Dualidade: demanda marshalliana × hicksiana; função dispêndio; identidade de Roy

A ideia que organiza o assunto

O consumidor resolve um problema, mas há duas maneiras de escrevê-lo, e elas descrevem o mesmo ponto do mesmo gráfico:

• Maximizar a utilidade dada a renda: escolha a melhor cesta que o orçamento permite. A resposta é a demanda marshalliana, x(p, R), e o valor máximo atingido é a função utilidade indireta, v(p, R).
• Minimizar o dispêndio dada a utilidade: alcance aquele nível de satisfação gastando o mínimo. A resposta é a demanda hicksiana, ou compensada, h(p, u), e o valor mínimo é a função dispêndio, e(p, u).

Em ambos os casos a solução interior satisfaz a mesma condição de tangência — TMS igual à razão de preços. O que muda é o que fica preso e o que fica livre: no primeiro problema a renda é dada e a utilidade é resultado; no segundo a utilidade é dada e o gasto é resultado. É isso, e só isso, que o nome dualidade significa.

A partir daí, toda a máquina do tópico é uma frase:

A marshalliana mantém a renda nominal constante e por isso carrega o efeito-renda junto. A hicksiana mantém a utilidade constante — o consumidor é compensado a cada variação de preço — e por isso é efeito-substituição puro.

E dessa frase decorre o resultado que o tópico existe para ensinar: como o efeito-substituição é sempre contrário ao movimento do preço, a demanda hicksiana nunca tem inclinação positiva. A marshalliana pode tê-la — é o bem de Giffen, um bem inferior cujo efeito-renda supera o de substituição. A lei da demanda, no sentido estrito, é um teorema sobre a hicksiana, não sobre a curva que se observa no mercado.

Quem fixar apenas isso — o que está preso em cada demanda, e o que decorre de estar preso — deriva tudo o que vem depois: a equação de Slutsky, o lema de Shephard, a identidade de Roy, as propriedades de e e de v, a medição de bem-estar por variação compensatória e equivalente. Nada aqui precisa ser decorado isoladamente.

Por que se usa (e o que custa)

Ganha-se o objeto certo para cada pergunta. Bem-estar não se mede sobre a demanda observada: para saber quanto uma alta de preço custou ao consumidor é preciso perguntar quanto de renda o recolocaria na curva de indiferença de antes — e essa pergunta é, literalmente, uma diferença de função dispêndio. Ganha-se também poder de cálculo: a partir de e(p, u) a demanda hicksiana sai por derivada simples, e a partir de v(p, R) a marshalliana sai por uma razão de derivadas. Problemas difíceis em uma formulação viram triviais na outra.

Paga-se em observabilidade. A marshalliana é estimável: preços, renda e quantidades são dados. A hicksiana não é observável, porque depende de um nível de utilidade, e utilidade não se mede. Ela é uma construção teórica, obtida indiretamente — por Shephard a partir da função dispêndio, ou recuperada da marshalliana pela equação de Slutsky. É por isso que a avaliação empírica de bem-estar trabalha com aproximações do excedente do consumidor em vez de medir a compensação diretamente.

E paga-se em ambiguidade quando o efeito-renda importa. Variação compensatória e variação equivalente diferem justamente porque tomam níveis de utilidade de referência distintos, e o excedente marshalliano fica entre as duas. Só no caso quase-linear, em que o efeito-renda do bem é nulo, as três medidas coincidem — e é por isso que o excedente do consumidor é uma medida exata ali e uma aproximação em todo o resto.

Como funciona

Os quatro objetos e as quatro identidades

problema	escolha	valor ótimo
máx u(x) sujeito a p·x ≤ R	demanda marshalliana x(p, R)	utilidade indireta v(p, R)
mín p·x sujeito a u(x) ≥ u	demanda hicksiana h(p, u)	dispêndio e(p, u)

As identidades que costuram os dois problemas — as quatro se leem como uma só ideia, a de que gastar a renda exatamente e atingir a utilidade exatamente são a mesma exigência vista de dois lados:

x(p, e(p, u)) = h(p, u)

h(p, v(p, R)) = x(p, R)

e(p, v(p, R)) = R

v(p, e(p, u)) = u

e e v são funções inversas uma da outra no seu segundo argumento. Fixados os preços, dispêndio e utilidade indireta são a mesma informação lida em unidades diferentes: uma em reais, outra em nível de satisfação.

Os dois resultados de derivada

Lema de Shephard. A derivada da função dispêndio em relação ao preço de um bem é a demanda hicksiana daquele bem:

∂e(p, u) / ∂p_i = h_i(p, u)

A intuição é o teorema do envelope: ao encarecer um bem em um centavo, o gasto adicional necessário para manter a utilidade é, em primeira ordem, o próprio número de unidades já consumidas — a realocação da cesta não custa nada na margem, porque a cesta já era ótima.

Identidade de Roy. A demanda marshalliana sai da utilidade indireta como razão de derivadas, com sinal negativo:

x_i(p, R) = − (∂v/∂p_i) / (∂v/∂R)

O numerador é negativo — encarecer um bem reduz a utilidade máxima atingível — e o denominador é positivo, de modo que a razão com o sinal de menos devolve uma quantidade positiva. O papel da identidade é o mesmo do lema: extrair a demanda de uma função de valor, sem resolver o problema de otimização de novo.

Vale guardar o par pela simetria: Shephard dá a hicksiana a partir do dispêndio por derivada simples; Roy dá a marshalliana a partir da utilidade indireta por razão de derivadas.

A equação de Slutsky

Derivando a identidade h_i(p, u) = x_i(p, e(p, u)) em relação a p_j e usando Shephard:

∂x_i/∂p_j = ∂h_i/∂p_j − x_j · ∂x_i/∂R

efeito total = efeito-substituição − efeito-renda

O primeiro termo é a inclinação da hicksiana: o efeito puro de troca ao longo de uma mesma curva de indiferença. O segundo é o efeito-renda, e seu tamanho é proporcional a x_j — quanto maior a fatia do orçamento gasta no bem cujo preço mudou, mais a renda real se move. Para o próprio bem, i = j:

tipo de bem	efeito-substituição	efeito-renda	efeito total
normal	reduz a quantidade	reduz a quantidade	reduz — demanda negativamente inclinada
inferior comum	reduz	aumenta, mas menos	reduz
Giffen	reduz	aumenta e domina	aumenta — demanda positivamente inclinada

Daí a hierarquia que a banca gosta de embaralhar: todo bem de Giffen é inferior, mas a recíproca é falsa. Inferioridade é necessária, não suficiente.

As propriedades das funções de valor

Função dispêndio e(p, u) — crescente em u; não decrescente em p; homogênea de grau 1 em p (dobrar todos os preços dobra o gasto necessário); e côncava em p. A concavidade é o resultado mais importante do tópico, porque implica segunda derivada não positiva e, por Shephard, ∂h_i/∂p_i ≤ 0 — a demanda hicksiana jamais tem inclinação positiva. Não é hipótese: é teorema.

Utilidade indireta v(p, R) — decrescente em p, crescente em R, homogênea de grau zero em (p, R) (multiplicar preços e renda pelo mesmo fator não muda nada, porque não há ilusão monetária) e quase-convexa em p.

Demandas — a marshalliana é homogênea de grau zero em (p, R); a hicksiana é homogênea de grau zero em p para u fixo.

Matriz de substituição — a matriz das derivadas ∂h_i/∂p_j é simétrica (∂h_i/∂p_j = ∂h_j/∂p_i) e semidefinida negativa, com diagonal não positiva. Simetria é propriedade da hicksiana e não vale para a marshalliana, cujas derivadas cruzadas diferem pelos termos de renda.

Medir bem-estar

Para uma variação de preço de p⁰ para p¹, com utilidades u⁰ e u¹:

• Variação compensatória (VC) — e(p¹, u⁰) − e(p⁰, u⁰). Quanto de renda é preciso dar ao consumidor, depois da mudança, para devolvê-lo ao bem-estar antigo. Referência: a utilidade inicial.
• Variação equivalente (VE) — e(p¹, u¹) − e(p⁰, u¹). Quanta renda, sem a mudança de preço, produziria o mesmo efeito sobre o bem-estar. Referência: a utilidade final.
• Excedente do consumidor — área à esquerda da demanda marshalliana, entre os dois preços. Fica entre VC e VE.

As três medidas coincidem quando o efeito-renda do bem é nulo — o caso quase-linear, em que marshalliana e hicksiana são a mesma curva.

O que decide os itens

Marshalliana × hicksiana

	marshalliana x(p, R)	hicksiana h(p, u)
o que é mantido fixo	a renda nominal	a utilidade
problema de origem	máx utilidade sujeita ao orçamento	mín dispêndio sujeito à utilidade
segundo argumento	renda R	nível de utilidade u
efeitos contidos	substituição e renda	substituição apenas
inclinação	negativa em geral; positiva no caso Giffen	nunca positiva — sempre
observável	sim, estimável de dados	não, depende de utilidade
função de valor associada	utilidade indireta v(p, R)	dispêndio e(p, u)
como se obtém da função de valor	identidade de Roy	lema de Shephard
também chamada	demanda ordinária	demanda compensada

As igualdades e derivadas em um quadro

resultado	enunciado	serve para
Shephard	∂e/∂p_i = h_i	tirar a hicksiana do dispêndio
Roy	x_i = − (∂v/∂p_i)/(∂v/∂R)	tirar a marshalliana da utilidade indireta
Slutsky	∂x_i/∂p_j = ∂h_i/∂p_j − x_j·∂x_i/∂R	decompor o efeito-preço
dualidade das funções de valor	e(p, v(p,R)) = R e v(p, e(p,u)) = u	trocar de problema sem recalcular
coincidência das demandas	x(p, e(p,u)) = h(p,u)	válida no ponto ótimo, não em geral

Homogeneidades e curvaturas — o que é de quem

objeto	homogeneidade	curvatura em p	monotonicidade
e(p, u)	grau 1 em p	côncava	não decrescente em p, crescente em u
v(p, R)	grau 0 em (p, R)	quase-convexa	decrescente em p, crescente em R
x(p, R)	grau 0 em (p, R)	—	—
h(p, u)	grau 0 em p	—	não crescente no próprio preço

Onde os erros de direção se escondem

afirmação	verdadeiro?
a hicksiana pode ter inclinação positiva	não — é teorema que não pode
a marshalliana pode ter inclinação positiva	sim — bem de Giffen
todo bem inferior é de Giffen	não — a inferioridade é necessária, não suficiente
todo bem de Giffen é inferior	sim
a hicksiana está acima da marshalliana para um bem normal, após alta de preço	sim — a hicksiana é mais inclinada (menos elástica) que a marshalliana para bens normais
a função dispêndio é convexa em preços	não — é côncava
a utilidade indireta é convexa em preços	não — é quase-convexa
a matriz de Slutsky é simétrica	sim, a de substituição (hicksiana); a marshalliana não é
Shephard entrega a marshalliana	não — entrega a hicksiana
Roy entrega a hicksiana	não — entrega a marshalliana

Como a CEBRASPE derruba você aqui

Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.

Trocar o que fica fixo. O formato mais provável de todos, porque o item pode ficar inteiramente correto no resto: “a demanda hicksiana é obtida mantendo-se constante a renda nominal do consumidor”. Uma palavra trocada, o resto impecável. Defesa: o segundo argumento da função é a resposta — x(p, R) tem renda, h(p, u) tem utilidade. Leia o argumento antes de ler a frase.

Atribuir o resultado de derivada à demanda errada. Shephard e Roy formam um par simétrico, e trocar um pelo outro é a inversão mais barata do tópico: “pela identidade de Roy obtém-se a demanda compensada”. Defesa: dispêndio é gasto, e derivar gasto em relação a preço dá quantidade compensada; utilidade indireta não está em reais, e por isso precisa da divisão pela utilidade marginal da renda. A presença ou ausência do quociente identifica o resultado sozinha.

Permitir que a hicksiana suba. “Para um bem de Giffen, tanto a demanda marshalliana quanto a compensada apresentam inclinação positiva.” A primeira metade está certa e é ela que dá credibilidade à segunda. Defesa: a concavidade da função dispêndio proíbe — Giffen é fenômeno de efeito-renda, e a hicksiana não tem efeito-renda nenhum para inverter.

Inverter a hierarquia inferior/Giffen. “Todo bem inferior apresenta demanda positivamente inclinada.” Defesa: a inferioridade dá apenas o sinal contrário do efeito-renda; Giffen exige ainda que esse efeito supere o de substituição, o que pede participação alta no orçamento.

Errar o sinal na equação de Slutsky. Somar o efeito-renda onde ele é subtraído, ou dizer que o efeito total é a soma dos dois efeitos “em módulo”. Defesa: escreva a equação e verifique o caso normal — substituição e renda puxam para o mesmo lado, e é só por isso que a curva desce.

Trocar a curvatura das funções de valor. Dispêndio côncava em preços, utilidade indireta quase-convexa. É o par mais fácil de confundir e o mais fácil de fixar por consequência: a concavidade de e é o que faz a hicksiana descer, e um item que a chame de convexa está destruindo o teorema central do tópico.

Confundir excedente do consumidor com medida exata. “A variação do excedente do consumidor mede exatamente a perda de bem-estar decorrente do aumento de preço.” Defesa: exata só no caso quase-linear; no geral, o excedente fica entre variação compensatória e variação equivalente.

Trocar as referências de VC e VE. Compensatória toma a utilidade inicial; equivalente toma a final. Defesa: compensar é devolver ao ponto de partida; equivalente é o valor que teria efeito igual ao da mudança já ocorrida.

Estender a simetria à marshalliana. A matriz simétrica é a de substituição. Item que afirme que a derivada cruzada da demanda ordinária em relação ao preço do outro bem é sempre igual à recíproca está estendendo a propriedade para fora do domínio em que vale.

Dizer que as duas demandas nunca coincidem. Elas coincidem no ponto em que a renda é exatamente o dispêndio mínimo para aquela utilidade — e coincidem inteiramente quando as preferências são quase-lineares no bem em questão, por efeito-renda nulo.

Erros clássicos

Marshalliana e hicksiana como teorias rivais. Não são: são a mesma escolha parametrizada de duas maneiras, e no ótimo dão a mesma cesta.

Chamar a hicksiana de observável. Ela depende de um nível de utilidade, que não se mede. É construída, não estimada.

Shephard ↔ Roy. Shephard: derivada do dispêndio dá a hicksiana. Roy: razão de derivadas da indireta dá a marshalliana.

Achar que a lei da demanda é universal na curva observada. O teorema que não admite exceção é sobre a hicksiana. A curva de mercado pode subir — e o nome disso é Giffen.

Confundir “compensada” com “corrigida pela inflação”. A compensação da hicksiana é em utilidade, não em poder de compra nominal: é a compensação de Hicks. A compensação que devolve a cesta antiga, e não o nível de satisfação antigo, é a de Slutsky, e as duas não coincidem.

Esquecer a homogeneidade. Multiplicar preços e renda pelo mesmo fator não muda demanda nem utilidade indireta — grau zero, ausência de ilusão monetária. A função dispêndio é a exceção: ela é grau um, porque está medida em dinheiro.

Tratar a identidade x(p, e(p,u)) = h(p,u) como válida em qualquer renda. Ela vale quando a renda é precisamente o dispêndio mínimo associado àquela utilidade — é uma identidade no ótimo, não uma igualdade de funções em todo ponto.