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Taxas à vista × a termo; movimentos da curva: deslocamento paralelo, inclinação e curvatura
A taxa a termo é a que faz rolar curto empatar com travar longo — pura ausência de arbitragem. E, dos três movimentos da curva, só o paralelo preserva a forma.
Altíssima1 item no tópico
A ideia que organiza o assunto
A curva de juros responde a uma pergunta por prazo: quanto rende, hoje, um dinheiro aplicado até a data n? Essa é a taxa à vista (à vista, spot, ou taxa zero-cupom) do prazo n. Uma curva é apenas a lista dessas taxas: s₁, s₂, s₃…
A taxa a termo responde a outra pergunta, e é aqui que o tópico se decide: quanto o mercado já contratou, hoje, para um período que só começa no futuro? A resposta não depende de previsão nenhuma. Ela está inteiramente contida na curva à vista, por um argumento de ausência de arbitragem: quem quer ficar aplicado dois anos tem dois caminhos — travar dois anos à taxa s₂, ou aplicar um ano a s₁ e refazer a aplicação no segundo ano. Se as duas estratégias não renderem o mesmo, existe lucro sem risco. Logo:
(1 + s₂)² = (1 + s₁) × (1 + f₁,₂)
e a taxa a termo implícita f₁,₂ é o que sobra quando se isola o segundo termo. Guarde a ideia na forma verbal, porque ela é mais fácil de aplicar sob pressão do que a fórmula:
A taxa a termo é a taxa que faz “rolar curto” empatar com “travar longo”.
Isso tem uma consequência que a banca adora, e que convém fixar antes de qualquer conta: a taxa a termo implícita é um número extraído da curva de hoje, não uma previsão. Ela só coincide com a expectativa do mercado sobre a taxa futura à vista se o prêmio pelo prazo for zero — e se ele é zero ou não é justamente a briga entre as teorias da estrutura a termo, que são outro tópico.
A segunda metade do assunto é a curva inteira em movimento. Qualquer variação da curva pode ser decomposta em três movimentos: nível, inclinação e curvatura. Só o primeiro — o deslocamento paralelo — preserva a forma.
Este tópico é o meio de um argumento de três. O apreçamento de renda fixa explica por que um preço se mexe quando uma taxa se mexe; aqui se trata das taxas em si, e de como o conjunto delas se move; as teorias da estrutura a termo explicam por que a curva tem a forma que tem.
Como funciona
A curva à vista. Cada vértice é a taxa de um fluxo único naquele prazo. Como a maior parte dos títulos negociados paga cupom, a curva zero-cupom raramente é observada de forma direta: ela é construída por bootstrapping, extraindo-se primeiro a taxa do prazo mais curto e usando-a para descontar o primeiro cupom do papel seguinte, e assim por diante. No Brasil, a referência de mercado sai dos contratos futuros de DI da B3 e da ETTJ divulgada pela ANBIMA, com taxas ao ano na base de 252 dias úteis.
A taxa a termo, no caso geral. Para o período entre os prazos m e n, com n > m:
(1 + sₙ)ⁿ = (1 + sₘ)^m × (1 + f_{m,n})^(n−m)
e portanto
f_{m,n} = [ (1+sₙ)ⁿ / (1+sₘ)^m ]^(1/(n−m)) − 1
A conta, feita. Com s₁ = 10% e s₂ = 12% ao ano:
f₁,₂ = 1,12² / 1,10 − 1 = 1,2544 / 1,10 − 1 = 14,04% ao ano
Repare em dois fatos que valem mais que a conta. Primeiro: a taxa a termo, 14,04%, é maior que as duas taxas à vista. Isso não é coincidência — veja o ponto seguinte. Segundo: a aproximação aritmética 2×12 − 10 = 14% chega perto, mas não é a resposta. A relação é geométrica, e um item que apresente a versão aritmética como exata está errado por construção.
Na convenção brasileira, com prazos em dias úteis, o expoente é du/252:
f = [ (1+sₙ)^(duₙ/252) / (1+sₘ)^(duₘ/252) ]^(252/(duₙ−duₘ)) − 1
Com s(126 du) = 10% e s(252 du) = 11%, a taxa a termo para o semestre que começa daqui a seis meses é (1,11 / 1,10^0,5)² − 1 = 12,01% ao ano.
A relação que organiza tudo: a taxa à vista é a média geométrica das taxas a termo.
(1 + sₙ)ⁿ = (1 + s₁)(1 + f₁,₂)(1 + f₂,₃) … (1 + f_{n−1,n})
A taxa à vista de n períodos é uma média; a taxa a termo é a taxa marginal do período seguinte. Daí sai, de graça, a regra que dispensa qualquer conta em item qualitativo:
| se a curva à vista está | então a curva a termo está | porque |
|---|---|---|
| ascendente | acima da curva à vista | a marginal puxa a média para cima |
| plana | igual à curva à vista | média constante, marginal igual |
| descendente (invertida) | abaixo da curva à vista | a marginal puxa a média para baixo |
As três curvas que convivem. Confundi-las é fonte de item:
- zero-cupom (à vista) — taxa de um fluxo único por prazo; é a que se usa para descontar cada fluxo no apreçamento correto;
- a termo — taxa de um período futuro, implícita na anterior;
- ao par — o cupom que faria um título daquele prazo valer exatamente o valor de face. Quando a curva zero é ascendente, a curva ao par fica abaixo dela, e a curva a termo acima das duas.
Os três movimentos. Decompor a variação diária de uma curva em fatores é resultado clássico (Litterman e Scheinkman, 1991): três componentes explicam a quase totalidade da variância observada, e o primeiro deles sozinho responde pela maior parte.
| movimento | o que muda | o que preserva |
|---|---|---|
| nível (deslocamento paralelo) | todos os vértices na mesma magnitude | a forma — spreads entre prazos intactos |
| inclinação | o spread entre a ponta longa e a curta | o miolo em relação à média das pontas |
| curvatura | o miolo contra as duas pontas | a inclinação geral |
O vocabulário de mesa que a banca às vezes usa é apenas isto: steepening é aumento da inclinação e flattening é redução; bull significa que o movimento veio de queda de taxas e bear, de alta. Um bull steepening é a ponta curta caindo mais que a longa; um bear flattening é a ponta curta subindo mais que a longa.
Por que os três movimentos importam para preço. Porque a medida usual de sensibilidade, a duration, supõe que a curva se move paralelamente. Ela mede exposição ao fator nível e é cega para inclinação e curvatura — duas carteiras com a mesma duration podem reagir de formas opostas a um giro da curva. A medida em si, e a imunização que se constrói com ela, são do tópico de duration e convexidade; o que pertence a este aqui é saber qual movimento ela supõe.
O que decide os itens
As três taxas, lado a lado:
| à vista (spot) | a termo (forward) | ao par | |
|---|---|---|---|
| pergunta | quanto rende de hoje até n | quanto rende de m até n | qual cupom faz valer o par |
| contratada hoje? | sim | sim — implícita ou travável | sim |
| depende de previsão? | não | não | não |
| relação com as demais | média geométrica das a termo | taxa marginal do período | abaixo da zero em curva ascendente |
Distinções que a banca embaralha:
- taxa a termo ≠ expectativa da taxa futura. São iguais somente sob a teoria das expectativas puras, isto é, com prêmio pelo prazo nulo. Fora dela, a taxa a termo é expectativa mais prêmio. Este é o ponto de contato com o tópico das teorias da estrutura a termo, e é o item de maior valor do assunto.
- taxa a termo ≠ mercado a termo. A primeira é uma taxa de juros implícita na curva; o segundo é um contrato de compra e venda de ativo em data futura, no tópico de derivativos. A palavra é a mesma e o objeto não.
- deslocamento paralelo ≠ qualquer deslocamento. Paralelo exige mesma magnitude em todos os vértices. Movimento que altere o spread entre prazos é inclinação, por definição, e a frase que une “paralelo” a “mudança de inclinação” é contraditória.
- preservar a forma ≠ preservar os preços. Um deslocamento paralelo mantém o desenho da curva e mexe em todos os preços.
- curva invertida ≠ curva descendente em algum trecho. Inversão é a ponta longa abaixo da curta; uma corcunda no miolo é curvatura.
- média geométrica ≠ média aritmética. A taxa à vista de dois períodos não é a média simples entre s₁ e f₁,₂ — ainda que, com taxas baixas, a diferença fique na terceira casa.
- base 252 ≠ base 360 ≠ base 365. A curva de juros em reais é 252 dias úteis com capitalização exponencial; cupom cambial é base 360, linear. Misturar as bases é o erro silencioso do tópico.
Números que caem
| base da curva de juros em reais | 252 dias úteis, taxa ao ano, exponencial |
| não arbitragem, dois períodos | (1+s₂)² = (1+s₁)(1+f₁,₂) |
| exemplo: s₁ = 10%, s₂ = 12% | f₁,₂ = 1,12²/1,10 − 1 = 14,04% |
| taxa à vista como média | (1+sₙ)ⁿ = (1+s₁)(1+f₁,₂)…(1+f_{n−1,n}) |
| fatores da curva | três — nível, inclinação, curvatura (Litterman e Scheinkman, 1991) |
| qual fator a duration mede | apenas o nível (deslocamento paralelo) |
| cupom cambial | base 360 dias corridos, linear |
Como a CEBRASPE derruba você aqui
Medido sobre o único item deste tópico no acervo — a definição de deslocamento paralelo, na prova do BACEN de 2023, gabarito Certo, formulada como descrição pura do movimento. Dos sete itens atribuídos a este tópico, os outros seis tratam de outras curvas — IS, LM, oferta agregada e indiferença — e não pertencem aqui. Um item não produz frequência, e por isso o que segue é julgamento.
Vender a taxa a termo como previsão. O formato mais provável de todos: “a taxa a termo implícita na estrutura a termo corresponde à taxa de juros que o mercado espera vigorar no período futuro”. Defesa: isso é a conclusão de uma teoria, a das expectativas puras, e não a definição da taxa a termo. A definição é a de ausência de arbitragem, e ela vale sob qualquer teoria.
Trocar a composição geométrica pela aritmética. “A taxa a termo de um ano daqui a um ano é igual ao dobro da taxa de dois anos menos a taxa de um ano.” Defesa: é aproximação, não identidade; a relação exata multiplica fatores.
Inverter forward e spot. “Quando a curva à vista é ascendente, as taxas a termo situam-se abaixo das taxas à vista.” Defesa: marginal acima da média em curva ascendente — e o exemplo numérico de 14,04% contra 12% resolve em cinco segundos.
Chamar de paralelo o que não é. Duas versões aparecem: dizer que o deslocamento paralelo altera a inclinação da curva, e dizer que ele modifica o spread entre os prazos curto e longo. As duas contradizem “mesma magnitude em todos os vértices”. Defesa: paralelo mexe no nível e em nada mais.
Dizer que o paralelo não afeta preços. Confunde preservar a forma da curva com preservar o valor das carteiras. Todos os preços mudam; o que não muda é o desenho.
Dar à duration mais do que ela mede. “A duration mede a sensibilidade do preço a qualquer alteração da estrutura a termo.” Defesa: a qualquer alteração paralela. Giros da curva são exatamente o que ela não capta.
Confundir taxa a termo com contrato a termo. Uma frase sobre ajuste diário, margem de garantia ou entrega física dentro de um item sobre estrutura a termo é sinal de troca de tópico.
Absolutos sobre o formato da curva. “A curva de juros é sempre ascendente”, “a inversão da curva sempre antecede recessão”. Pergunte de quem é o absoluto: a identidade de não arbitragem é um teorema e sustenta absoluto; regularidade empírica de formato, não.
Erros clássicos
Somar prazos em vez de compor taxas. A taxa de dois anos não é a de um ano vezes dois, nem a soma das taxas anuais: é a composição dos fatores. Todo o tópico é multiplicação de (1+i).
Misturar bases e periodicidades. Dias úteis com dias corridos, taxa ao ano com taxa ao período, exponencial com linear. Antes de qualquer conta, ponha tudo na mesma base — na prova brasileira, 252 e ao ano.
Tomar a curva do DI como curva livre de risco do Tesouro. São emissores e riscos diferentes; o spread entre elas é informação, não ruído.
Achar que a curva a termo precisa ser estimada. Ela é calculada a partir da curva à vista. Não há modelo, não há previsão, não há parâmetro a ajustar — há uma divisão.
Tratar os três movimentos como lista decorada. O útil é saber o que cada um preserva, porque é isso que os itens testam e é isso que decide qual medida de risco serve para quê.
Confundir a inversão da curva com a interpretação dela. Constatar que a ponta longa está abaixo da curta é leitura de curva e pertence a este tópico; dizer o que isso significa sobre juros futuros já é teoria da estrutura a termo, e a resposta muda conforme a teoria adotada.
LidoPraticado