Crescimento: Solow, estado estacionário, regra de ouro, convergência e modelos endógenos

A ideia que organiza o assunto

O modelo clássico prende o produto à função de produção e à dotação de fatores; o novo-keynesiano discute apenas o caminho de volta a esse produto. Nenhum dos dois explica por que o pleno emprego de hoje entrega dez vezes o que o pleno emprego de cem anos atrás entregava. Crescimento é o estudo do deslocamento da oferta agregada vertical, e por isso este tópico é o longo prazo dos dois anteriores, não um assunto paralelo a eles.

A ideia que organiza tudo cabe numa frase, e ela é uma frase sobre rendimentos decrescentes:

Acumular capital compra um nível mais alto de produto por trabalhador, nunca uma taxa de crescimento permanente. Só a tecnologia compra taxa.

O motivo é mecânico. Cada máquina nova rende menos que a anterior, porque o produto marginal do capital cai quando o estoque cresce. A poupança, porém, é uma fração constante da renda. Então o investimento bruto cresce mais devagar que a exigência de repor a depreciação e de equipar os trabalhadores novos — e existe um ponto em que os dois se igualam. Nesse ponto o capital por trabalhador para de crescer, e com ele o produto por trabalhador. É o estado estacionário, e ele não é uma hipótese do modelo: é a consequência inevitável de rendimentos decrescentes sobre o único fator que se acumula.

Daí saem as duas perguntas que decidem item atrás de item neste tópico. Faça as duas, nesta ordem, antes de julgar qualquer enunciado:

1. O enunciado fala de variável por trabalhador ou de variável agregada? 2. O enunciado fala do nível da variável ou da sua taxa de crescimento?

Quase todo item de Solow é verdadeiro numa célula dessa tabela de quatro casas e falso na vizinha. “No estado estacionário o capital não cresce” é falso em agregado e verdadeiro por trabalhador. “Aumentar a poupança acelera o crescimento” é falso em regime permanente e verdadeiro na transição. A frase, por si, não tem valor de verdade: ela só o adquire depois que você diz de qual das quatro casas ela fala. É medido que o corpus cobra exatamente essa separação — a seção de medição mostra onde.

O que os modelos endógenos fazem, em uma linha. Eles desligam os rendimentos decrescentes sobre o fator acumulável. Se o retorno do capital — entendido de forma ampla, incluindo conhecimento e capital humano — não cai quando o estoque cresce, a acumulação nunca se esgota, o estado estacionário desaparece e a taxa de crescimento passa a depender da poupança, dos impostos e da política pública. Toda a diferença entre Solow e Romer está na curvatura de uma função.

Por que se usa (e o que custa)

Solow é usado por um motivo que a prova cobra sem dizer o nome: ele é o único modelo do edital que separa o que é transição do que é regime permanente, e essa separação é o que impede um banco central de confundir recuperação cíclica com crescimento potencial. Um país que poupa mais cresce acima da média por décadas e depois volta à taxa de antes, com renda mais alta. Ler esse episódio como milagre permanente é um erro de política, não de teoria — e foi o erro diagnosticado no crescimento asiático, que a contabilidade do crescimento mostrou ser acumulação de fatores muito mais do que produtividade.

O custo é conhecido e é o que gerou os modelos endógenos: Solow explica o crescimento com aquilo que não explica. A parte do crescimento que a acumulação de capital e de trabalho não dá conta cai toda no resíduo, chamado de produtividade total dos fatores — que é o nome técnico para o que o modelo não modela. O progresso tecnológico é exógeno: chove. E, como chove igual para todos, o modelo prevê convergência entre países que a evidência só confirma quando se controla por instituições, educação e poupança.

Como funciona

A equação fundamental. Escreva tudo por trabalhador — ou, com progresso técnico, por trabalhador efetivo — e o modelo inteiro é uma linha:

variação de k = s · f(k) − (δ + n + g) · k

O primeiro termo é o investimento por trabalhador: uma fração s do produto, com f côncava. O segundo é o investimento de equilíbrio, ou linha de reposição, e ele reúne três exigências distintas que a prova gosta de separar:

δ · k repõe o capital que se desgastou;
n · k equipa os trabalhadores que entraram na força de trabalho;
g · k compensa o fato de que cada trabalhador ficou mais eficiente e precisa de mais capital para manter a mesma razão por unidade de eficiência.

O primeiro termo é côncavo, o segundo é uma reta que sai da origem. Duas curvas assim se cruzam uma vez fora da origem, e esse cruzamento é o estado estacionário k*. À esquerda dele o investimento supera a reposição e k cresce; à direita, k cai. O estado estacionário é estável, e é para ele que a economia vai de qualquer ponto de partida — o que já contém a lógica da convergência.

O que fica parado e o que anda no estado estacionário. Este é o ponto que o corpus efetivamente cobrou, e o que mais produz item errado por leitura apressada. Estado estacionário não é economia parada. O que fica constante é sempre uma razão, nunca um estoque:

Sem progresso técnico, ficam constantes k e y, isto é, capital e produto por trabalhador. Os agregados K, L e Y crescem todos à taxa populacional n.
Com progresso técnico, ficam constantes as variáveis por trabalhador efetivo. Capital e produto por trabalhador crescem a g, e os agregados crescem a n + g.

Repare no que isso significa: a taxa de crescimento de longo prazo do produto por trabalhador é g, e mais nada. Ela não depende de s, não depende de n, não depende de δ. É por isso que, em Solow, política de poupança não é política de crescimento.

Estática comparativa — o que muda o quê. Um aumento da taxa de poupança desloca a curva de investimento para cima, cria um novo estado estacionário com mais capital e mais produto por trabalhador, e produz crescimento acima do normal durante a transição, que se esgota. É o chamado efeito de nível, em oposição ao efeito de taxa que ele não tem. Um aumento de n faz o oposto pelo lado per capita — há mais gente para equipar, a reta de reposição gira para cima, k* e y* caem — e o oposto do oposto pelo lado agregado, porque K e Y passam a crescer mais depressa. Um mesmo choque com sinais opostos em per capita e em agregado: é exatamente a armadilha de leitura que a primeira pergunta do tópico desarma.

A regra de ouro. Mais capital não é melhor sem limite, porque manter capital custa: a cada período é preciso separar (δ + n + g)·k só para ficar onde se está. O consumo de estado estacionário é o que sobra:

c* = f(k*) − (δ + n + g) · k*

Maximizar isso em k* dá a condição da regra de ouro:

PMgK = δ + n + g, ou, na forma que a prova prefere, PMgK líquido de depreciação = n + g

A leitura é o que importa. Se o produto marginal líquido está acima de n + g, a economia tem capital de menos: cada unidade extra de capital rende mais do que custa mantê-la, e elevar a poupança aumenta o consumo de estado estacionário. Se está abaixo, há superacumulação — a economia poupa demais, e reduzir a poupança aumentaria o consumo imediatamente e para sempre, sem nenhum sacrifício. Essa segunda região se chama ineficiência dinâmica, e é o único caso em toda a macroeconomia em que se pode melhorar sem custo. Com função Cobb-Douglas, a taxa de poupança da regra de ouro é exatamente a participação do capital na renda.

Convergência, nas duas versões que a prova separa. A concavidade de f implica que economias com pouco capital têm produto marginal do capital alto e, portanto, crescem mais depressa. Só que esse “mais depressa” é em relação ao próprio estado estacionário:

Convergência absoluta — países pobres crescem mais que ricos, ponto. Exige que todos tenham o mesmo estado estacionário: mesma poupança, mesma demografia, mesma tecnologia, mesmas instituições. Entre países muito diferentes, a evidência não confirma.
Convergência condicional — cada economia converge ao seu estado estacionário, e a velocidade depende da distância a que está dele. Controlado por poupança, educação e demografia, a evidência confirma. É a versão que sobrevive.
Convergência clube — subgrupos convergem entre si e divergem do resto; é a leitura que acomoda a persistência de armadilhas de pobreza.

Contabilidade do crescimento. Decompor o crescimento observado em contribuição dos fatores e resíduo é operação separada do modelo e cai com nome próprio:

crescimento de Y = α · crescimento de K + (1 − α) · crescimento de L + resíduo de Solow

O resíduo é a produtividade total dos fatores. Ele não é medido: é o que sobra. Chamá-lo de “progresso tecnológico” é interpretação, não medição — nele entram também realocação setorial, qualidade dos fatores mal medida e erro de mensuração.

Modelos endógenos. Três famílias, e a prova as nomeia.

AK. Escreva f(k) = A·k, sem concavidade. A curva de investimento vira uma reta com inclinação sA, a reta de reposição tem inclinação (δ + n); se sA > δ + n, elas nunca se cruzam e o capital por trabalhador cresce para sempre, à taxa sA − δ − n. Aqui a taxa de poupança entra na taxa de crescimento, permanentemente. É o contraste mais limpo com Solow e o que mais cai.

Romer e o conhecimento. A ideia é que conhecimento é um bem não rival: usar uma fórmula não impede outro de usá-la. Isso gera externalidade e retornos crescentes de escala no agregado, ainda que cada firma enfrente retornos constantes. Como a firma não captura todo o retorno da inovação que produz, o mercado inova menos que o socialmente ótimo — e é daí, e não de bondade, que sai a justificativa econômica para subsídio a pesquisa e para propriedade intelectual. O modelo exige concorrência imperfeita, porque ninguém financia pesquisa para vender a preço de custo marginal.

Lucas e o capital humano. Educação é acumulável como capital físico, mas com externalidade: o capital humano de um eleva a produtividade dos demais. Somado ao capital físico, o fator acumulável “amplo” pode ter retornos próximos de constantes — e é essa a defesa empírica de uma participação do capital bem maior que um terço, que por sua vez reconcilia a velocidade de convergência prevista com a observada.

O que decide os itens

As quatro casas — a tabela que resolve mais itens que todo o resto somado:

	sem progresso técnico	com progresso técnico à taxa g
capital e produto por trabalhador efetivo	conceito não usado	constantes
capital e produto por trabalhador	constantes	crescem a g
capital, produto e trabalho agregados	crescem a n	crescem a n + g
salário real	constante	cresce a g
taxa de juros real e PMgK	constantes	constantes

Efeito de um choque permanente nos parâmetros — repare que nenhuma linha altera a taxa de crescimento de longo prazo do produto por trabalhador, exceto a última:

aumento de	k* e y*	crescimento na transição	crescimento de y no longo prazo	crescimento de Y agregado
taxa de poupança s	sobem	acima do normal, temporário	inalterado	inalterado
taxa populacional n	caem	abaixo do normal, temporário	inalterado	sobe
depreciação δ	caem	abaixo do normal, temporário	inalterado	inalterado
progresso técnico g	—	acima do normal	sobe para g	sobe para n + g

Regra de ouro — as duas regiões e o que fazer em cada uma:

se	então a economia	elevar a poupança	reduzir a poupança
PMgK líquido > n + g	poupa de menos	aumenta o consumo de estado estacionário, com sacrifício na transição	reduz consumo futuro
PMgK líquido = n + g	está na regra de ouro	reduz consumo	reduz consumo
PMgK líquido < n + g	superacumulou (ineficiência dinâmica)	reduz consumo	aumenta consumo já e sempre, sem sacrifício

Solow × modelos endógenos:

	Solow	endógenos (AK, Romer, Lucas)
retorno do fator acumulável	decrescente	constante ou crescente
estado estacionário	existe e é estável	pode não existir
crescimento de longo prazo	exógeno (g cai do céu)	endógeno, escolhido pelos agentes
poupança afeta a taxa	não	sim
política afeta a taxa de longo prazo	não	sim: P&D, educação, tributação do capital
convergência	prevista (condicional)	não necessariamente; admite divergência
concorrência	perfeita	imperfeita, em Romer
retornos de escala no agregado	constantes	crescentes, por externalidade

Convergência — as três versões, na ordem em que a prova as confunde:

versão	afirma	exige	evidência
absoluta	pobre cresce mais que rico, sempre	mesmo estado estacionário para todos	não confirmada entre países heterogêneos
condicional	cada um cresce mais quanto mais longe do seu estado estacionário	controlar s, n, educação, instituições	confirmada
clube	convergência dentro de grupos, divergência entre eles	múltiplos equilíbrios	acomoda armadilha de pobreza

Números que caem


equação fundamental de Solow	variação de k = s·f(k) − (δ + n + g)·k
estado estacionário	s·f(k) = (δ + n + g)·k
consumo de estado estacionário	c* = f(k) − (δ + n + g)·k
regra de ouro	PMgK = δ + n + g, ou PMgK líquido = n + g
taxa de poupança da regra de ouro, com Cobb-Douglas	igual à participação do capital α
estado estacionário com Cobb-Douglas	k* = [s / (δ + n + g)] elevado a 1/(1 − α)
contabilidade do crescimento	gY = α·gK + (1 − α)·gL + resíduo de Solow
crescimento no modelo AK	s·A − δ − n, permanente
velocidade de convergência, teórica	β = (1 − α)·(δ + n + g)
velocidade de convergência, estimada na literatura	cerca de 2% ao ano, com meia-vida próxima de 35 anos
crescimento de y no longo prazo, em Solow	g, qualquer que seja s
crescimento de Y agregado no longo prazo, em Solow	n + g

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção está medida sobre quatro itens — número que é piso, não total — e quatro itens não produzem frequência. Não há percentual honesto a extrair deles, e não haverá até o tópico crescer. O que eles produzem é um pequeno conjunto de fatos verificáveis, que registro abaixo separados do julgamento; tudo o que vier depois de “não medido” é opinião informada sobre o assunto, não evidência.

Fato 1 — três dos quatro itens são Certos, e a única distorção medida é uma generalização. O item errado, do caderno da FUNPRESP-Exe, afirma que no modelo de Solow o crescimento de longo prazo é explicado apenas pelo aumento de capital e trabalho. É esse apenas que o derruba: sob rendimentos decrescentes, acumular fator produz efeito de nível e se esgota no estado estacionário, e o que sustenta o crescimento da renda per capita no longo prazo é o progresso tecnológico. Um único item errado não faz frequência, mas tira deste tópico a condição de não ter distorção observada, e a que apareceu é a canônica do assunto.

Fato 2 — os três Certos descrevem um mecanismo; o único Errado restringe. O apenas da FUNPRESP-Exe é a única modalidade restritiva do tópico, e encabeça o único item errado. Isso é compatível com o padrão de modalidade que outros tópicos do acervo registram — descrição tende a Certo, restrição tende a Errado —, mas quatro itens não testam padrão nenhum, e na trilha de Economia e Finanças esse padrão já falhou onde foi medido de verdade. Anote como coincidência a confirmar, exatamente como o tópico do modelo novo-keynesiano anotou a sua.

Fato 3 — dois dos quatro itens giram no eixo que abre esta nota. O item da Petrobras afirma que, no modelo de Solow com crescimento populacional e sem progresso tecnológico, o estoque de capital no estado estacionário cresce à taxa populacional: é a distinção per capita × agregado, cobrada de frente, e o candidato que decorou “no estado estacionário o capital não cresce” a erra. O item do TCE-PA afirma que o aumento da taxa de poupança pode proporcionar um estado estacionário de maior consumo caso o produto marginal líquido seja maior que a taxa de crescimento da economia: é a regra de ouro, cobrada pela condição que separa as duas regiões.

Fato 4 — e é o mais útil dos quatro: a oração condicional é o item. No item da regra de ouro, tudo o que decide o gabarito está em “caso o produto marginal líquido seja maior que a taxa de crescimento da economia”. Sem essa oração, a afirmação seria falsa, porque poupar mais nem sempre eleva o consumo. É a mesma construção do único item do tópico de modelo clássico, onde uma condicional de quinze palavras carregava o modelo inteiro. Dois itens em dois tópicos não fazem uma frequência, mas fazem um hábito que vale procurar: nos itens de macro do acervo, a banca põe a hipótese numa subordinada e o candidato lê como enfeite. Sublinhe o “caso”, o “se”, o “desde que” antes de julgar o predicado.

Fato 5 — e este é um aviso sobre esta própria nota. O título do tópico nomeia convergência e modelos endógenos, e nenhum dos quatro itens trata de um ou de outro. Três são Solow puro e um é sobre o que motiva a acumulação de capital. Tudo o que esta nota diz sobre convergência absoluta contra condicional, sobre AK, Romer e Lucas, vem do edital e da bibliografia — não do corpus. Estude, porque o edital cobra; só não leia aquelas seções como medição.

O erro mais provável, e agora medido uma vez: converter efeito de nível em efeito de taxa. É o erro que o modelo existe para evitar, e por isso o candidato raramente o percebe quando ele aparece vestido de frase razoável — foi exatamente nele que caiu o único item errado do acervo, pela via do apenas. “O aumento da taxa de poupança eleva a taxa de crescimento de longo prazo da renda per capita” é falso em Solow e verdadeiro em AK — então o item se decide pelo modelo que o enunciado nomeou, não pela frase. Se o enunciado não nomear modelo e falar em rendimentos decrescentes, é Solow.

O segundo, não medido: estado estacionário lido como estagnação. Já dito acima, e repetido aqui porque é onde o Fato 3 mostra a banca batendo. No estado estacionário com crescimento populacional, K, L e Y crescem; o que não cresce é a razão entre eles. Item que afirme que o produto agregado fica constante no estado estacionário trocou o denominador.

O terceiro, não medido: a regra de ouro como máximo de produto. Ela maximiza o consumo de estado estacionário, não o produto nem o capital. O capital que maximiza o produto de estado estacionário é maior que o da regra de ouro — e manter esse capital a mais consome exatamente o que ele produz a mais. Item que diga “regra de ouro maximiza o produto per capita” trocou a variável objetivo.

O quarto, não medido: convergência absoluta afirmada sem a hipótese. “Pelo modelo de Solow, países pobres crescem mais rapidamente que países ricos” é verdadeiro se compartilharem o estado estacionário, e é falso como afirmação geral. O adjetivo — absoluta ou condicional — é o item.

O quinto, não medido: crescimento populacional com o sinal de uma variável só. Aumento de n reduz o produto por trabalhador e aumenta o produto agregado. Um item que afirme qualquer dos dois isoladamente está certo; um que afirme um deles como se fosse o efeito total, ou que troque os dois de lugar, está errado. A defesa é a primeira pergunta do tópico.

O sexto, não medido: o resíduo de Solow tratado como medida direta de tecnologia. Ele é o que a contabilidade não explicou. Item que o apresente como estimativa direta do progresso técnico, sem ressalva, esticou o conceito — ainda que essa seja a interpretação usual.

Erros clássicos

Achar que o modelo de Solow explica o crescimento de longo prazo. Ele explica por que a acumulação de capital não explica. O crescimento sustentado do produto por trabalhador é g, que é exógeno — o modelo o supõe e não o deriva. Foi essa lacuna declarada, e não um defeito escondido, que criou a teoria do crescimento endógeno.

Trocar “capital por trabalhador” por “capital por trabalhador efetivo”. As duas grandezas são constantes em estados estacionários diferentes. Sem progresso técnico elas coincidem; com progresso técnico, só a segunda fica parada, e a primeira cresce a g. Quando o enunciado disser “unidades de eficiência”, troque de linha na tabela.

Ler superacumulação como impossível. A ineficiência dinâmica é um resultado teórico legítimo do modelo, com teste empírico próprio — comparar o retorno do capital com a taxa de crescimento da economia. Item que afirme que poupar mais sempre é bom ignorou uma das duas regiões da regra de ouro.

Confundir a taxa de poupança com o volume poupado. s é fração da renda. Um aumento de s eleva o investimento por trabalhador em qualquer k; o que não acontece é ele elevar a taxa de crescimento em regime permanente.

Supor que rendimentos decrescentes do capital significam rendimentos decrescentes de escala. São coisas diferentes. Solow tem retornos constantes de escala nos dois fatores juntos e decrescentes em cada um isoladamente — e é essa combinação, e não outra, que produz o estado estacionário. Romer quebra a primeira, não a segunda.

Atribuir a externalidade ao capital físico quando o modelo a põe no conhecimento. Em Romer a não rivalidade é da ideia; em Lucas, do capital humano. Item que descreva retornos crescentes vindos da máquina, e não do que se sabe fazer com ela, trocou o fator.

Esperar que a convergência apareça nos dados sem controles. A previsão do modelo é condicional. Item que use a ausência de convergência absoluta entre países como refutação do modelo de Solow atribuiu ao modelo uma previsão que ele não faz.