Lei dos grandes números fraca × forte; LGN × teorema central do limite

A ideia que organiza o assunto

Os dois teoremas tratam do mesmo objeto — a média amostral X̄ₙ de n observações independentes e identicamente distribuídas — e respondem a perguntas diferentes. Essa é a ideia inteira, e quem a tem não erra o tópico:

A lei dos grandes números diz para onde X̄ₙ vai. O teorema central do limite diz como se distribui o erro que ainda resta no caminho.

A LGN é um enunciado sobre o destino: X̄ₙ se aproxima da média verdadeira μ. Não diz nada sobre a forma da distribuição de X̄ₙ, nem sobre o tamanho do desvio em n finito — apenas que o desvio some. O TCL é um enunciado sobre a forma do desvio: multiplicado pelo fator certo, X̄ₙ − μ tem distribuição aproximadamente normal, qualquer que seja a distribuição de onde as observações vieram.

O fator certo é √n, e ele é a articulação entre os dois. A LGN diz que X̄ₙ − μ → 0. O TCL diz que √n(X̄ₙ − μ) não vai a zero: converge para uma normal de média zero e variância σ². Multiplicar por √n é exatamente a lente de aumento que impede o desvio de desaparecer — e é por isso que √n é a taxa com que o erro da média encolhe. Um teorema mata o erro; o outro o examina sob aumento antes de morrer.

Daí decorre o resto:

a LGN é o que autoriza dizer que a frequência relativa se aproxima da probabilidade, que a média de uma simulação se aproxima do valor esperado e que um estimador não viesado com variância decrescente é consistente;
o TCL é o que autoriza construir intervalo de confiança e teste de hipótese sem saber a distribuição da população — e é por isso que quase toda a inferência clássica é assintótica;
as hipóteses são diferentes: a LGN pede pouco (média finita), o TCL pede mais (variância finita). O que o TCL não pede é que a variável de origem seja normal. Essa é a razão de ser do teorema.

A fronteira com o básico, porque ela é fina aqui. Lógica e Estatística, a disciplina comum às duas áreas, já cobre a distribuição normal, a padronização de um valor observado e o cálculo de probabilidades com a tabela Z. Um item que peça P(Z < 1,64) é daquele tópico. O que é seu começa quando o objeto é o comportamento assintótico de uma sequência de estimadores: modo de convergência, hipótese mínima de cada teorema, taxa √n e a distribuição-limite de uma estatística padronizada.

Como funciona

Três modos de convergência, e a hierarquia entre eles. Todo o tópico se organiza por qual deles cada teorema entrega.

Xₙ converge em probabilidade para X quando, para qualquer ε > 0, P(|Xₙ − X| > ε) → 0. É uma afirmação sobre cada n grande isoladamente: ficar longe é improvável.

Xₙ converge quase certamente (ou com probabilidade 1) quando P(lim Xₙ = X) = 1. É uma afirmação sobre a trajetória inteira: fora de um conjunto de probabilidade zero, a sequência de fato se assenta e nunca mais se afasta.

Xₙ converge em distribuição quando a função de distribuição de Xₙ se aproxima da de X nos pontos de continuidade. É o mais fraco dos três: fala da distribuição, não dos valores.

A ordem é rígida e cai: quase certa ⇒ em probabilidade ⇒ em distribuição, e nenhuma das recíprocas vale em geral.

LGN fraca. Sob independência e média μ finita, X̄ₙ converge em probabilidade para μ. Com variância finita, a demonstração cabe em uma linha pela desigualdade de Chebyshev: Var(X̄ₙ) = σ²/n → 0.

LGN forte. Sob as mesmas hipóteses — e, na versão de Kolmogorov, bastando E|X| < ∞ —, X̄ₙ converge quase certamente para μ.

A forte implica a fraca. É a hierarquia acima aplicada ao caso: quem converge quase certamente converge em probabilidade. A recíproca não vale, e é por isso que são dois teoremas e não um. Note o efeito colateral que a banca gosta: toda afirmação verdadeira sobre a lei fraca continua verdadeira sob a lei forte, e a volta é falsa.

Quando a LGN falha. Precisa de média finita. A distribuição de Cauchy não tem esperança, e a média de n observações Cauchy tem exatamente a mesma distribuição Cauchy de uma única observação — aumentar a amostra não melhora nada. É o contraexemplo canônico e o lembrete de que a hipótese não é decorativa.

TCL. Sob independência, distribuição idêntica, média μ e variância σ² finita e positiva, a estatística padronizada

Zₙ = (X̄ₙ − μ) / (σ/√n), equivalentemente (Sₙ − nμ) / (σ√n),

converge em distribuição para a normal padrão. Nada se exige da distribuição de origem além dos dois momentos: ela pode ser discreta, assimétrica, limitada, não importa. O caso particular com variáveis de Bernoulli é o teorema de De Moivre-Laplace, e ele é a forma preferida da banca: se Y ~ Binomial(n, p), então (Y − np)/√(np(1−p)) é aproximadamente normal padrão.

Padronizar é uma operação com duas metades, e a segunda é onde se erra. Subtrai-se a média da estatística e divide-se pelo seu desvio padrão. Para a média amostral, σ/√n — o erro padrão, não σ e não σ². Para a soma binomial, √(np(1−p)) — a raiz da variância, não a variância e não a média np.

Aproximação, não igualdade. O TCL é um resultado de limite; em n finito entrega uma aproximação, tanto melhor quanto mais simétrica a distribuição de origem. Item que afirme que a padronizada é normal, e não que segue aproximadamente a normal, está trocando limite por identidade.

O que decide os itens

Pergunta	LGN	TCL
o que afirma	`X̄ₙ` se aproxima de `μ`	o desvio padronizado se aproxima da normal
objeto	`X̄ₙ`	`(X̄ₙ − μ)/(σ/√n)`
hipótese mínima	média finita	variância finita
modo de convergência	em probabilidade (fraca) / quase certa (forte)	em distribuição
resultado	a constante `μ`	a distribuição `N(0, 1)`
serve para	consistência, frequência relativa, simulação	intervalo de confiança, teste, valor-p

Proposição	Verdade
a lei fraca é convergência em probabilidade	sim
a lei forte é convergência quase certa	sim
a forte implica a fraca	sim — a recíproca é falsa
a LGN informa a distribuição da média amostral	não — isso é o TCL
o TCL exige que a população seja normal	não — exige variância finita
o TCL exige variância finita	sim
a LGN exige variância finita	não — basta média finita
convergência em distribuição implica convergência em probabilidade	não — é o elo mais fraco
a padronização divide pelo desvio padrão	sim — nunca pela variância nem pela média
o erro padrão da média é `σ/√n`	sim
a variância de `X̄ₙ` é `σ²/n`	sim — e `→ 0`, o que dá a lei fraca por Chebyshev
a média amostral é sempre um estimador consistente de `μ`	sim, quando a média existe — é o enunciado da LGN
o TCL vale para a binomial	sim — é De Moivre-Laplace

Números que caem

Valor	O que é
`σ/√n`	erro padrão da média — o denominador da padronização
`σ²/n`	variância da média amostral
`√n`	taxa de convergência do erro da média
`np` e `np(1−p)`	média e variância da binomial; o desvio padrão é a raiz da segunda
`n ≥ 30`	regra prática de suficiência do TCL — convenção de manual, não parte do teorema
`np ≥ 5` e `n(1−p) ≥ 5`	regra prática para aproximar a binomial pela normal

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

A base medida é de um único item, e um item é anedota, não frequência. Dos itens que chegaram a este tópico, apenas um pôde ser lido e explicado. Os demais vieram de cadernos em que a notação matemática não sobreviveu à extração e chegaram ilegíveis — inclusive um da própria prova do BACEN, que enuncia a lei fraca dos grandes números e pergunta para onde converge uma estatística construída sobre população normal padrão. Vale registrar a consequência prática: a banca cobra este assunto com fórmula na página, e a contagem acima é piso, não medida de incidência.

O item que se pôde ler é instrutivo justamente por isso. Ele afirma, para Y ~ Binomial(n, 0,4), que a variável padronizada segue aproximadamente a normal padrão — e é Errado. A frase está impecável; o erro inteiro está na fórmula que a acompanha no caderno, (Y − 0,4n)/(0,4n): numerador certo, porque 0,4n é a média, e denominador errado, porque repete a média onde deveria estar o desvio padrão √(0,24n). A padronização foi feita pela metade.

O que segue é conhecimento do assunto e vem marcado como não medido neste corpus.

O denominador da padronização. É o formato do único Errado medido e é o mais provável do tópico, porque o item pode ser lido inteiro como verdadeiro sem que se olhe a razão. Divisão pela variância em vez do desvio padrão, por σ em vez de σ/√n, por n em vez de √n, pela média em vez do desvio: são quatro variantes da mesma falha. Em item de TCL, leia o denominador antes de ler a frase.

Exigir normalidade da população. “O teorema central do limite requer que a variável de origem tenha distribuição normal” é o Errado clássico do assunto, e é Errado porque inverte a finalidade do teorema: ele existe precisamente para dispensar essa hipótese. A versão espelhada — “a distribuição da população é irrelevante, bastando variância finita” — é Certa.

Trocar as hipóteses de um teorema pelas do outro. Exigir variância finita para a LGN, ou contentar-se com média finita no TCL. Guarde o par assimétrico: a LGN é barata, o TCL é caro.

Trocar o modo de convergência. Chamar a lei fraca de convergência quase certa, ou a forte de convergência em probabilidade. É o item de uma palavra só, e ele compensa decorar a hierarquia em vez de a intuição.

Atribuir à LGN o que é do TCL. “Pela lei dos grandes números, a média amostral tem distribuição aproximadamente normal para n grande” soa perfeito e é falso: a LGN não fala de distribuição alguma. A forma inversa — usar o TCL para concluir que a média converge para μ — é igualmente errada em endereço, ainda que a conclusão seja verdadeira por outro teorema.

Converter aproximação em identidade. “A padronizada tem distribuição normal padrão”, sem o aproximadamente, em contexto de n finito.

A dispensa disfarçada de hipótese. Enunciar a LGN sem independência, ou o TCL sem distribuição idêntica, quando o enunciado do item depende disso. Aqui a pergunta útil não é se a frase tem absoluto — teorema é absoluto por natureza —, mas de quem é o absoluto: se ele está no teorema, o item tende a ser Certo; se foi o redator que o acrescentou, é onde mora a fraude.

Erros clássicos

Achar que a lei forte e a lei fraca dizem coisas diferentes sobre o limite. Dizem a mesma coisa sobre o limite (μ) e coisas diferentes sobre o modo de chegar lá. A forte é mais forte porque controla a trajetória inteira, não porque o destino seja outro.

Ler “converge em probabilidade” como “converge quase sempre”. A semelhança das palavras esconde a diferença técnica, e ela é exatamente o eixo fraca × forte do título do tópico.

Supor que n ≥ 30 está no teorema. É regra de bolso. O TCL é assintótico e não carrega número algum; para distribuições muito assimétricas, 30 é pouco, e para uma simétrica pode ser folgado.

Confundir σ com σ/√n. É o erro mais caro do assunto na prática, porque aparece também em intervalo de confiança e em teste de hipótese: o desvio padrão da população não é o desvio padrão da média amostral.

Aplicar o TCL a distribuições sem variância finita. Cauchy e as demais caudas pesadas ficam de fora, e a banca sabe disso. Sem o segundo momento, não há teorema.

Concluir que o TCL normaliza a variável original. O que fica aproximadamente normal é a média (ou a soma) padronizada, não cada observação. Amostra grande de variável assimétrica continua assimétrica.

Esperar que a LGN diga algo sobre n finito. Ela não dá velocidade nem erro máximo; quem quantifica o desvio em amostra finita é o TCL, e é por isso que os dois teoremas coexistem.