Específicos · Estatística e Econometria
Hipóteses de Gauss-Markov e estimador BLUE; viés de variável omitida; endogeneidade
Cada hipótese compra uma propriedade: exogeneidade compra o não viés, homocedasticidade compra a eficiência, e a normalidade compra apenas as distribuições exatas de t e F.
Alta1 item no tópico
A ideia que organiza o assunto
O tópico anterior mostrou o que o MQO faz: minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e devolve coeficientes, R², t e F. Nada ali dizia por que se deve acreditar naqueles números. Essa é a pergunta daqui, e a resposta tem uma forma que torna todo o resto derivável:
As hipóteses do modelo clássico não são um bloco. São uma escada, e cada degrau compra uma propriedade diferente do estimador.
Os degraus, de baixo para cima:
- exogeneidade — E(u | X) = 0 — compra o não viés, e na sua versão fraca compra a consistência;
- homocedasticidade (e, em séries temporais, a ausência de autocorrelação) compra a variância mínima, isto é, o “melhor” de BLUE;
- normalidade dos erros compra as distribuições exatas de t e F em amostra pequena — e nada além disso.
Guardada a escada, quase todo item se resolve com uma pergunta só: qual degrau foi quebrado? Porque o que se perde é exatamente a propriedade que aquele degrau comprava — nem mais acima, nem mais abaixo.
Daí decorre o fato que mais decide item neste tópico, e que a banca cobra com frequência: o teorema de Gauss-Markov não usa normalidade em nenhum ponto da sua demonstração. O MQO é BLUE com erros de qualquer distribuição, desde que tenham média condicional zero, variância constante e não sejam correlacionados entre si. Normalidade é uma hipótese adicional, e o que ela garante não é o BLUE: é que o t seja exatamente um t de Student e o F exatamente um F.
E daí decorre a assimetria que organiza a disciplina inteira. Perder eficiência é reparável: mais dados encolhem a variância, e erros-padrão robustos consertam a inferência sem tocar nas estimativas. Perder o não viés não é: a inconsistência não diminui com o tamanho da amostra, e nenhum ajuste de erro-padrão a remove.
Quatro fronteiras, porque este tópico fica entre muitos. Viés, consistência, eficiência e erro quadrático médio como propriedades abstratas de um estimador qualquer são do tópico 4; aqui elas se prendem ao MQO e às hipóteses que as sustentam. O que o MQO calcula e como se lê a saída da regressão é o tópico 8. O que acontece quando a hipótese de variância constante ou de erros não correlacionados falha, e o caso à parte da multicolinearidade, é o tópico 10. E o conserto da endogeneidade — variável instrumental, diferenças em diferenças, controle sintético — é o tópico 15. Este aqui responde apenas: de que o MQO precisa para merecer confiança, e o que o descredencia.
Por que se usa (e o que custa)
O teorema de Gauss-Markov é um certificado barato e forte. É finito: vale para qualquer tamanho de amostra, não é uma promessa assintótica. É distribution-free: não pede normalidade nem qualquer outra forma para o erro. E é construtivo: não afirma que existe um bom estimador, afirma que este, que já se sabe calcular em forma fechada, é o melhor da sua classe.
O preço está na palavra classe. O certificado só compara o MQO com estimadores que sejam lineares em Y e não viesados. Fora dessa cerca ele nada diz — um estimador viesado pode ter erro quadrático médio menor que o do MQO, e sob erros não normais um estimador não linear pode ser mais preciso. O certificado também é silencioso sobre a distribuição em amostra pequena, que é o que os testes usam.
E há o preço maior: o certificado inteiro é nulo se a exogeneidade falhar. Homocedasticidade quebrada custa a metade superior do teorema; exogeneidade quebrada não custa uma parte dele, custa o direito de ler o coeficiente como efeito. Por isso a hipótese 4 vale mais atenção que todas as outras juntas.
Como funciona
As hipóteses, uma a uma. No corte transversal são cinco, e a ordem importa porque o teorema é montado em duas etapas.
- Linearidade nos parâmetros — o modelo populacional é linear em β, não necessariamente em X.
- Amostragem aleatória — as observações vêm de uma amostra aleatória da população. Em séries temporais, a hipótese correspondente é sobre o processo gerador dos dados.
- Ausência de multicolinearidade perfeita — nenhum regressor é combinação linear exata dos demais. É a única hipótese que, quebrada, impede a estimação em vez de degradá-la.
- Média condicional do erro igual a zero — E(u | X) = 0, a exogeneidade.
- Homocedasticidade — Var(u | X) = σ², constante e independente dos regressores. Em séries temporais, acompanha-a a ausência de autocorrelação entre os erros.
Das quatro primeiras sai o não viés: E(β̂) = β. Somada a quinta, sai o teorema de Gauss-Markov: entre todos os estimadores lineares e não viesados, o MQO é o de menor variância. A sexta hipótese, a normalidade, está fora de Gauss-Markov: acrescentada às cinco, define o modelo linear clássico normal e dá a t e F as suas distribuições exatas.
Não viés × consistência. São propriedades diferentes e itens inteiros se decidem por essa diferença. Não viés é uma afirmação sobre a média do estimador em qualquer tamanho de amostra: repetida a amostragem, as estimativas se distribuem em torno do parâmetro. Exige a exogeneidade forte, E(u | X) = 0. Consistência é uma afirmação sobre o limite: a estimativa converge em probabilidade para o parâmetro quando n cresce. Exige menos — basta E(u) = 0 e covariância zero entre cada regressor e o erro. Como a condição é mais fraca, existe estimador viesado e consistente, situação comum em séries temporais com defasagem da dependente; o contrário é raro. Um estimador consistente com amostra pequena ainda pode estar longe, e um estimador não viesado com variância enorme ainda pode ser inútil.
BLUE, palavra por palavra. Best é variância mínima — e mínima dentro da classe. Linear é linear na variável dependente. Unbiased é não viesado. Estimator é a regra de cálculo, não a estimativa que saiu desta amostra. A leitura errada mais frequente é ler best como “de menor variância entre todos os estimadores possíveis”; a afirmação correta é que nenhum estimador linear e não viesado tem variância menor.
Viés de variável omitida. É o caso mais cobrado de endogeneidade, e o único cujo sinal se calcula. Suponha que o modelo verdadeiro seja
Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + u
e que se estime a regressão só com X₁. O coeficiente estimado de X₁ não mede β₁: mede β₁ mais a parte do efeito de X₂ que X₁ consegue carregar. O viés é o produto de dois fatores — o efeito da variável omitida sobre Y e a associação entre a omitida e a incluída:
sinal do viés = sinal de β₂ × sinal da correlação entre X₁ e X₂
Duas consequências que decidem item. A primeira: são necessárias as duas condições. Omitir variável irrelevante (β₂ = 0) não enviesa; omitir variável relevante mas não correlacionada com X₁ também não enviesa o coeficiente de X₁ — apenas engorda a variância do erro. A segunda: o erro é simétrico ao do tópico 8, mas não equivalente. Omitir uma variável relevante e correlacionada enviesa; incluir uma variável irrelevante não enviesa, apenas infla a variância dos coeficientes. Entre os dois pecados, o primeiro é o grave.
Note ainda que esse viés é exatamente a diferença entre o coeficiente da regressão simples e o da múltipla que o tópico 8 descreveu: a regressão múltipla limpa o coeficiente do que ele compartilha com os demais regressores, e omitir um regressor é devolver essa sujeira ao coeficiente que ficou.
Endogeneidade. É a condição geral da qual a variável omitida é um caso: o regressor é correlacionado com o termo de erro, Cov(Xⱼ, u) ≠ 0. Quatro fontes canônicas:
- variável omitida relevante e correlacionada — o caso acima;
- simultaneidade — Y e X se determinam mutuamente, como preço e quantidade num par de oferta e demanda;
- erro de medida no regressor — o X observado difere do verdadeiro, e o erro de medida entra no resíduo;
- seleção amostral — a presença na amostra depende do que se quer explicar.
A consequência é sempre a mesma e é a pior possível: viés e inconsistência. O coeficiente deixa de ser lido como efeito ceteris paribus de X sobre Y, porque ele também está captando o que o erro carrega.
Uma direção que a banca gosta de inverter: erro de medida na variável dependente é relativamente inofensivo — engrossa o erro e aumenta a variância das estimativas, sem enviesar, desde que não seja correlacionado com os regressores. Erro de medida no regressor é que enviesa, e enviesa numa direção conhecida: o viés de atenuação, que puxa o coeficiente para zero, subestimando o efeito em valor absoluto.
O que decide os itens
| par | o que decide |
|---|---|
| BLUE × normalidade | o teorema não exige normalidade; ela só dá as distribuições exatas de t e F |
| exogeneidade × homocedasticidade | a primeira compra o não viés; a segunda, a eficiência |
| viés × ineficiência | endogeneidade tira o não viés; heterocedasticidade e autocorrelação tiram só a eficiência |
| não viés × consistência | não viés vale em qualquer n; consistência é limite, e exige hipótese mais fraca |
| exogeneidade estrita × contemporânea | E(u | X) = 0 dá não viés; Cov(Xⱼ, u) = 0 basta para consistência |
| best × melhor de todos | mínima variância entre os lineares não viesados, não entre todos |
| linear em Y × linear em X | a classe de BLUE é de estimadores lineares em Y; o modelo é linear em β |
| omitir relevante × incluir irrelevante | omitir enviesa; incluir não enviesa, apenas infla a variância |
| omitida relevante × omitida não correlacionada | só há viés se a omitida for relevante e correlacionada com a incluída |
| erro de medida em Y × em X | em Y só perde precisão; em X enviesa, com atenuação para zero |
| colinearidade perfeita × imperfeita | a perfeita viola a hipótese 3 e impede estimar; a imperfeita não viola nada (tópico 10) |
| viés × amostra grande | amostra maior não corrige viés de variável omitida; corrige imprecisão |
| endógeno = correlacionado com o erro × endógeno = explicado | endogeneidade é propriedade do regressor, não da variável dependente |
O sinal do viés de variável omitida, que é pergunta favorita:
| efeito da omitida sobre Y (β₂) | correlação entre a omitida e a incluída | viés no coeficiente estimado |
|---|---|---|
| positivo | positiva | positivo — superestima |
| positivo | negativa | negativo — subestima |
| negativo | positiva | negativo — subestima |
| negativo | negativa | positivo — superestima |
| qualquer | zero | nenhum |
| zero | qualquer | nenhum |
Números que caem
| quantidade | valor |
|---|---|
| hipóteses de Gauss-Markov, corte transversal | 5 |
| hipóteses que bastam para o não viés | as 4 primeiras |
| hipótese que fecha o teorema BLUE | a 5.ª, homocedasticidade |
| posição da normalidade | 6.ª — fora de Gauss-Markov |
| E(u | X) sob exogeneidade | 0 |
| Var(u | X) sob homocedasticidade | σ², constante |
| condições simultâneas para haver viés de variável omitida | 2 — relevância e correlação |
| fatores cujo produto dá o sinal do viés | 2 |
| distribuição exata do t sob normalidade | t de Student, n − k − 1 graus de liberdade |
| direção do viés de atenuação | para zero |
Como a CEBRASPE derruba você aqui
Esta seção ainda não foi medida: os itens deste tópico estão sendo explicados. Quando estiverem, as frequências reais aparecem aqui e o texto abaixo é reescrito contra elas.
Três advertências antes do julgamento, porque aqui a medição é especialmente magra. A primeira vale para toda a disciplina: o número de itens que chegam a este tópico é piso, não medida — a banca nomeia o assunto no comando do grupo, e um item curto carrega poucas palavras próprias para classificar.
A segunda é específica desta disciplina: boa parte do que o acervo guarda sobre regressão não sobreviveu à extração, porque a notação matemática desses cadernos veio em fonte simbólica e chegou ilegível.
A terceira é deste tópico. Dos dois itens que chegaram até aqui, um trata de multicolinearidade imperfeita e do BLUE, e o outro da lista de propriedades desejáveis de um estimador — e esse segundo também pertence ao tópico 4. Nenhum dos dois testa viés de variável omitida ou endogeneidade, que são metade do título. O que se lê abaixo, portanto, é julgamento sobre o formato da cobrança, e sobre a metade do tópico que o acervo efetivamente mediu.
O formato dominante é o item de propriedade: uma frase curta afirmando o que o estimador é, ou o que uma hipótese garante. Não adianta procurar sempre, nunca ou apenas — a afirmação é sobre um teorema, e teorema é absoluto por natureza. O que a banca distorce é o conteúdo: uma direção, um sinal, o objeto a que a propriedade se prende.
Daí as quatro manobras que se repetem. Trocar o que a hipótese compra é a mais limpa: exigir normalidade para o BLUE, ou atribuir a uma hipótese de variância uma consequência sobre a média do estimador. Deformar a lista de propriedades — a tríade canônica é não viesado, eficiente e consistente, e basta substituir uma delas por um vizinho aproximado (variável, efetivo, exato, preciso) para o item cair; é exatamente isso que faz o único item Errado medido aqui. Inverter o sinal do viés — afirmar superestimação onde o produto dos dois sinais dá subestimação, ou omitir que são dois sinais e não um. E trocar o endereço da endogeneidade — descrever como endógena a variável explicada, ou chamar de endogeneidade a correlação entre dois regressores, que é multicolinearidade e é assunto do tópico 10.
Há ainda o item que para no lugar certo e parece incompleto. “Havendo heterocedasticidade, os estimadores de MQO serão ineficientes” é Certo justamente porque para ali: não diz que são viesados. A tentação é ler a frase curta como frase incompleta e marcar Errado. Leia o que o item afirma, não o que ele deixou de afirmar.
Erros clássicos
Achar que BLUE exige normalidade dos erros. Não exige em nenhum ponto. A normalidade entra depois, e o que ela dá são as distribuições exatas de t e F em amostra pequena — não a eficiência, não o não viés.
Achar que sem normalidade não há teste t. Há: em amostra grande, o teorema central do limite dá validade assintótica ao t e ao F mesmo com erros não normais. A normalidade é necessária para a distribuição exata, em amostra pequena.
Confundir não viés com consistência. Não viés é sobre a média do estimador em qualquer n; consistência é sobre o limite quando n cresce. Um estimador pode ser viesado e consistente.
Achar que mais dados corrigem viés de variável omitida. Não corrigem. A variável omitida produz viés e inconsistência: o erro não encolhe com a amostra. Mais dados corrigem imprecisão, nunca viés.
Ler “melhor estimador” como “melhor entre todos”. A comparação é dentro da classe dos lineares não viesados. Um estimador viesado pode ter erro quadrático médio menor.
Achar que qualquer variável omitida enviesa. Só enviesa a que é relevante e correlacionada com o regressor incluído. Faltando qualquer uma das duas condições, o coeficiente continua não viesado.
Achar que incluir variável irrelevante enviesa. Não enviesa — infla a variância dos coeficientes e consome graus de liberdade. É um pecado de eficiência, e é o pecado menor dos dois.
Esquecer que o sinal do viés é um produto de dois sinais. Omitida com efeito negativo sobre Y e correlação negativa com a incluída produz viés positivo. Dois negativos dão positivo, aqui como em qualquer produto.
Achar que erro de medida sempre enviesa. Na variável dependente, não enviesa: só aumenta a variância. No regressor, enviesa — e puxa o coeficiente para zero.
Tratar correlação entre regressores como violação de Gauss-Markov. A hipótese proíbe colinearidade perfeita. Correlação alta, porém não exata, não viola hipótese alguma e mantém o MQO BLUE — o que ela custa é assunto do tópico 10.
Atribuir à heterocedasticidade ou à autocorrelação a perda do não viés. Elas quebram o degrau da variância, não o da média. Quem quebra o não viés é a endogeneidade, e essa é a única que o faz.
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