Propriedades do estimador: viés, consistência, eficiência, erro quadrático médio

A ideia que organiza o assunto

Um estimador não é um número: é uma variável aleatória. A média amostral calculada nesta amostra deu 1,6; em outra amostra da mesma população daria outra coisa. Julgar um estimador, portanto, nunca é perguntar se ele acertou — é perguntar como se comporta a distribuição dele, e é por isso que todas as propriedades do tópico são propriedades de uma distribuição, não de um resultado.

Essa distribuição responde a três perguntas diferentes, e o tópico inteiro se organiza por elas:

onde ela está centrada — o viés compara a esperança do estimador com o parâmetro verdadeiro;
quanto ela é espalhada — a variância, e daí a eficiência;
para onde ela vai quando a amostra cresce — a consistência, que não é uma propriedade da distribuição em um n fixo, e sim do limite da sequência delas.

Guarde o eixo que separa as duas primeiras da terceira, porque é ele que decide a maior parte dos itens: viés e variância são propriedades de amostra finita, válidas para cada n; consistência é uma propriedade assintótica, sobre o que acontece quando n → ∞. Perguntas de níveis diferentes não se implicam, e a independência entre elas é a proposição mais invertível do assunto.

O que amarra as duas dimensões finitas em um único critério é o erro quadrático médio, que se decompõe exatamente em variância mais viés ao quadrado. Com essa identidade o dilema deixa de ser retórico: dá para trocar um pouco de viés por muita variância e sair ganhando, e é isso que justifica preferir, em certas situações, um estimador que se sabe viesado.

Uma fronteira, para não estudar o que não é seu: o que é variância, o que é esperança e como se calcula um desvio-padrão pertence ao básico de Lógica e Estatística. Aqui não se pergunta o que é a variância — pergunta-se qual é a variância de um estimador, e se ela é a menor possível.

Por que se usa (e o que custa)

A tentação natural é exigir não viés e parar aí: um estimador que acerta em média parece o ideal moral do assunto. O custo dessa exigência é que ela é, ao mesmo tempo, fraca demais e cara demais.

Fraca demais porque não diz nada sobre o espalhamento. Existe estimador não viesado que erra escandalosamente em qualquer amostra concreta — usar a primeira observação da amostra para estimar a média populacional é não viesado para todo n, e permanece tão impreciso com dez mil observações quanto com cinco. O não viés sozinho não compra precisão.

Cara demais porque, em troca de zerar o viés, às vezes se paga uma variância enorme. O EQM torna a conta explícita, e por isso o estimador viesado é rotineiramente preferido quando a redução de variância supera o viés ao quadrado que se introduz: é o que fazem os estimadores de encolhimento, é o que justifica a regressão de cume diante de multicolinearidade severa (ordem 10), e é por isso que o estimador de máxima verossimilhança da variância, viesado, segue sendo usado (ordem 5).

Há ainda um custo escondido no não viés que quase ninguém guarda: ele não sobrevive a transformações não lineares. A variância amostral com divisor n − 1 é não viesada para σ², mas a sua raiz não é não viesada para σ. A máxima verossimilhança não tem esse defeito, e esse contraste é o assunto da ordem 5.

Como funciona

Viés. viés(θ̂) = E(θ̂) − θ. É zero quando a esperança do estimador é o próprio parâmetro, para todo n e para todo valor de θ. O “para todo θ” importa: um estimador que acerta em média apenas quando o parâmetro tem certo valor não é não viesado.

Não viés assintótico. E(θ̂n) → θ quando n → ∞. É mais fraco que o não viés e não se confunde com consistência: fala apenas do centro da distribuição, e nada do espalhamento.

Consistência. θ̂n → θ em probabilidade: para qualquer ε > 0, a probabilidade de θ̂n distar mais de ε do parâmetro tende a zero. Toda a distribuição colapsa sobre o valor verdadeiro, e não apenas o seu centro. É o mínimo que se exige de um estimador — um estimador inconsistente não melhora com mais dados, o que o torna inútil por construção.

A condição suficiente que resolve quase todo item. Se o viés tende a zero e a variância tende a zero, então o EQM tende a zero e o estimador é consistente. Em uma linha: não viés assintótico + variância que some ⟹ consistência. É suficiente, não necessária — há estimadores consistentes cuja variância sequer existe —, mas é o caminho pelo qual quase toda consistência de prova se verifica.

A independência das duas propriedades, nas duas direções. É o coração do tópico e cabe em dois exemplos que vale decorar:

Viesado e consistente — a variância com divisor n, σ̂² = Σ(Xi − X̄)²/n, tem esperança ((n − 1)/n)σ². É viesada para baixo em toda amostra finita, e o viés desaparece quando n cresce, de modo que ela é consistente.
Não viesado e inconsistente — θ̂ = X₁, a primeira observação, para estimar μ. E(X₁) = μ exatamente, em qualquer n; mas Var(X₁) = σ² não depende de n e nunca encolhe, de modo que a distribuição jamais colapsa sobre μ. Mais dados não ajudam porque o estimador não os usa.

Eficiência. Entre dois estimadores, o mais eficiente é o de menor variância — e a comparação só faz sentido dentro de uma classe, quase sempre a dos não viesados. Sem essa restrição a disputa é vencida por uma trapaça: o estimador constante θ̂ = 0 tem variância zero e não estima nada. A eficiência relativa de dois estimadores é a razão entre as suas variâncias.

Limite de Cramér-Rao. Nenhum estimador não viesado tem variância abaixo do inverso da informação de Fisher. O estimador não viesado que atinge esse limite é o de variância uniformemente mínima — o mais eficiente que existe na classe. A maquinaria de verossimilhança que produz esse limite é da ordem 5.

Erro quadrático médio. EQM(θ̂) = E[(θ̂ − θ)²] = Var(θ̂) + [viés(θ̂)]². A decomposição é exata, vale sempre, e traz três consequências de prova: para estimador não viesado EQM = variância; entre dois estimadores não viesados, comparar EQM é o mesmo que comparar variância; e um estimador viesado pode ter EQM menor que um não viesado, o que é precisamente a razão de o não viés não ser o critério último.

BLUE. Linear, não viesado e de variância mínima entre os lineares não viesados. É o adjetivo que o teorema de Gauss-Markov atribui ao MQO, e note as duas restrições embutidas: linear e não viesado. Pode existir estimador não linear, ou viesado, com variância menor — dizer que o MQO é o de menor variância entre todos os estimadores é falso. O teorema e as suas hipóteses são da ordem 9.

O que decide os itens

Propriedade	Pergunta que responde	Depende de n?
viés	o estimador acerta em média?	amostra finita — vale para cada n
eficiência	a variância é a menor da classe?	amostra finita — vale para cada n
consistência	converge para o parâmetro?	assintótica — é sobre n → ∞
não viés assintótico	o centro converge?	assintótica, e mais fraca que a consistência

Proposição	Verdade
todo estimador não viesado é consistente	não — X₁ para a média é o contraexemplo
todo estimador consistente é não viesado	não — a variância com divisor n é o contraexemplo
consistência implica não viés assintótico	não, em geral; a implicação útil é a recíproca com variância → 0
EQM = variância + viés²	sim, sempre
para estimador não viesado, EQM = variância	sim
estimador viesado nunca é preferível	não — pode ter EQM menor
eficiência se define sem classe de referência	não — sem a classe, a variância zero vence
o MQO tem a menor variância entre todos os estimadores	não — entre os lineares não viesados
um estimador inconsistente melhora com mais dados	não — é esse o defeito que a palavra nomeia

Par que a banca troca	O que é o quê
eficiente × efetivo	eficiente é termo técnico (variância mínima); efetivo não nomeia propriedade alguma
variância × variável	quer-se variância mínima; nenhum estimador é desejável por ser variável
viés × erro amostral	viés é sistemático, na esperança; erro amostral varia de amostra para amostra
exatidão × precisão	exatidão é estar centrado (viés); precisão é estar concentrado (variância)
estimador × estimativa	o estimador é a regra, variável aleatória; a estimativa é o número que ela produziu

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Chegou a este tópico um único item, e um item é anedota, não medida. Não há frequência a apurar, nem proporção de Certos e Errados que signifique alguma coisa: o número é piso — a banca nomeia o assunto no comando do grupo e itens curtos escapam do classificador — e, nesta disciplina, boa parte do acervo sobre estimação ficou fora porque a notação matemática dos cadernos veio em fonte simbólica e chegou ilegível. O tópico foi cobrado muito mais do que este item revela. O que segue é julgamento, com a única exceção assinalada.

O que o item medido mostra — e é uma lição de leitura, não uma estatística. O item enumera as propriedades desejáveis de um estimador como “não viesado, variável e efetivo”, e é Errado. Repare no desenho: o primeiro termo da lista está correto, e a corrupção está nos dois seguintes, trocados por vizinhos sonoros — variável onde deveria estar a variância mínima, efetivo onde deveria estar eficiente. A defesa é mecânica: em item que enumera propriedades, leia a lista até o fim e confira termo a termo contra a tríade não viesado, consistente e eficiente. Quem valida pelo começo da frase erra.

A troca de um termo por um vizinho sonoro é a manobra mais barata do assunto, porque o vocabulário está cheio de pares quase homófonos: eficiente e efetivo, eficácia e eficiência, exato e preciso, variável e variância, estimador e estimativa. Nenhum deles exige conhecimento de teoria para ser desmontado — exige só que se leia a palavra que está escrita, e não a que se esperava ler.

A proposição que a banca mais tem a ganhar invertendo é a independência entre viés e consistência. Qualquer redação que faça uma implicar a outra — “por ser não viesado, o estimador é consistente”, “estimadores consistentes são, por definição, não viesados” — está errada, e os dois contraexemplos de bolso resolvem o item sem conta nenhuma. Espere também a versão temporal do mesmo erro: atribuir o viés ao comportamento assintótico, ou a consistência a uma amostra de tamanho fixo.

Esperar que o não viés seja o critério supremo. Item que afirme que um estimador viesado nunca deve ser escolhido, ou que o de menor viés é sempre preferível, ignora a decomposição do EQM. A relação correta é a inversa: o EQM é o critério que admite o viesado, quando a variância compensa.

Retirar a classe de referência da eficiência e da otimalidade. “O MQO é o estimador de menor variância” é a forma canônica: falta entre os lineares não viesados, e sem isso a frase é falsa. O mesmo movimento aparece com o limite de Cramér-Rao, que vale para estimadores não viesados e não para todos.

Não procure absolutos neste tópico. Ele é feito de teoremas, e teorema é absoluto por natureza: “todo estimador não viesado tem EQM igual à variância” é verdadeiro justamente por ser absoluto. A pergunta que funciona aqui não é quão forte está escrito, e sim de que objeto se está falando e em que direção — do estimador ou da estimativa, da população ou do estimador, da amostra finita ou do limite.

Erros clássicos

Confundir consistência com não viés. É o erro que sustenta o tópico. Carregue os dois contraexemplos e nenhuma redação o pega: a variância com divisor n é viesada e consistente; a primeira observação da amostra é não viesada e inconsistente.

Achar que “consistente” quer dizer “estável” ou “coerente”. A palavra é técnica e só significa convergência em probabilidade para o parâmetro. Estimador com pouca variabilidade entre amostras não é, por isso, consistente.

Trocar a variância do estimador pela variância da população. São dois números diferentes que convivem no mesmo item — a variância populacional e a variância da média amostral, que é a primeira dividida por n. Leia de qual das duas o item fala antes de conferir qualquer conta.

Esquecer que o EQM se decompõe com o viés ao quadrado. Não é variância mais viés; é variância mais viés ao quadrado. A elevação ao quadrado é o que torna a troca vantajosa para vieses pequenos.

Supor que não viés se preserva ao transformar o estimador. Não se preserva. Se θ̂ é não viesado para θ, g(θ̂) em geral não é não viesado para g(θ) — a desigualdade de Jensen garante que isso falhe sempre que g for estritamente convexa ou côncava. A propriedade que se preserva sob transformação é a da máxima verossimilhança, na ordem 5.

Comparar eficiência entre estimadores de classes diferentes. Um estimador viesado de variância baixa não é “mais eficiente” que um não viesado: a eficiência está definida dentro da classe dos não viesados. Para comparar através das classes, o critério é o EQM.

Ler “variância mínima” como “variância zero”. Variância mínima é um piso dado pela informação disponível — o limite de Cramér-Rao —, não a ausência de variação.