	ninguém melhora desviando sozinho	o conjunto maior
Perfeito em subjogos	é Nash em todo subjogo	subconjunto; elimina ameaça não crível
Indução retroativa	o procedimento que o encontra	em jogo finito de informação perfeita

Os pares que a banca troca:

×
primeiro preço paga o próprio lance	segundo preço paga o lance do segundo
primeiro preço exige rebaixar	segundo preço tem a verdade como dominante
inglês ascendente e aberto	holandês descendente e aberto
holandês equivale ao primeiro preço selado	inglês corresponde ao segundo preço
valores privados: sem maldição do vencedor	valor comum: maldição do vencedor
vantagem do líder vem do compromisso	vantagem do seguidor vem da informação
ameaça crível sobrevive à indução retroativa	não crível é descartada por ela

Direções que decidem sozinhas um item: no primeiro preço, o lance fica abaixo da avaliação, nunca acima; mais concorrentes aproximam o lance da avaliação; preço de reserva aumenta a receita esperada; o líder de Stackelberg produz mais e a seguidora menos do que no equilíbrio simultâneo; conluio prejudica mais os formatos aberto e de segundo preço.

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

A base medida aqui é de um único item, e o número é piso: enunciado curto, cujo assunto aparece só no comando do grupo, escapa do classificador, e este tópico é especialmente sujeito a isso porque seus itens costumam vir sob comandos de estrutura de mercado ou de estratégia empresarial. Vale registrar também que nenhum item de leilão chegou até aqui, embora metade do título do tópico trate deles — ausência no acervo, não ausência no edital. O que segue sobre leilões é julgamento sobre como a banca costuma cobrar o assunto, e não medição.

O item único inverte o resultado padrão, e é assim que o tópico erra. Ele afirma que, em jogos sequenciais, seria mais vantajoso à empresa aguardar a decisão da concorrente para maximizar lucros. É a vantagem do primeiro a mover virada do avesso. Repare no que a distorção não faz: não usa “sempre”, não usa “nunca”, não exagera. Ela troca a direção — quem se antecipa pela quem espera — e deixa a frase com aparência técnica impecável. Numa disciplina feita de definições e teoremas, é assim que o erro se esconde: na direção e no endereço, não na intensidade.

Espere a inversão também nos leilões, no mesmo formato de frase. O candidato que decorou “no segundo preço diz-se a verdade” precisa saber por quê, porque a versão traiçoeira do item é atribuir a propriedade ao primeiro preço, ou dizer que no segundo preço o vencedor paga o próprio lance. As duas frases soam igualmente bem.

Ameaça não crível é o alvo natural do conceito. Um item que descreva uma estratégia sustentada por promessa de retaliação e a chame de equilíbrio de Nash está, em regra, correto — o que ela não é é perfeita em subjogos. Trocar os dois rótulos nas duas direções é a armadilha desenhada.

Erros clássicos

Achar que quem espera leva vantagem. Em jogo sequencial, quem move primeiro escolhe sobre a curva de reação do outro. Esperar só compensa quando a espera traz informação que não se tinha, e o item que enuncia a espera como regra geral está errado.

Confundir perfeição em subjogos com equilíbrio de Nash. Todo perfeito em subjogos é de Nash; nem todo Nash é perfeito. Negar que uma ameaça não crível forme equilíbrio de Nash é errar pelo excesso de rigor.

Dizer que no segundo preço se paga o próprio lance. Paga-se o segundo maior lance, e é isso, e só isso, que torna a sinceridade dominante.

Levar a maldição do vencedor para leilão de valores privados. Sem valor comum não há maldição: se o bem vale para mim o que eu sei que vale, ganhar não me informa nada de ruim.

Tratar a equivalência de receitas como lei geral. Ela vale sob neutralidade ao risco, valores privados independentes e participantes simétricos. Item que afirme a equivalência sem ressalva alguma merece atenção redobrada, e item que aponte a quebra de uma dessas hipóteses costuma estar certo.

Confundir o leilão da teoria dos jogos com o da licitação. Na Lei 14.133/2021 leilão é modalidade de licitação para alienação de bens, com vitória de quem oferece o maior lance — assunto de direito administrativo. Item sobre habilitação, edital ou avaliação prévia do bem não é deste tópico, ainda que a palavra seja a mesma.

Esquecer que estratégia, em árvore, é plano completo. Ela especifica a ação em cada nó, inclusive nos que o equilíbrio prevê que não serão visitados — e é exatamente por isso que se pode discutir a credibilidade do que aconteceria fora do caminho de equilíbrio.